反例与证明数学教案

时间：2022-10-07 19:46:16 教案我要投稿

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反例与证明数学教案

　　一、教材、学情分析：

反例与证明数学教案

　　举反例和证明同样重要，注重反例教学以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。

　　二、教学目标：

　　（一）知识与技能

　　通过实际问题的分析，理解反例的意义和作用。掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。

　　（二）教学思考

　　通过判定引入命题的真假培养学生的思维能力; 在思考争论的过程中，学会合作，交流思想；通过独立思考与小组合作，小组竞赛培养学生独立自主精神、合作精神和竞争意识；

　　（三）解决问题

　　会利用一些简单的例子，对一个命题作出合理的解释判断与证明；提高他们处理问题和解决问题能力；

　　（四）情感与态度

　　通过数学知识的实际应用，渗透数学来源于生活又应用于生活的思想，体验学习数学的乐趣，从而激发他们的学习兴趣。

　　【教学重点、难点】

　　重点：用反例证明一个命题是错误的．

　　难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．因为要从条件出发又不能使其满足结论，要求学生对数学概念的理解能力较高。

　　【教学过程】

　　一、谈话引入，激发兴趣

　　读一读：

　　高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到的高度，而是继续不断地攀登”。

　　师：高斯是伟大的数学家，他告诉我们要不断学习，学无止境，让我们继续不断地向上攀登吧！

　　（设计意图：师生交流，联络感情，通过一起学习名人名言可缩小师生之间的距离，使学生体会到师生之间是平等的，另一方面通过学习名言可对学生进行思想教育，希望他们能继续努力，永攀高峰。）

　　二、师生交流，引入新课

　　高斯是伟大的数学家吗？这句话是命题吗？

　　（通过它来复习命题的概念，请学生将这句话改成一个命题）

　　高斯是伟大的数学家。再问这个命题正确吗？（学生答）

　　我们再来判断下列命题的真假[

　　（1）会飞的动物都是鸟。

　　（学生会说是假命题。）

　　师问：为何是假命题？学生举出蝴蝶、苍蝇、蜻蜓等会飞，但不是鸟。

　　（设计意图：让学生能够分辨一个命题的真假，能够举出适当的反例。使学生初步有通过举反例可以说明一个命题是假命题的思想，以便在解决下面三题时能想出举出反例。）

　　（2）素数是奇数（学生答：假命题，举例2）

　　（3）黄皮肤、黑头发的人是中国人（学生答：假命题，举例韩国人，日本人等）

　　（4）在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形（学生答：假命题，等腰直角三角形等）

　　师：我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢？如上述四个命题你是如何来说明它是假命题的？（学生能够答：举个例子说明）

　　今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题反例与证明

　　三、师生互动，学习新知

　　1、小组合作，共同进步

　　师生总结：从引例知道判断一个命题是假命题只要举出一个例子即可。

　　学生讨论：怎么样例子才能判断一个命题是假命题？

　　学生分小组讨论，教师巡回指导，每小组代表发言

　　师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子，这样的例子称为反例。

　　师：如可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题.

　　韩国人，日本人也是黄皮肤、黑头发的人从而证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题。这些例子都符合命题的条件但不具备命题的结论。

　　（设计意图：让学生充分讨论我们所需要的反例有什么要求，因为举反例有时比较困难。通过学生激烈的争论可以给学生一个举反例的指导方向，学生在争论中更易接受正确的知识，使学生能在判定具体命题真假时举出适当反例。）[

　　2、比一比，赛一赛（小组竞赛）

　　判断下列命题是真命题还是假命题，是真命题请证明，是假命题请举反例.

　　（1）三角形的外角和等于360

　　（2）三线两两相交,必有三个交点

　　（3）若ab＜0，则a＞0,b＜0

　　（4）任何三条线段都能组成一个三角形

　　（5）若 x+y=0，则

　　（设计意图：通过学生竞赛，激发学生学习兴趣。趁热打铁，及时巩固，培养学生的动手能力和应用知识解决问题的能力，让学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例）

　　3、设置一个互动游戏：让一个学生出一个命题，另一学生判断真假。

　　（设计意图此处设置互动游戏，一方面是为了更好地以另一种方式促进学生的学习参与，另一方面也是为了调节课堂的气氛，因为这段时间学生在下午的学习总是感觉疲劳，兴趣不是很高，这样就可以更好地促进学生，调节气氛。）

　　师：我们已经能举出反例说明一个命题是假命题，如何在解题过程中将反例用数学语言规范的表述，请同学们尝试解决以下两题。

　　例题：判断下列命题的真假，并给出证明(第一题较简单学生易举出反例，第二题学生需要构造出图形较为困难，老师巡视时给予适当引导。)

　　（1）若2 x + y = 0，则x = y = 0

　　（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等

　　学生先自主解决，然后小组内交流纠错。老师巡视发现学生的表述不规范之处，予以纠正。挑出学生解题中普遍存在问题，用投影仪集体纠错，规范解题步骤。

　　（设计意图：学生先尝试数学问题中反例的表述，使学生感觉到学习并不是一件很容易或很困难的事情。然后通过合作学习，为每位学生提供交流的空间，让他们能积极参与，勇于发表自己的观点，帮助其他同学修正错误，给学生以成就感。）

　　幻灯片给出具体解题过程

　　解（1）是假命题。

　　取x = -1 , y = 2 ，

　　则2 x + y = 2 （-1）+ 2 = 0

　　但x0且y0。

　　即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条件，

　　但不具备命题的结论，

　　所以此命题为假命题

　　（2）假命题。

　　如图：△ABC和△ABC中，

　　A=75

　　C=45

　　AB=AB=2.5cm

　　但很明显△ABC和△ABC不全等，

　　所以此命题为假命题

　　例题小结：如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。

　　四、应用新知，体验成功

　　（设计意图：学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例。代数问题稍好解决，几何问题构造图形是学习中较为难解决的问题，予以适当强化。）

　　判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。（学生小组讨论，构造反例。）

　　老师分析引导：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。

　　（老师巡视挑出解答较好的两个反例投影展示，请学生介绍解题思路。老师点评并做补充。）

　　本题可以从以下两方面考虑，如图444（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点），如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，C，AE=AE，显然它们不全等。

　　解这是一个假命题，证明如下：

　　如图444（1），在 △ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。

　　则AB=AC，（已知）

　　AD=AD，（公共边）

　　D=D，（公共角）

　　但△ADB与△ADC不全等。

　　评注能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。

　　五、课堂小结，形成系统

　　畅所欲言：通过这节课的学习，谈谈你的收获与体会。

　　（设计意图：让学生自己总结本堂课的得失，一方面培养学生善于总结反思的良好习惯；另一方面可以提高学生的语言表达能力，为自己和其他同学梳理了知识体系，使其系统化，起到画龙点睛的作用。）

　　老师给出本节知识点：1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。

　　2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子。