分式期中复习教学教案
第八章 分式
【知识要点】
1.分式：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有 ，那么代数式 叫做分式.
分式的有意义、无意义和值为零：
（1）若分式 有意义，则必须满足条件：
（2）若分式 无意义，则必须满足条件：
（3）若分式 值为零，则必须满足条件：
2.分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 .
即： ，
（其中M是不等于0的整式）
3.分式的运算：
（1）加减运算：
例如：计算： .
解：原式=
→对各个分母进行因式分解！
→找到最简公分母是：
然后通分！
→把各个分子进行合并！然后看分子、分母能不能约分！
→约分，得到结果！
（2）乘除运算：
例如：计算：
解： 原式=
→对各个分子、分母进行因式分解！
→约分，得到结果！
4.分式方程的解法：
解方程： .
解：方程两边同时乘以 ,得:
-→方程两边同时乘以最简公分母,目的是约去分母，化为整式方程.
解之得，
-→解这个整式方程,求出方程的根
检验：把 =3代入 中， ≠0.
-→一定要有“检验”这一步!检验方法：把求出的根代入最简公分母中，若分母为零，则是增根；若分母不为零，则是方程的根.
所以原分式方程的解为： .
分式方程的增根同时满足的两个条件：
①增根是（由分式方程化成的）整式方程的根；
②增根使最简公分母为零.
例如：若方程 有增根，求 的值.
解：把原方程化为整式方程，得
∵方程有增根
∴ 理由：②增根使最简公分母为零.
把 代入整式方程 中，得
理由：①增根是（由分式方程化成
的）整式方程的根.
5.分式方程的应用：
略
【基础训练】
1.（10湖南株洲）若分式 有意义，则 的取值范围是 .
2.（10湖北荆州）分式 的值为０，则x= .
3.把分式 中的分子、分母的 、 同时扩大2倍，那么分式的值
A.扩大2倍 B.缩小2倍
C.改变原来的 D.不改变
4.分式 与下列分式相等的是
A. B. C. D.
5. 的正确运算顺序是
A. B. C. D.
6.计算 的结果是
A. B. C. D.
7.分式运算： ，其最简公分母是
A. B.
C. D.
8.（09湖北荆门）计算 的结果是 .
9.（09山东淄博）化简 的结果为
A. B. C. D.
10.（10河北）化简 的结果是
A. B. C. D.1
11.（10四川内江）化简： _________.
12.（10江苏苏州）化简 的结果是
A. B. C. D.
13.（10云南昆明）化简： .
14.（07江苏连云港）当 时，分式 的值是 .
15.（09浙江温州）某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树 棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含 的代数式表示)．
16.（10山东东营）分式方程 的解是
A.－3B.2 C.3 D.－2
17.把分式方程 的两边同时乘以 约去分母得
A. B.
C. D.
18.（10山东青岛）化简： .
19.（10江苏无锡）计算：
20.（10江苏连云港）化简：(a－2)?a2－4a2－4a＋4
21.（10江苏盐城）计算： ( )÷(1 )
22.（10江苏南京）计算(1a － 1b )÷a2－b2ab
23.（10湖北武汉）先化简，再求值：
，其中 .
24.（10江苏宿迁）解方程： .
25.（10福建南平）解方程：xx+1 + 2x -1 =1.
26.（10山东菏泽）解分式方程： .
27.（10江西南昌）解方程: .
28.（10四川达州）对于代数式 和 ，你能找到一个合适的 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程.
【能力提高】
29.请你给 选择一个合适的值，使方程 成立，你选择的 =_______.
30.（10黑龙江大兴安岭）已知关于x的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是 .
31.（2009牡丹江）若关于 的分式方程 无解，则 .
32.在解方程 时，你认为下面哪一个步骤最有可能导致增根的产生？
A.去分母 B.去括号 C.移项 D.合并同类项
33.分式方程 ，下列说法正确的是
①方程的根为 ；②方程无解；
③方程有增根 ；④方程的根为 .
A. ①② B.①③ C .②③ D. ②④
34.观察给定的分式： ，猜想并探索规律，第10个分式是 ，第 个分式是 .
35.（08西宁）写出一个含有字母 的分式（要求：不论 取任何实数，该分式都有意义） .
36.若分式 和 满足： ，其中 ，则 = .
37.若 ，则 ，
38.（10广西桂林）已知 ，则代数式 的值为___ ______.
39.（10湖北黄冈）已知， ， .则式子 .
40.（08芜湖）已知 ，则代数式
的值为 .
41.（10甘肃9市）观察：
则 ( =1，2，3，…).
42.正数范围内定义一种运算规则为 ，根据这个规则，求方程 的解.
43.（10山东济宁）观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 = ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和： + + +…+ .
44.（10江苏盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.
线段、角的对称性
1.4 线段、角的对称性（二）
学习目标：
1、能用角 的平分线的性质解决一些实际问题。
2、记住角的平分线是具有特殊性质的点的集合。
学习重点与难点：
重点：掌握角平分线的 性质。
难点：理解角的平分线是具 有特殊性质的点的集合。
学习过程：
一、知识梳理
1、角的轴对称性
角(填“是”或“不是”)轴对称图形，对称轴是。
2、角平分线的性质与判断
（1）如图1，OE平分 ,P是OE上的一点，PC ,PD ，垂足分别为点C、D,根据角平分线的性质填空：
OE平分 , PC ,PD ,
（２）如图２，已知 ，先作出 、 的平分线，相交于点Ｏ，过点Ｏ作ＯＤ ，ＯＥ ，ＯＦ ，垂足分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，再填空：
ＢＯ平分 ， ＯＤ ，ＯＥ ，
ＯＤ＝ＯＥ（ ）
ＣＯ平 分 ， ＯＥ ，ＯＦ ，
即三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
ＯＤ＝ＯＦ，ＯＤ ＯＦ （ ），
点在 的平分线上（ ）
３、角平分线作图的简单应用
“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路ｌ 、ｌ 和两 个城镇Ａ、Ｂ（如 图３），准备建一 个燃气控制中心站Ｐ， 使中心站到两条公路的距离 相等，并且到两个城市的距离相等，请你画出中心站的位置。（保留画图痕迹，不写作法）
例1 如图，AD是 的角平分线，DE、DF分别是 、 的高。试说明AD垂直平分EF.
三、尝试练习
1、到三角形三边距离相等的点是 （ ）
A 三条高的交点 B 三条中线的交点
C 三条垂直平分线的交点 D三条内角平分线的交点
2、如图，在 中， ,AD平分 ,CD=5,则点D到AB的距离为
四、小结
三角形全等的判定教学案
【学习目标】：
1.通过探究两个三角形具备三个条两边及其夹角对应相等，得到 三角形全等的另一判定方法。
2.能初步应用“边角边”条判定两个三角形全等.
【学习重难点】：
1.重点：SAS结论及其运用.
2.难点：领会SAS结论.
【前自学、中交流】
一、想一想
通过上节的学习，我们已经知道把两根木条的一端用螺栓固定在一起，连结另
两个端点所成的三角形不能唯一确定。例如，图中ΔABC与ΔAB'C不是全等三角形。
但如果把另两个端点也用螺栓固定在第三根木条上，那么构成的三角形的形状、
大小就完全确定。
现在我们考虑这样的问题：如果将两木条之间的夹角（即∠BAC）大小固定，那么ΔABC能唯一确定吗？
二、动一动
让我们动手做一做：用量角器和刻度尺画ΔABC，使AB=4cm，BC=6cm，∠ABC=60.将你画出的三角形和其他同学画的三角形 进行比较，它们能互相重合吗？由此你得 到了什么结论？
一般地，有两边和这两边的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
如图，若∠ABC=∠A'B'C'，AB= A'B'，BC=B'C'，则ΔABC≌ΔA'B'C'。
例1：如图，为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D都在一条直线上。小红认为只要量出DC的距离，就能知道AB的距离。你认为正确吗？请说明理由。
证明：在ΔAOB和ΔCOD中，
∴ΔAOB≌ΔCOD(SAS)
∴ AB=CD
当堂训练】
1、如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工内槽宽的卡钳，在图中，要测量 工 内槽宽AB，只要测量什么？为什么？
2、如图，点D，E分别在AC，AB上 . 已知AB=AC，AD=AE，则BD= CE.请说明理由（填空）。
证明：在ΔABD和 中，
∴BD=CE（ ）
3、如图 ，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA.请说明下列结论成立的理由：
（1）ΔABC ≌ ΔBAD；（2）BC=AD，∠C=∠D.
4、如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求 证:∠A=∠D.
证明：
∵BE=CF
∴BE+EF＝CF+
即 =
在△ABF和△D CE中，
∴△ABF≌△DCE（ ）.
5. 如图，已知：AD∥BC，AD＝CB，AF＝CE.求证：△AFD≌△CEB.
证明：∵ AD∥BC，
∴∠A＝∠___（两直线平行， 相等）
在△ 和△ 中，
∴△ _≌△ （______）.
1．如图，已知：AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF.求证：∠D＝∠B.
【后作业】
【后反思】通过本节的学习，我的收获和困惑是：
线段、角的轴对称性(2)学案
课型：新课
学习目标（学习重点）：
1．通过折叠的方式认识角的轴对称性．
2．探索并掌握角平分线的性质，解决一些简单的问题．
3. 会尺规作图作角平分线
补充例题：
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）若BC=8，BD=5，求点D到AB的距离．
（2）若BD∶DC=3∶2，点D到AB的距离为6，求BC的长．
例2．如图所示，A、B是两个工厂，m、n是两条公路，现要在这一地区建一加油站，要求这个加油站到A、B两个工厂的路程相等、到两条公路m、n的距离也相等，是否存在同时满足这两个要求的地点？怎样找出这个地点？
例3． 如图所示，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA是上一点，E是OB上一点，且PD＝PE，试说明：∠PDO＋∠PEO＝180°.
拓展提高
1. 已知点P是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点．试说明： AP平分∠BAC．
2 如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，
现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
可供选择的地址有几处？如何选？
3．已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF． 试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由．
课后作业：
自我检测题（“体检题”）
一、填空题（每空7分，共49分）
1．角平分线上的点到__________________________的距离相等．
2．角的内部到角的两边距离相等的点，在________________________________.
3．如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=__________cm．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，点D到AB的距离为5cm，则CD=_____cm．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，且CD∶AD＝2∶3，则点D到AB的距离为_________．
第3题 第4题 第5题
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB
；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
7．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．
下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二、解答题：
8．（17分）已知：如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线交于点P，
试说明：点P到AB、CD的距离相等.
（友情提醒：应先在图中作出点P到AB、CD的距离再进行下一步的解题）
9．（17分）已知∠BAC等于60°，点E、F分别位于∠BAC
的两边上．试在∠BAC的内部寻找一点O，使点O到点E、F
的距离相等，且到∠BAC的两边距离相等．
10．（17分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
S△ABC ＝36，AB＝18，BC＝12，求DE的长.
等腰梯形的对称性学案
学习目标:
1、知道等腰梯形的概念，等腰梯形的轴对称性极其相关性质；
2、能利用等腰梯形的性质进行有条理的说理。
重点、难点：能利用等腰梯形的性质进行有条理的说理
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1、什么叫梯形？什么叫等腰梯形？
2、等腰梯形的对称轴是什么？
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1、已知，如图△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作
DE∥BC交AC于点E，BD=CE吗？为什么？
2、在梯形ABCD中，BC∥AD,DE∥AB,DE＝DC,
∠A＝100°则∠B＝____,∠C＝____,
∠ADC＝____,∠EDC＝____.
3、等腰梯形是轴对称图形， 的直线是对称轴。
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1：试说明：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
试说明：∠B=∠C。
分析：本题可以从轴对称图形的特征来说明；
也可从以下的二个角度着手证明（附二种方法的图形）。
解法一：
解法二：
问题 2：试说明：等腰梯形的两条对角线相等。
已知：在梯形 中， ， ，
AC与BD相等吗？请说明理由。
四. 【解疑助学】生生互动、突出重点
问题 3：（1）按要求对下列梯形分割（分割线用虚线）
分割成一个平行四边形和一个三角形；
②分割成一个长方形和两个直角三角形；
（2）你还有其他分割的方法吗？画出来，并指出分割后得到哪些图形？
（3）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝900，AB＝4cm，BC＝8cm，∠C＝450，请
用适当的方法对梯形分割，利用分割后的图形
求AD的长。
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
1、如图，梯形ABCD，AB∥CD，AD＝BC，
AC 和BD交于点O，试说明：OD＝OC。
2、 如图，梯形ABCD中，AD // BC，AC = BD 试说明：AB = DC
3、如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，E为CD中点，AE与
BC的延长线交于F。(1)判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，说明理由。
(2)判断S△ABE，和S梯形ABCD有何关系，并说明理由。
(3)上述结论对一般梯形是否成立？为什么？
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1、____________相等的_______________叫做等腰梯形；
2、等腰梯形是 对称图形，______________是对称轴；
等腰梯形在____________的两个底角相等；等腰梯形的对角线 。
3、梯形常见辅助线添法：延长两腰，平移一腰，作梯形的高，平移对角线。
简单的图案设计教案
第三章 图形的平移与旋转
总课时：7课时 使用人：
备课时间：第四周 上课时间：第五周
第7课时：简单的图案设计
目标
一）知识与技能：
1．了解图案最常见的构图方式：轴对称、平移、旋转……，理解简单图案设计的意图。
2．认识和欣赏平移，旋转在现实生活中的应用，能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合，设计出简单的图案。
（二）过程与方法
经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程,进一步发展空间观念、增强审美意识.
（三）情感、态度与价值观
1．经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念、增强审美意识.
2．通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神.
重点：灵活运用平移、旋转与轴对称的.组合进行简单的图案设计.
教学难点：灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计.
教学过程
第一环节 复习旧知，引入新课（5分钟，学生欣赏，感受图形变换）
活动内容：复习全等变换中所学的 图案设计方法。
提问：
1．我们已经具备了简单图案设计的基本知识与技能：
用最基本的几何元素――点、线设计与制作图案；
用最简单的几何图形――三角形、矩形设计、制作图案；割补、无缝隙拼接。
2．下面 的图案是 怎样设计出来的？
第二环节 探索新知（10分钟，学生小组合作，解读探究）
内容：各小组充分讨论教材所示图案的形成过 程，
在生活中，我们经常见到一些美丽的图案：
你能用平移、旋转或轴对称分析如图中各个图案的形成过程吗？你是怎样分析的？与同伴交流。
对教材给出 的六个图案通过观察、分析进行议论交流，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方 法，为学生自己设计图案指明方向。其中图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以看作是由“基本图案”通过旋转适合角度形成（可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置），另外图（2）、（3）、（5）也可以看作是由“基本图案”通过轴对称变换形成（可以让学生指出对轴对称及对称轴的条数），图（2）还可以看作是由“基本图案”通过平移形成。
第三环节：合作交流，解决问题（10分钟，学生欣赏，全班交流）
内容：
1．欣赏下图的图案,分析这个图案形成的过程 ，仿照图3―23中的某个标志设计一个图案，与同伴交流，并简述你的设计意图。
2．例 1 欣赏图 3―24 的图案，并分析这个图案形的过程。
提问：
1．基本图案是什么？有几个？
2．分析同色“爬虫”、异色“爬虫”之间的关系。
教师引导学生发现：这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“ 爬虫” （绿、白、黑），形状、大小完全相同。
在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点。
第四环节：练习与提高（10分钟 ，学生观察分析，全班交流）
内容：
1．下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程。
这个图形可以按照以下步骤形成的。
（1）以一个三角形的一条边为对称轴作与它对称的图形。
（2）将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180 °。
（3）分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形。
2．欣赏：
第五环节：课堂小结（5分钟，学生归纳）
内容：师生互相交流总结三种图形变换方式的特点，怎样选择变换方式，课前准备所学到的课外知识及切身感受等。
第六环节：布置作业
A组（优等生）和B组（中等生）：
．仿照下图中的某个标志,每个小组设计一个图案。你设计的图案是如何形成的?要表现什么?
提 示：可以利用平移、旋转、轴对称等多种方法来设计，而且设计的图案要能表达自己的创作意图，再就是图案的设计一 定要新颖，独特，这样才能使人过目不忘，达到标志的效果。
C组（后三分之一生）．课后习题。
教学反思：
代数式的化简与求值
第三十三讲 代数式的化简与求值
1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．
2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：
(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；
(2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简；
(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；
(4)有时 对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．
例题求解
【例1】已知 ，求 的值．
思路点拨 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．
注 本题使用了整体代换的作法．
【例2】已知：x+ y+x=3a(a ≠0)，求： 的值．
思路点 拨 由 得：
解设 ， ， ，∴
∴原式= （可将 两边平方的得到）
【例3】已知 ，求 的值．
思路点拨 设
∴ ，然后对 和 两种情况进行讨论，原式= 和 ．
【例4】已知 ， ， ，求（1） 的值：（2） 的值．
思路点拨 先由条件求出 ，可得 ， ．
注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．
【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是 （a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B
【例6】 已知非零实数 a、b、c满足 ， ，求 的值．
思路点拨 原条件变形为：
∴ 为±1或0．
【例7】(2001年重庆市)阅读下面：
在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个 数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式 计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= ．
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表 为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假 设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
1995年1996年1997年
每年植树的面积（亩）100014001800
植树后坡荒地的实际面积(亩)252002400022400
思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200，
1997年减少了24000－22400=1600，
m年减少了1200+400×(m―1996)．
1200+1600+…+1200+400(m―1996)=25200．
令n=m―1995，得 ， 或 （舍去）
∴ m =1995+n =2004．
∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．
【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空 挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )
A．1种 B． 2种 C．4种 D．0种
思路点拨 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n―1)，由题意可知 ，即n=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+(n―1)，且n与2k+(n―1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B
【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式：
好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，
其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ．
思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：
(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为
2×11×(真×10+1)=2002+题×110，
即 真×10+1=91+题×5．
上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91．
由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002．
(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为
8×44×(真×10十4)=8008+题×110．
即704+1760×真=4004十题×55．
在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示 相同的数字，与题意不符．
故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．
由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．
【例9】设 ，，且 ．
求 的值．
思路点拨 设 ，显然 ，于是 ， ， ，代入已知得 ，即 ，
由 ， ，可知 ， ， ，∴ ，原式=1．
学力训练
(A级))
1．当m在可取值范围内取不同的值时，代数式 的最小值是( )
A．0 B．5 C．3 D．9
2．已知：a、b都是负实数，且 ，那么 的值为( )
A． B． C． D．
3．如a、b、c是三个任意整 数，那么 、 、 ( )
A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数
4．如果 ，那么 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知： ， ， ，且 ，试求 的值．
6．已知 ，那么 的值是多少？
（B级）
1．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是( )
A．3 B． C．2 D．
2．已知m>0， n>0，且 ，求 的值．
3．已知 2，试求 的值．
4．已知 ， 且x≠y，求 的值．
5．设a、 b、c均不为0，且 ， ，求证：a、b、c中至少有一个等于1998．
6． 已知a、b、c为整数，且满足 ，求 的值．
A级
1．B 2．C 3．C 4 ．D 5．1 6．20
B级
1．B．2．3 3．4 4．
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