积分变换在无穷限积分计算

时间：2022-09-30 23:35:46 数学毕业论文我要投稿

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积分变换在无穷限积分计算

　　为大家献上积分变换在无穷限积分计算，欢迎各位数学毕业的同学阅读复积分的求法!

　　摘要：本文利用积分变换(Fourier变换和Laplace变换)来计算无穷限积分，通过具体的实例说明采用积分变换计算特殊类型的无穷限积分是简便、有效的，是对用初等方法计算无穷限积分的一个很好补充。

　　关键词：无穷限积分;Fourier变换;Laplace变换

　　一、引言

　　广义积分(或称反常积分)的反常性既表现在积分区间为无穷区间，又表现为被积函数在积分区间内部出现瑕点。当广义积分被积函数的原函数不好找或者不存在初等函数的原函数时，反常积分的求解就不太容易讨论，也就难于求值，因此除了掌握用基本方法外，还应了解一些特殊类型积分的求解方法。

　　求解无穷限积分的方法还有很多，如文献中就介绍了利用留数来计算某些类型的无穷限积分.但要利用留数计算定积分，需具备两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关;二是选择相应的封闭路径，由于封闭路径的形状可能是多种多样，再者周线上有奇点的时候还要绕过去，因此由于选择封闭路径的困难使得利用留数计算无穷限积分的方法也受到了很大的限制。

　　积分变换(Fourier变换和Laplace变换)的理论和方法在数学的许多分支、其他自然科学、工程技术中均有广泛应用.本文通过具体的实例展现利用积分变换计算某些特殊类型的无穷限积分的思想和方法，以及相对于初等方法方法的优势，对积分变换计算某些特殊类型的无穷限积分的应用做了浅显的讨论。

　　二、利用拉普拉斯变换的定义计算无穷限积分

　　对比两种方法，可以看到利用积分变换计算比用留数的方法计算更方便和更简捷。

　　三、利用傅立叶变换及其逆变换的定义计算无穷限积分

　　定义：如果函数f(x)满足Fourier积分定理中的条件，也就是函数f(x)在(-∞，+∞)满足下列条件：1)f(x)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(x)在无限区间

　　例5和例6利用傅立叶变换及其逆变换的定义计算含参变量的无穷限积分，高数中计算含参变量的无穷限积分，一般只能按定义进行，难点在于要求出被积函数的原函数，而一些看似简单的函数想要找到其原函数，在实函数理论中几乎办不到，即使能够找到，过程也很繁琐，而利用积分变换法解决这种问题，就可以避免求原函数，从而简化了计算，具有较强的实用价值。

　　四、总结

　　本文通过具体的实例说明利用积分变换计算特殊类型的无穷限积分是一种简便而有效的方法和途径，它克服了初等方法的局限性，是对初等方法的一个很好的补充.

　　参考文献：

　　[1]同济大学应用数学系.高等数学(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2007.

　　[2]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第六版)[M].高等教育出版社，2006.

　　[3]东南大学数学系张元林.积分变换(第四版)[M].高等教育出版社，2003.

　　[4]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

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