关于函数图像的教学教案
4.10 正切函数的图象和性质
第二课时
（一）教学具准备
投影仪
（二）教学目标
运用正切函数图像及性质解决问题．
（三）教学过程
1．设置情境
本节课，我们将综合应用正切函数的性质，讨论泛正切函数的性质．
2．探索研究
（1）复习引入
师：上节课我们学习了正切函数的作图及性质，下面请同学们复述一下正切函数 的主要性质
生：正切函数 ，定义域为 ；值域为 ；周期为 ；单调递增区间 ， ．
（2）例题分析
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；
分析：根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断．
解：（1）∵ 的定义域为 关于原点对称．
∴ 为偶函数
（2）∵ 的定义域为 关于原点对称，且 且 ，
∴ 即不是奇函数又不是偶函数．
说明：函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故难证 或 成立之前，要先判断定义域是否关于原点对称．
【例2】求下列函数的单调区间：
（1） ； （2） ．
分析：利用复合函数的单调性求解．
解：（1）令 ，则
∵ 为增函数， 在 ， 上单调递增，
∴ 在 ，即 上单调递增．
（2）令 ，则
∵ 为减函数， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递减，即 在 上单调递减．
【例3】求下列函数的周期：
（1） （2） ．
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为 来解．
解：（1）
∴周期
（2）
∴周期
师：从上面两例，你能得到函数 的周期吗？
生：周期
【例4】有两个函数 ， （其中 ），已知它们的周期之和为 ，且 ， ，求 、 、 的值．
解：∵ 的周期为 ， 的周期为 ，由已知 得
∴函数式为 ， ，由已知，得方程组
即 解得
∴ ， ，
［参考例题］求函数 的定义域．
解：所求自变量 必须满足
（ ）
（ ）
故其定义域为
3．演练反馈（投影）
（1）下列函数中，同时满足①在 上递增；②以 为周期；③是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
（2）作出函数 ，且 的简图．
（3）函数 的图像被平行直线_______隔开，与 轴交点的横坐标是__________，与 轴交点的纵坐标是_________，周期________，定义域__________，它的奇偶性是_____________．
参考答案：（1）C．
（2）
如图
（3） （ ）； ，（ ）；1； ； ；非奇非偶函数．
4．总结提炼
（1） 的周期公式 ，它没有极值，正切函数在定义域上不具有单调性（非增函数），了不存在减区间．
（2）求复合函数 的单调区间，应首先把 、 变换为正值，再用复合函数的单调性判断法则求解．
（四）板书设计
课题——
例1
例2
例3
例4
［参考例题］
演练反馈
总结提炼
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