数列通项公式的求法
下面是一篇关于数列通项公式的求法的论文,对正在写有关数学论文的写作者有一定的参考价值和指导作用!
【摘要】本文根据教学经验结合高考题，浅谈求数列题的常用策略：化归转化策略，数列问题常可化归为等差(等比)数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解，就数列通项公式的几种初等求法作一总结.
【关键词】通项公式;递推公式;求法
一、公式法
例1 数列{a?n}为等差数列，a?n为正整数，其前n项和为S?n，数列{b?n}为等比数列，且a?1=3，b?1=1，数列{b?a?n}是公比为64的等比数列，b?2S?2=64.求a?n，b?n.
解 设{a?n}的公差为d，{b?n}的公比为q，则d为正整数，
a?n=3+(n-1)d，b?n=q?n-1.
依题意有b?a?n+1[]b?a?n=q?3+nd[]q?3+(n-1)d=q?d=64=2?6，?
S?2b?2=(6+d)q=64.
①
由(6+d)q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一.
解①得d=2，q=8.故a?n=3+2(n-1)=2n+1，b?n=8?n-1.
评注 这类问题的递推式为a?n+1=a?n+d及a?n+1=aqa?n(d，q为常数)时，可直接转化为等差数列或等比数列从而用公式求解.
二、已知数列前n项和S?n求通项a?n
例2 设数列{a?n}的前n项和为S?n，已知a?1=a，a?n+1=S?n+3?n，n∈N?*.设b?n=S?n-3?n.求数列{b?n}的通项公式.
解 依题意，S?n-1-S?n=a?n+1=S?n+3?n，即S?n+1=2S?n+3?n，
由此得S?n+1-3?n+1=2(S?n-3?n).
因此，所求通项公式为b?n=S?n-3?n=(a-3)2?n-1，n∈N?*.
评注 这类问题往往能从题目中得到数列的前n项和S?n和通项a?n的关系式，通常
利用公式a?n=S?1， (n=1)?
S?n-S?n-1，(n≥2)求通项.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式;另一种是“合二为一”，即将a?1和a?n合为一个表达式.
三、叠加法或叠乘法
类型1 若数列{a?n}，通项公式满足递推公式：a?n+1=a?n+f(n)，f(n)为可求的和.a?n=a?n-a?n-1+a?n-1-a?n-2+…+a?2-a?1+a?1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a?1.
类型2 若数列{a?n}，通项公式满足递推公式：a?n+1=a?n·f(n)，f(n)为可求的积.a?n=a?n[]a?n-1·a?n-1[]a?n-2·…·a?3[]a?2·a?2[]a?1=f(n-1)f(n-2)·…·f(1)a?1.
例3 在数列{a?n}中，a?1=1，a?2=2，且a?n+1=(1+q)a?n-qa?n-1，(n≥2，q≠0).
(Ⅰ)设b?n=a?n+1-a?n(n∈N?*)，证明{b?n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{a?n}的通项公式.
解 (Ⅰ)略.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
a?2-a?1=1，
a?3-a?2=q，
……
a?n-a?n-1=q?2，(n≥2).
将以上各式相加，得a?n-a?1=1+q+…+q?n-2，(n≥2).
所以当n≥2时，a?n=
1+1-q?n-1[]1-q，q≠1，?
n，q=1.
上式对n=1显然成立.故通项为
a?n=1+1-q?n-1[]1-q，q≠1，?
n，q=1.
评注 一般地，对于形如a?n+1=a?n+f(n)类的通项公式，只要f(1)+f(2)+…+f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法.
另外，对于形如a?n+1=f(n)·a?n类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法，称之为叠乘法.
例如：已知数列{a?n}满足a?1=1，S?n=(n+1)a?n[]2，(n∈N)，求{a?n}的通项公式.
析 ∵2S?n=(n+1)a?n，(n∈N)，2S?n-1=na?n-1，(n≥2，n∈N)，
两式相减得2a?n=(n+1)a?n-na?n-1，∴a?n[]a?n-1=n[]n-1，(n≥2，n∈N).
于是有a?2[]a?1=2[]1，a?3[]a?2=3[]2，a?4[]a?3=4[]3，…，a?n[]a?n-1=n[]n-1，(n≥2，n∈N).
以上各式相乘，得a?n=na?1=n，(n≥2，n∈N)，又a?1=1，∴a?n=n，(n∈N?+).
四、构造等差数列或等比数列
若数列{a?n}，通项公式满足递推公式：a?n+1=pa?n+q，p，q为常数，p=1时为等差，q=0时为等比.当p≠1，q≠0时，有以下两种构造形式：
构造1 由等式的两边除以p?n+1可得：a?n+1[]p?n+1=a?n[]p?n+q[]p?n+1，转化类型1，可求其通式.
构造2 设存在α，使得a?n+1+α=p(a?n+α)，解得α=q[]p-1，即 a?n+1+q[]p-1=pa?n+q[]p-1，则a?n+q[]p-1以a?1+q[]p-1为首项，p为公比的等比数列，可求其通式.
求数列通项是学习数列时的一个难点，也是高考中的一个重点.由于求通项公式时渗
透了大量的数学思想方法，如逻辑方法中的归纳与演绎，类比、分析与综合，非逻辑方法中的反思维定式等，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.本文力图通过归纳，引导读者不仅关注一类题的解法(通法)，也要在归纳中反思数学思想方法，从而让数学思想方法能更广泛、深入地运用于数学学习之中.
【参考文献】
[1]李盘喜.高中数学解题题典.长春：东北师范大学出版社，2001.
[2]牛德胜.中学数学1+1.南方出版社，2003.
【数列通项公式的求法】相关文章：
高中数学中递推数列通项公式的求法探讨10-08
等比数列前n项和教学教案10-08
复积分的求法论文（通用10篇）09-22
数列教案教学设计10-08
高中数列教案01-06
解数列求和的基本技巧10-08
数列求极限的方法总结04-28
三角函数的最值求法论文10-09
护理公式大全10-05
等差数列教学方案10-08