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高一数学第二章《解析几何》初步教案

时间:2023-03-26 01:19:12 教案 我要投稿
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北师大版高一数学第二章《解析几何》初步教案

  2、1直线与直线的方程

北师大版高一数学第二章《解析几何》初步教案

  第一课时 直线的倾斜角和斜率

  一、教学目标:

  1、 知识与技能:(1)、正确理解 直线的倾斜角和斜率的概念.(2)、理解直线的倾斜角的唯一性.(3)、理解直线的斜率的存在性.(4)、斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.

  2、情感态度与价值观:(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

  二、重点与难点:

  直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

  三、教学用具:

  计算机

  教学方法:启发、引导、讨 论.

  四、教学过程

  (一)、直线的倾斜角的概念

  我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易 见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

  (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

  引入直线的倾斜角的概念:

  当直线l与x 轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾 斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

  问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α<180°.

  当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

  因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

  如图, 直线a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

  确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.

  (二)直线的斜率

  一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,也就是 = tanα

  ⑴当直线l与x轴 平行或重合时, α=0°,  = tan0°=0;

  ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°,  不存在.

  由此可知 , 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率不一定存在.

  例如, α=45°时,  = tan45°= 1;

  α=135°时,  = ta n135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1.

  学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

  (三) 直线的斜率公式:

  给定两点P1(x1,1),P2(x2,2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

  可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)

  斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点:

  (1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;

  (2)与P1、P2的顺序无关, 即1,2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不 能交换;

  (3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

  (4) 当 1=2时, 斜率 = 0, 直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.

  (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

  (四)例题:

  例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

  分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得的值;

  而当 = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;

  而当 = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;

  而当 = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

  略解: 直线AB的斜率1=1/7>0, 所以它的倾 斜角α是锐角;

  直线BC的斜率2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

  直线CA的斜率3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

  例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.

  分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.

  略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,),根据斜率公式有, 1=(-0)/(x-0所以 x = ,可令x = 1, 则 = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点

  M(1,1), 可作直线a. 同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)

  (五)练习: P91 1. 2. 3. 4.

  (六)小结: (1)直线的倾斜 角和斜率的概念.(2) 直线的斜率公式.

  (七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.

  五、教后反思:

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