最小二乘估计教案

时间：2021-03-02 15:34:15 教案我要投稿

最小二乘估计教案

　　教学目标：

最小二乘估计教案

　　1、掌握最小二乘法的思想

　　2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程

　　教学重点：

　　最小二乘法的思想

　　教学难点：

　　线性回归方程系数公式的应用

　　教学过程

　　回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。

　　问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?

　　想法：保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。

　　最小二乘法就是基于这种想法。

　　问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?

　　设直线方程为y=a+bx，样本点A(xi，yi)

　　方法一、点到直线的距离公式

　　方法二、

　　显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。

　　问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?

　　例如有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)与直线y=a+bx的接近程度：

　　从而我们可以推广到n个样本点：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)与直线y=a+bx的接近程度：

　　使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法

　　问题4、怎样使达到最小值?

　　先来讨论3个样本点的情况

　　设有3个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：

　　①

　　整理成为关于a的一元二次函数，如下所示：

　　利用配方法可得

　　从而当时，使得函数达到最小值。

　　将代入①式，整理成为关于b的一元二次函数，

　　同样使用配方法可以得到，当

　　时，使得函数达到最小值。

　　从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。

　　用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：

　　其中

　　由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。

　　例题与练习

　　例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表

　　气温(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1

　　杯数(yi)/杯 20 24 34 38 50 64

　　(1) 试用最小二乘法求出线性回归方程。

　　(2) 如果某天的气温是-3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。

　　解：(1)先画出其散点图

　　i xi yi xi2 xiyi

　　1 26 20 676 520

　　2 18 24 324 432

　　3 13 34 169 442

　　4 10 38 100 380

　　5 4 50 16 200

　　6 -1 64 1 -64

　　合计 70 230 1286 1910

　　可以求得

　　则线性回归方程为

　　y =57.557-1.648x

　　(2)当某天的.气温是-3 oC时，卖出热茶的杯数估计为：

　　练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )

　　x 0 1 2 3

　　y 1 3 5 7

　　(A)(2，2) (B)(1.5，0) (C)(1，2) (D)(1.5，4)

　　练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：

　　商店名称 A B C D E

　　销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9

　　利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5

　　(1) 画出销售额和利润额的散点图;

　　(2) 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。

　　解：(1)

　　(2)数据如下表：

　　i xi yi xi2 xiyi

　　1 3 2 9 6

　　2 5 3 25 15

　　3 6 3 36 18

　　4 7 4 49 28

　　5 9 5 81 45

　　合计 30 17 200 112

　　可以求得b=0.5，a=0.4

　　线性回归方程为：

　　小结

　　1、最小二乘法的思想

　　2、线性回归方程的系数：

　　作业：P60 习题1-8 第1题

【最小二乘估计教案】相关文章：