参数方程与普通方程的互化教学教案
第03时
3.1.3参数方程与普通方程的互化
学习目标
1．明确参数方程与普通方程互化的必要性.
2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.
学习过程
一、学前准备
复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？
2. 写出圆 的参数方程，圆 呢？
二、新导学
探究新知（预习教材P24～P26，找出疑惑之处）
问题１：方程 表示什么图形？
问题2：上节例2中求出点 的参数方程是 ， 那么点 的轨迹是什么？
小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.
应用示例
例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：
（１） （ 为参数）
（２） （ 为参数）
例2 .将椭圆普通方程 按以下要求化为参数方程：（1）设
反馈练习
1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
（1） ）
2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程：
１） .
2）已知圆的方程 ，选择适当的参数将它化为参数方程.
三、总结提升
本节小结
1. 消去参数的常用方法有：１）代入法
２）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.
2.互化中必须使 的取值范围保持一致.
3.同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）
A．很好 B．较好 C． 一般 D．较差
二、当堂检测
1．曲线 的一种参数方程是（ ）.
2．在曲线 上的点为（ ）
A．(2,7) B． C． D．(1,0)
3. 曲线 的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一条射线
C．一个圆 D．一条线段
4．方程 表示的曲线是（ ）
A．余弦曲线 B．与x轴平行的线段
C．直线 D．与y轴平行的线段
后作业
. 1. 已知圆方程 ，选择适当的参数将它化为参数方程.
2.把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
（1）
（2）
3.（选做）化下列普通方程为参数方程：
反思小结：
几何体的表面积与体积
学案1 集合的概念与运算
一、前准备：
【自主梳理】
1．侧面积公式： ， ， ， ， ， ．
2．体积公式： = ， ， ， ．
3．球 ： ， ．
4．简单的组合体：
⑴正方体和球 正方体的边长为 ，则其外接球的半径为 ．
正方体的边长为 ，则其内切球的半径为 ．
⑵正四面体和球 正四面的边长为 ，则其外接球的半径为 ．
【自我检测】
1．若一个球的体积为 ，则它的表面积为_______．
2．已知圆锥的母线长为2，高为 ，则该圆锥的侧面积是 ．
3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为 ，则圆锥的体积为 ．
4．在 中，若 ，则 的外接圆半径 ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 中，若 两两垂直， ，则四面体 的外接球半径 _____________________．
5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ．
6．如图，已知正三棱柱 的底面边长为2 ，高位5 ，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 ．
二、堂活动：
【例1】题：
（1）一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm 和25π cm ，则(1)圆台的高
为 (2)截得此圆台的圆锥的母线长为 ．
（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .
（3）三棱柱的一个侧面面积为 ，此侧面所对的棱与此面的距离为 ，则此棱柱的体积为 ．
（4）已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是 ．
【例2】如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： //平面 ；
（2）求证： ；
（3）求三棱锥 的体积．
【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=2，BD= 。
（1）求棱锥P-ABCD的体积；
（2）求点C到平面PBD的距离．
堂小结
（1）了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；
（2）了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；
（3）几何体表面的最短距离问题------侧面展开.
三、后作业
1．一个球的外切正方体的全面积等于 ，则此球的体积为 .
2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
3．三个平面两两垂直，三条交线相交于 ， 到三个平面的距离分别为1、2、3，
则 = .
4．圆锥的全面积为 ，侧面展开图的中心角为60°，则该圆锥的'体积为 .
5．如图，三棱柱 的所有棱长均等于1，且 ，则该三棱柱的体积是 ．
6．如图，已知三棱锥A—BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC＝30°，、N分别在棱AC和AD上，则 B＋N＋NB的最小值为 ．
7．如图，在多面体 中，已知 是边长为1的正方形，且 均为正三角形， ∥ ， =2，则该多面体的体积为 ．
8．已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，则高为 ．
9．如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 是 的中点，求三棱锥 的体积．
10．如图，矩形 中， ⊥平面 ， ， 为 上的一点，且 ⊥平面 ， ，求三棱锥 的体积．
四、纠错分析
错题卡题 号错 题 原 因 分 析
一、前准备：
【自主梳理】
1．
2．
3． 4
4．
【自我检测】
1．12 2．2 3． 4． 5．6π 6．13
二、堂活动：
【例1】题
1．（1） 20 （2）3 （3） （4）
【例2】（Ⅰ）连结 ，在 中， 、 分别为 ， 的中点，则
（Ⅲ） ， ，且 ，
∴ ，即 . =
【例3】解：（1）由 知四边形ABCD为边长是2的正方形，
,又PA 平面ABCD ， = .
（2）设点C到平面PBD的距离为 ，
PA 平面ABCD， = .
由条 ， .
由 .得 .
点C到平面PBD的距离为 .
三、后作业
1． 2．3：2 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9．（1）证明： ，且 平面 ，∴ 平面 .
（2）证明：在直角梯形 中，过 作 于点 ，则四边形 为矩形.
∴ .又 ，∴ .在Rt△ 中， ，
则 ， ∴ .
又 ， ∴ .
， ∴ 平面 .
（3）∵ 是 中点， ∴ 到面 的距离是 到面 距离的一半.
10．解：连结 ．可证三棱锥 中， 与底面 垂直，所以所求
体积为 ．
等比数列的概念及通项
M
课时20 等比数列的概念及通项
目标：1．掌握等比数列的概念。
2．能根据等比数列的通项公式，进行简单的应用。
过程：
1．观察以下数列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比与等差数列，以上数列有什么特点？
等比数列的定义：
定义的符号表示 ，注意点：① ，② 。
3．判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比 的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比数列的未知项。
（1） ； （2） 。
5．已知 是公比为 的等比数列，新数列 也是等比数列吗？如果是，公比是多少？
6．已知无穷等比数列 的首项为 ，公比为 。
（1）依次取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
（2）数列 （其中常数 ）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
二、通项公式
1．推导通项公式
例1．在等比数列 中，
（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。
例2．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数。
例3．已知等比数列 的通项公式为 ，（1）求首项 和公比 ；
（2）问表示这个数列的点 在什么函数的图像上？
例4．类比等差数列填空：
等差数列等比数列
通项
定义从第二项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数。
首项，公差（比）
取值有无限制没有任何限制
相应图像的特点直线 上孤立的点
课后作业：
1． 成等比数列，则 = 。
2．在等比数列 中，
（1）已知 ，则 = ， = 。
（2）已知 ，则 = 。
（3）已知 ，则 = 。
3．设 是等比数列，判断下列命题是否正确？
（1） 是等比数列 （ ）； （2） 是等比数列 （ ）
（3） 是等比数列 （ ）； （4） 是等比数列 （ ）
（5） 是等比数列 （ ）； （6） 是等比数列 （ ）
4．设 成等比数列，公比 =2，则 = 。
5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。
6．在两个同号的非零实数 和 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用 表示这个等比数列的公比。
7．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项，依次构成一个等比数列，求该等比数列的通项。
8．已知 五个数构成等比数列，求 的值。
9．在等比数列 中， ，求 。
10．三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9就成等比数列，求这三个数。
11．已知等比数列 ，若 ，求公比 。
12．已知 ，点 在函数 的图像上，（ ），设 ，求证： 是等比数列。
问题统计与分析
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
设想
【创设情境】
在一次射击比赛中?甲、乙两名运动员各射击??次，命中环数如下?
甲运动员??，?，?，?，?，?，?，??，?，?；
乙运动员??，?，?，?，?，?，?，?，?，???
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查???位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是（最高的矩形的中点）（图略见课本第??页）它告诉我们，该市的月均用水量为的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问：请大家翻回到课本第??页看看原来抽样的数据，有没有这个数值呢？根据众数的定义，????怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而????是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为????。（图略见课本63页图）
〖思考：????这个中位数的估计值，与样本的中位数值???不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图）显示，大部分居民的月均用水量在中部（左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６?，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中?甲、乙两名运动员各射击??次，命中环数如下?
甲运动员??，?，?，?，?，?，?，??，?，?；
乙运动员??，?，?，?，?，?，?，?，?，???
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道， 。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据 的标准差的算法：
（１）、算出样本数据的平均数 。
（２）、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
（３）、算出（２）中 的平方。
（４）、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（５）、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和计算公式都可以得出： 。当 时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方 （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2：（见课本Ｐ６９）?
分析：?比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P７１ 练习 1. 2. 3 ４
【课堂小结】
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
a)用样本平均数估计总体平均数。
b)用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P７２ 习题A组?３、 ４、１０
引导公式
泗县三中教案、学案：引导公式2
年级高一学科数学题引导公式2
授时间撰写人时间
学习重点掌握 角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路
学习难点 角的正弦、余弦诱导公式的推导.
学 习 目 标
1. 掌握 －α、 ＋α两组诱导公式；
2. 能熟练运用六组诱导公式进行求值、化简、证明..
教 学 过 程
一 自 主 学 习
复习1：写出关于2kπ+α、π＋α、－α、π－α的四组诱导公式.
复习2：推导2π－α的诱导公式.
问题：① －α的终边与α的终边有何关系？ 关于直线 对称
② 根据终边的对称关系，你可得到关于 －α的诱导公式吗？
新知：诱导公式（五）.
六组诱导公式的记忆.
六组诱导公式都可统一为“ ”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. （符号看象限是把α看成锐角时原三角函数值的符号）
※ 典型例题
二 师 生 互动
例1 求证：（1） ；
（2） .
变式：（1） ；
（2） .
小结：体会口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
例2 已知 ，计算：
（1） ； （2） .
化简：
（1） ；
三 巩 固 练 习
1. 若 ，则 =（ ）.
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）.
A. B. C. D.
3. 化简 =（ ）.
A. B.
C. B.
4. = .
5. 若 ，则 .
四 后 反 思
五 后 巩 固 练 习
1. 化简： （k∈Z）.
2. 已知 ,求 的值.
极坐标系的的概念学案
第3时
1.2.1极坐标系的的概念
学习目标
1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.
2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
学习过程
一、学前准备
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在楼处。
（1）他向东偏60°方向走120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
二、新导学
探究新知（预习教材P8～P10，找出疑惑之处）
1、如右图，在平面内取一个 ，叫做 ；
自极点 引一条射线 ，叫做 ；在选定一个 ，
一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），
这样就建立了一个 。
2、设 是平面内一点，极点 与 的距离 叫做点 的 ，记为 ；以极轴 为始边，射线 为终边的角 叫做点 的 ，记为 。有序数对 叫做点 的 ，记作 。
3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？
___________________________________________.
应用示例
例题1：（1）说出右图中各点的极坐标
（2）：思考下列问题，在横线上给出解答。
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点 的极坐标统一表达式。
解：
反馈练习
在下面的极坐标系里描出下列各点
小结：在平面直角坐标系中，一个点对应 个坐标表示，一个直角坐标对应 个点。极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐标只能对应 个点。
三、总结提升
本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）
A．很好 B．较好 C． 一般 D．较差
后作业
1．已知 ，下列所给出的不能表示点的坐标的是
A． B．
C． D．
2、在极坐标系中,与(,θ)关于极轴对称的点是( )
A、 B、
C、 D、
3、设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）
A.( ， ) B. ( ， )
C. (3， ) D. (3， )
4、在右图中，用点A、B、C、D、E分别表示楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。
5、中央气象台在2004年7月15日10：30发布的一则台风消息；今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级。请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置。
圆锥曲线学案练习题
j.Co M
2.1 圆锥曲线
一、知识要点
1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆；抛物线模型的过程；
2.椭圆的定义：
3.双曲线的定义：
4.抛物线的定义：
5.圆锥曲线的概念：
二、例题
例1.试用适当的方法作出以两个定点 为焦点的一个椭圆。
例2.已知：
⑴到 两点距离之和为9的点的轨迹是什么图形？
⑵到 两点距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是什么图形？
⑶到点 的距离和直线 的距离相等的点的轨迹是什么图形？
例3.(参选)在等腰直角三角形 中， ， ，以 为焦点的椭圆过 点，过点 的直线与该椭圆交于 两点，求 的周长。
三、课堂检测
1.课本P26 2www.
2.课本P26 3
3.已知 中， 且 成等差数列。
⑴求证：点 在一个椭圆上运动；
⑵写出这个椭圆的焦点坐标。
四、归纳小结
五、课后作业
1.已知 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线上一点，若点M到直线 的距离为 ，则 =
2.已知点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是 。
3.已知点 ，动点 满足 ( 为正常数)。若点 的轨迹是以 为焦点的双曲线，则常数 的取值范围是 。
4. 已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是 。
5.若动圆与圆 外切，对直线 相切，则动圆圆心的轨迹是 。
6.已知 中， ，且 成等差数列。
⑴求证：点 在一个椭圆上运动；⑵写出这个椭圆的焦点坐标。
7.已知 中， 长为6，周长为16，那么顶点 在怎样的曲线上运动？
8.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 上。把笔尖放在点 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是双曲线的一支，试说明理由。
9.若一个动点 到两个定点 的距离之差的绝对值为定值 ，试确定动点 的轨迹。
10.动点 的坐标满足 ，试确定 的轨迹。
六、预习作业
1.方程 表示椭圆则 的取值范围 。
2.方程 表示焦点在 轴上 。
3.方程 的焦点坐标为 。
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