数列教案教学设计
1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．
2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．
【复习指导】
1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．
2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．
基础梳理
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
如果A＝a＋b2A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 2
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝
前n项和公式为Sn＝na1＋***ndna1＋an2{an}的首项是a1，公差是d，则其nn－12d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
dd?Sn＝n2＋?a1n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 2?2?
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋?＋an，①
Sn＝an＋an－1＋?＋a1，②
①＋②得：Sn 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，?.
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，?，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法 等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An＋Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
课堂自测
1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )．
A．4B．5C．6D．7
解析 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6. 答案 C
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于
( )．
A．31B．32C．33D．34 2*??a1＋5d＝2，解析由已知可得??5a1＋10d＝30，? 26a＝，??3解得?4d??31 8×7∴S8＝8a1＋＝32.答案 B 2
3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝( )．
A．1B．9C．10D．55
解析 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 答案 A
4．(2012·杭州)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )．
A．13B．35C．49D．63
7解析 ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝a1＋a72＝49.答案 C
5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析 设公差为d. 则a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案 13
考向一 等差数列基本量的计算
【例1】?(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
[审题视点] 第(1)问，求公差d；
第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n.
22进而由Sk＝－35可得2k－k＝－35.
即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N，故k＝7为所求．
等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知
两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．
【训练1】 (2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
考向二 等差数列的判定或证明
1【例2】?已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. 2
?1?(1)求证：?是等差数列； ?Sn?*2
[审题视点] (1)化简所给式子，然后利用定义证明．
(2)根据Sn与an之间关系求an.
(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
11∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－2(n≥2)． SnSn－1
?1?11由等差数列的定义知?是以2为首项，以2为公差的等差数列．
S1a1?Sn?
等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和
公式法主要适合在选择题中简单判断．
【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
考向三 等差数列前n项和的最值
【例3】?设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
[审题视点] 第(1)问：列方程组求a1与d；
第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
??a1＋2d＝5，??a1＋9d＝－9，? ??a1＝9，可解得??d＝－2.?
数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na12nn－12＝10n－n2. 因为Sn＝－(n－5)＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
(2)利用等差数列的前n项和Sn＝An＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
【训练3】 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，2Sn取得最大值，并求出它的最大值．
考向四 等差数列性质的应用
【例4】?设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.
[审题视点] 在等差数列 {an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)用此性质可优化解题过程．
解 由题意可知a1＋a2＋?＋a6＝36① *
an＋an－1＋an－2＋?＋an－5＝180②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋?＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216. ∴a1＋an＝36.又Sn＝
∴18n＝324.
∴n＝
18.
本题的解题关键是将性质m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq与前n项和公式Sn＝na1＋an2324，
na1＋an2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．
【训练4】 (1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋?＋a17＝________.
(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．
【试一试】 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足： Sn＝(an＋2)2.
(1)求证：{an}为等差数列．
1(2)若bnan－30.求数列{bn}的前n项和的最小值． 2
12[尝试解答] (1)证明：当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋2)， 8
∴(a1－2)＝0，∴a1＝2.
1122当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋2)－(an－1＋2)， 88
∴an－an－1＝4，
∴{an}为等差数列．
(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，
131由bn＝n－30＝2n－31≤0得n≤22
∴{bn}的前15项之和最小，且最小值为－225.
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