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建构微积分新教学体系
以下是小编为大家准备的建构微积分新教学体系的论文，欢迎各位数学毕业的同学阅读!
摘 要 本文首先指出了微积分教学中的困难并对知识体系安排的重要性进行了分析，然后结合自身的体会提出以人为本的现代教育理念，让学生在围绕问题组织的教学中学习数学，注重体现学生的主体性的发挥，为学生构建了微积分新的教学体系，以改善学生的学习方式，培养学生提出并解决问题的探究精神，从而提高教育质量。
关键词 知识体系 微积分 探索
微积分(Calculus)是研究函数的微分、积分以及应用的数学分支，是高等数学中的核心知识，它的发展是和解决实际问题有着密切的联系，它为定义和计算不规则图形面积、体积等提供了方法。从十七世纪微积分学创立起，伴随着广泛的应用，经过三百多年的发展，这门课的基本内容已经定型。
在西藏从事高等数学尤其是微积分教学，有很多现实的困难要面对。由于种种原因西藏数学教育内部存在一些问题，如藏族学生学习数学存在双重语言障碍、小学数学教育基础薄弱等，造成学生中学数学知识储备不足，这给大学和中学数学教学衔接形成很多障碍，加之近几年高校课时又不断压缩，造成高等数学学时紧张。这些困难可能导致有的教师上课不得不赶进度，为了学生考核而教学，对概念的内涵和外延不够重视，追究不深，造成学生考分很高却对微积分的核心思想掌握并不透彻的尴尬，耗费时间、精力却达不到目的，只见树木，不见森林。因此，在西藏地区有必要针对现实情况对微积分教学加以改革，建构传授微积分知识的良好体系，更好地化解学生基础知识欠缺和课时少的双重压力，把微积分的数学本质教给学生。
1 知识体系安排的重要性
华南理工大学校长李元元在回答伟大科学家钱学森先生的“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才?”的中国教育之问时说，培养创新人才需要创新模式，应该从解放思想、转变观念开始。传统的教育观念片面强调基础知识的传授和知识面的铺陈，这样的教学有时甚至阻碍了学术“天才”、尖子生开展学术探究的激情和个性张扬。我们尝试着用“带着问题打基础”的学习观念，开展以解决前沿科学问题或解决重大工程技术问题为导向的探究式学习，将内容组织的主要形式变为：从问题情境到学生活动到意义建构到数学理论到数学运用最后到回顾反思。这中间需要对知识体系进行科学的调整和安排。过去，西藏农牧学院在分级教学的高层次班级中使用同济大学数学系编的《高等数学》教材时，通过研究，总把常微分方程一章提前安排在一元函数微积分后教学，虽然教材使用不便，但有利于学生对知识的学习与掌握。此教材在新版(第六版)中，终于对深广度进行了修订和调整，其中微分方程一章调整在上册第七章。这一变化体现的是教育实事求是和创新精神，着实令人欣慰，体现出教材服务于教学的精神。
好的知识体系能够使得学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质。我们要试图让一位优秀的教师本身成为一本好的软教材，怎么教，讲什么，他心中有数，他会依赖于心而不是依赖于书。具体在微积分教学安排上，应该将基础教育和高等教育贯通起来，以问题引导学习，逐步改变学生中学中形成的学数学就是为了做题和考试的思维模式，尽量采用“归纳法”，既讲逻辑又讲思想，引导学生通过类比、推广的思维活动,养成根据研究的问题探究和学习新知识的良好习惯。
2 围绕问题组织的教学
纵观微积分，吴文俊说“龚教授以其敏锐的目光指出了微积分的核心是单变量的Newton――Leibniz微积分基本定理以及多变量的Stokes公式，可谓切中要害，并使高等院校的初学者得以轻松地登堂入室。” 正是这一“定理”和“公式”把微积分串联了起来，给微积分该怎样组织教学以启迪。
2.1 曲边梯形的面积从何而来
数学来源于生活，因此，微积分教学要还原问题情境，引导学生主动参于学习过程。曲边梯形面积的计算就是很好的实际问题，也是开启微积分教学大门的钥匙，通过层层设问，步步逼近来实现教学过程。
2.1.1 为什么要求无穷小之和
生活中，不规则的，变化的事物太多。很多时候我们需要求平均值，但谈何容易。通过对曲边梯形面积的分析构造出一个特殊形式的和S = Si≈f ( i) xi，然后试图求出其极限值。这种无穷小之和是微积分思想的起源，历史上很多数学家进行过研究，如阿基米德、费马、柯西等人。阿基米德这位数学史上最早明确指出误差限度的 值的数学家，在解决这类面积时用的就是级数的有限项之和所成序列的近似法，这就是定积分J = f (x)dx。在积分中值定理
f (x)dx = f ( )(b - a)中f ( )正可谓f (x)在[a,b]上的平均值。
2.1.2 什么是极限及其作用
蕴含在上述问题中的基本思想是通过有限逼近无限，显然极限研究不可缺少。此时才是引入极限的好时机。定积分定义比较完整地概括了积分思想，也比较深刻地揭示了极限和定积分概念的实质。根限将高等数学中不同的内容统一到了一起，有非常重要的作用。极限方法是研究数学分析的主要方法，是微积分的基础，也正是由于极限，使得高等数学处处充满变化，有些变化没完没了，让高等数学成为研究动态的数学，这正是高等数学区别于初等数学的地方之一。但是关于极限学习，不在于领悟极限的 , 定义，而是通过极限学习，培养和树立学生的辩证唯物主义思想观念。
2.2 怎么计算引出的话题
然而利用极限定义的积分，除去个别较为特殊的例子外很难计算。通常的办法是先计算被积函数的原函数，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一样，积分和微分也是一对互逆的运算。牛顿和莱布尼茨为我们建立了沟通二者内在联系的“定理”：f (x)dx =F(b)F(a)。该公式简单有效，充分表达了定积分与不定积分之间的内在联系，把本来毫不相关的两个事物紧密地联系起来，使得问题大大简化，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿―莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。那什么是原函数和不定积分，什么又是微分呢?
2.3 微小变量的商能变成什么
生活中充满着变化，函数刻画变量关系。自变量改变因变量会随之改变。自变量的增量改变时，因变量的增量也会改变，不但如此，因变量的增量与自变量的增量之商也改变。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数(微商)：= 。自变量在不同的起始点(即x取值不同)取得增量，研究出来的导数往往不同。导数是随着增量起始点的变化而变化的，从函数的观点，又确定了一个函数(导函数)：f '(x) = ：=
函数与其导函数是两个不同的函数。导函数只是反映函数在一点的局部特征, 它在解决直与曲的矛盾中发挥了很好的作用，核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导函数及函数间建立起桥梁关系，微分中值定理扮演了这样的角色，实现了由局部推断整体的思想，集中体现在应用导函数判断函数增加、减少、极值、凹凸、拐点等重要性态以及求极限的洛必达法则。
2.4 再说定积分
搞清楚了积分和微分的思想和定义，就明白了数学的应用价值。定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，为了方便在各类数学模型上的有效运用，就要进一步学习和领会微元法的要领，会分析和找“元素”，寻求被积表达式。最后再给出如平面图形面积、旋转体体积、变速直线运动的路程、平面曲线弧长、转动惯量、变力作功、曲面面积、液体压力、重心等一系列实际应用问题。在解决问题中加深理解和总结能利用定积分计算的题目具有的特点。
2.5 方法与技巧
工欲善其事，必先利其器。定积分与不定积分在概念上有根本的区别又有密切的联系，怎么算导数与不定积分，是求定积分的关键，而极限问题又是其中的重要工具，根据西藏高等数学教学的实际，方法针对不同的对象和课时可以灵活调整，深浅可以自由把握，技巧性的知识由学生的接受程度可多可少。
3 探索后的回顾
围绕问题组织教学，使得整个知识体系浑然一体，有机统一，不再抽象难理解。这种教学体系贯彻应用启发式和探讨式的教学方法，培养学生追根溯源的求问精神，可以充分地激发调动学生学习数学的热情与积极性，可以加深学生对无限项求和的量变引起质变、导数定义中的无限接近等数学思想方法的掌握，通过问题解决的探究过程真正吃透数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科。整个教学中极限和微积分基本定理起到了一种不可或缺的桥梁纽带作用，导数与不定积分既是知识又是方法，最终都统一到微分与积分的现实用处这一核心体系上。
4 结语
微积分又叫无穷小分析，它的产生革新了数学的观念、思想和方法，是人类思维的伟大成果。其中知识是基础，方法是中介，思想才是本源。要抓住数学本质并解释这种本质，如概念的形成过程、问题解决的途径探索等。教学中要与新课程理念有效结合，让知识体系中潜在的联系与区别浮出水面，建构出微积分新的教学体系，发挥数学教育的最大价值。
参考文献
[1] 大罗桑朗杰,房灵敏.西藏数学教育的特点、问题与发展对策初探[J].西藏研究,2009(2).
[2] 吴文俊.龚教授《简明微积分》读后感[J].高等数学研究,1999(3).
[3] 张映姜.数学思想方法与创新教育[J].机械工业高教研究,2000(4).
[4] 同济大学数学系编.高等数学.第六版[M].北京:高等教育出版社,2007.6.
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