二次曲线束理论及其应用

时间：2020-12-05 17:15:16 数学毕业论文我要投稿

二次曲线束理论及其应用

　　摘要： 本文介绍了二次曲线族的定义和分类，并举例说明了它在求二次曲线的方程、解二元二次方程组及解一元四次方程中的应用。从中可以看出，利用二次曲线族解题，较常规方法与高等代数结式的方法相比，能大大减少计算量，达到事半功倍的效果。

　　关键词： 二次曲线族退化的二次曲线基底

　　定义一：方程f+λφ=∑axx+λ∑bxx=0(λ为参变数)所表达的一切二次曲线束，称为构成一个二次曲线束。二次曲线束c∶f=0和c∶φ=o称为二次曲线束的'基底。

　　定理1：两条二次曲线一般有四个交点。

　　定理2：二次曲线束内有三条变态二次曲线，那也就是三对直线。

　　证明：设c与c的交点为A、B、C、D，

　　(1)当A，B，C，D互异时，则完全四边行的三双对边(AB、CD)，(AC、BD)(AD、BC)便是束中的三条变态二次曲线(见图1)[1];

　　(2)当A，B，C，D中有两点相重，如ASB，则二次曲线c和c相切于A，相交C和D，这时变态的二次曲线的一条由A点的公切线和公共弦CD构成，另外两条曲线由AC和AD构成，算作两次(见图2);

　　(3)如果ASB，CSD，二次曲线c和c称为在A和C成双切，这时变态二次曲线中一条由A，C两点的公切线构成，另外两条重和(算作两次)由重合直线AC构成(见图3);

　　(4)如果ASBSC，二次曲线c和c称为在点A有二阶切触，变态二次曲线相重(算作三重)，由A点的公切线和公共弦AD构成(见图4);

　　(5)如果ASBSCSD，则称二次曲线c和c在A点有三阶切触，这时变态二次曲线都相重(算作三次)由重合公切线构成(见图5)[2]。

　　束中的二次曲线f+λφ=∑(a+λb)xx=0成为变态的充要条件是它的行列式为0：

　　a+λb a+λb a+λba+λb a+λb a+λba+λb a+λb a+λb=0

　　这是关于λ的三次方程，设这三根为λ、λ、λ，则束中有三条变态二次曲线f+λφ=0、f+λφ=0、f+λφ=0，证毕。

　　二元二次方程在很多方面有诸多的应用。如何更简单、快捷地解出答案是最关键的问题，这方面可用代数法求解，但相对于几何求解而言显得冗长。我们不妨来看看应用结式求解与应用二次曲线束求解的对比。

　　例1：解联立方程

　　x-3xy+2y+4x+3y-1=02x-6xy+y+8x+2y-3=0(2)

　　把(2)改写：

　　F(x，y)=x+(4-3y)x+2y+3y-1=0G(x，y)=2x+(8-6y)x+y+2y-3=0

　　1 4-3y 2y+3y-1 001 4-3y2y+3y-12 8-6y y+2y-3 002 8-6yy+2y-3

　　=1 4-3y 2y+3y-100 14-3y 2y+3y-10 0-3y-4y-1 00 0 0-3y-4y-1

　　即-3y-4y-1=0，得y=-1，y=-，代入F(x，y)中得x=，x=，x=，x=，方程组的解是x=y=-1，x=y=-1，x=y=-，x=y=-。

　　设F(x)=x-3xy+2y+4x+3y-1=0

　　G(x)=2x-6xy+y+8x+3y-3=0

　　二次曲线的方程为：F(x，y)+λG(x，y)，即

　　(1+2λ)x+(-3-6λ)xy+(2+λ)y+(4+8λ)x+(3-2λ)y-1-3λ

　　=0(1)

　　若曲线束中有一条降秩二次曲线，则|a|=0，即

　　|a|=1+2λ2(1+2λ)2+λ 2(1+2λ)-1-3λ

　　=(1+2λ)12(1+2λ)2+λ 2 -1-3λ

　　只要取1+2λ=0，即λ=-代入(1)式得3y+4y+1=0(2)，其为变态二次曲线。

　　方程(2)的根为y=-1，y=-。

　　将y=-1，y=-代入F(x)=0或G(x)=0得二次曲线的交点为(，-1)、(，-1)、(，-)、(，-)，其为方程组的解。

　　例2：解一元四次方程

　　在解一元四次方程时计算量很大，然而在用到二次曲线束理论后能大大地减少计算量，起到事半功倍的效果。求解一元四次方程x+ax+b+cx+d=0，具体的解法如下：

　　首先将所给方程配成(x+x)+(b-)x+cx+d=0，再令其转化，则上述

　　x+x-y=0y+(b-)x+cx+d+λ(x-x-y)=0

　　其中λ是方程b-+λ0 +λ0 1-+λ -d=0的一个非零实根，求出λ，代入并计算便可得到一元四次方程的根。

　　例：解一元四次方程x+6x+9x-8x-21=0

　　解：将原方程配方成(x+3x)-8x-21=0，令x+3x=y，化为方程组

　　x+3x-y=0y-8x-21+λ(x+3x-y)=0

　　其中λ是方程λx+y+(3λ-8)-λy-21=0的判别式等于零的一个实根。

　　由 λ 0 -4+λ 0 1?鄄-4+λ --21=0，亦即λ+9λ+36λ+64=0，易知它有一个实根λ=-4，代入方程组中得y-8x-21-4(x+3x-y)=0，即(y+2)-(2x+5)=0，分解因式得(y+2x+7)(y-2x-3)=0。

　　因此，方程组同解于下列两个方程组y+2x+7=0x+3x-y=0与y-2x-3=0x+3x-y=0，消去y得x+5x+7=0或x+x-3=0。

　　解这两个方程得x=-±i，x=-±。因此，所给一元四次方程的四个根为x=-±i与x=-±。

　　参考文献：

　　[1]朱德祥.高等几何[M].高等教育出版社，1983：114-119.

　　[2]天津师范大学数学系.射影几何与射影度量[M].1985：84-88.

　　[3]房亮，秦丽.二次曲线族及其应用[J].2002，5.

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