探索勾股数

探索勾股数

　　又快到一年一季的毕业季节啦，各大高校的童鞋们又要开始疯狂滴写论文改论文啦，小编在这里对你们表示深深的同情。同情之余，小编也为大家带来了数学毕业论文，供大家阅读参考!

　　摘要：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。如果a、b、c 三者互质(它们的最大公因数是1)，它们就称为素勾股数。勾股数中含有许多规律，我们对其进行了探索。

　　关键词：勾股数　素勾股数　奇数　偶数　质数

　　如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。如果正整数a、b、 c是勾股数，那么易证它们的正整数倍数也是勾股数：∵a2+b2=c2，∴(na)2 +(nb)2 =n2a2+n2b2=n2(a2+b2)= n2c2=(nc)2,即正整数na、nb、nc也是勾股数。如果a,b, c三者互质(它们的最大公因数是1)，它们就称为素勾股数。

　　其实这是生活在2500年前的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯在摆放小石子时发现的：当小石子的数目是l、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数;当小石子的数目是l、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数……如图，在一些正方形数里(0当作石子)，左上角第一个框内的数是正方形n2，;第二框内的正方形数是(n+1)2。

　　显然，(n+1)2-n2=2n+1。若2n+1是完全平方数，可设2n+1=w2，而它又是奇数，所以w必是奇数。再设w=2p+1,则：

　　2n+1=(2p+1)2=4p2+4p+1,则n=2p2+2p=2p(p+1),

　　(n+1)2=[2p(p+1)+1]2，n2=[2p(p+1)]2。

　　所以[2p(p+1)+1]2-[2p(p+1)]2=(2p+1)2，这组勾股数也叫毕达哥拉斯数。

　　几百年后，希腊数学家丢番图(Diophontus，约250)发现了2mn、m2-n2、m2+n2这组勾股数，他在《算术》一书中论述了求解x2+y2=z2的一般解的问题。

　　显然，最短边为偶数时，勾股数有此规律，而且这些勾股数都是素勾股数。

　　所以不小于3的自然数为勾股，必存在一组勾股数。素勾股数(不是所有的素勾股数)很多都可用上述列式找出，这亦可推论到，数学上存在无穷多的素勾股数。有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是20，它在以下两组勾股数之中出现了：20、21、29与20、99、101。

　　在这里，我们发现了一些事实或规律：

　　1.勾股数不可能是三个奇数，因为两个奇数的平方和不可能是第三个奇数的完全平方。比如(2m+1)2+(2n+1)2=4m2+4n2+4m+4n+2是偶数，所以直角三角形较短两边(边为整数)一定是一奇一偶。

　　2.最短边为奇数2p+1时，最短边的平方等于另外两条边的和。

　　设最短边为2p+1，则(2p+1)2=4p2+4p+1=2p(p+1)+[2p(p+1)+1];

　　即a2=b+c(a

　　3.勾股数a、b、c，若a为质数，则2(a+b+1)与2c-1均为完全平方数。理由：勾股数a为质数，a必为奇数，可令a=2p+1，则b=2p2+2p，c=2p2+2p+1;

　　∴2(a+b+1)=2(2p+1+2p2+2p+1)=4(p+1)2;

　　2c-1=2(2p2+2p+1)-1=4p2+4p+1=(2p+1)2。

　　4.注意第一组数“2mn，m2-n2，m2+n2”中若m和n互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a、b、c就是素勾股数(若m和n都是奇数，a、b、c就会全是偶数，不符合互质)。

　　通过这次的讨论发现，日常的一些定理和公理，经过对其深入钻研，会发现里面蕴涵的东西很丰富，对我们解题很有帮助。我们可以将类似的内容作为学生的课题性学习，开阔学生的思路，达到帮助教学的目的。

　　参考文献

　　1.于锋 趣谈勾股数。

　　2.彭云龙 勾股数的联想。

　　3.数学发展史概述。

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