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函数定义域研究论文
函数定义域研究论文，函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
函数定义域研究论文【1】
摘 要：函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
关键词：定义域;误入歧途;作用与影响;思维品质
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?
解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：
故函数关系式为：.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：
即：函数关系式为：()
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数在[-2，5]上的最值.
解：∵
∴当x=1时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：
当时，在上最值情况是：
.即最大值是中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
∵
∴
∴
∴函数在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数的值域.
错解：令
∴
故所求的函数值域是.
剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞)上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.
故所求的函数值域是[1， +∞).
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数的单调区间.
解：先求定义域：
∵∴
∴函数定义域为.
令，知在上时，u为减函数，
在上时， u为增函数。
又∵.
∴函数在上是减函数，在上是增函数。
即函数的单调递增区间，单调递减区间是。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数的奇偶性.
解：∵
∴ 定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称
∴函数是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
∵
∴ 函数是奇函数.
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。
综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
函数定义域的类型与求法【2】
导读:函数的定义域是函数三要素之关键。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的。解析式,浅谈函数定义域的类型与求法。 关键词:解析式,定义域 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键,特别是函数性质必须从定义域出发,它在解
决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。大全,解析式。
本文介绍求函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域,在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,树立起“定义域优先”的观点,对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。
一 、一般型
即给出函数的解析式求定义域,其解法的一般原则是:
①如果为整式,其定义域为R;
②如果为分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;
③如果是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;
④如果是基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等),掌握其函数定义域。
⑤如果是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
⑥f(x)=x0的定义域是;
例1:y=lg(6-x2)
解:要使函数有意义,则必须满足
x+5≥0x≥-5
∵ 6-x2>0 ∴ -
6-x2≠1x≠±
解得-
二、实际问题型
函数的解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域,还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约,否则所求函数关系式可能是错误。如:
例2:将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,若这个长方形截面的一条边长为x,对角线为d,截面的面积为A,求面积A以x为自变量的函数关系式?
解:设截面的一条边长为x,对角线为d,另一条边为,由题意得:
S=x
故函数解析式为:S=x
如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时,S的值即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:
即:函数关系式为:S=x()
这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性 。
三 抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况
(1)已知的定义域,求的定义域。
其解法是:已知的定义域是[a,b]求的定义域是解,即为所求的定义域。
例3 已知的定义域为[-2,2],求的定义域。
解:令,
得,即,
因此,从而,
故函数的定义域是
(2)已知的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:已知的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。大全,解析式。
例4 已知的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:∵1x2,
∴22x4
∴32x+15
故函数f(x)的定义域是
评述:例3和例4是互为逆向的,解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题,抓住已知条件,得到要求函数的未知数。变式题
例5:已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],
求y=f(2x-1)的定义域。
解:∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],
∴ -2x3 ,
∴-1x+14,
∴定义域[-1,4]。
再由-12x-14,得0x
故y=f(2x-1)的定义域是[0, ]。
四 逆向思维型
给出函数的解析式可以求出其定义域,有时我们也会遇到给出函数式并给出其定义域,要求其函数式中参数的取值范围。
例 6已知函数y=的定义域是R ,求实数m的取值范围。 解: 函数y的定义域是R,即要求对任意实数x,mx2-6mx+m+80恒成立。 (1)当m=0时, y=,其定义域为R; (2) 当m0时,要使mx2-6mx+m+80恒成立。只需 m0 △=36m2-4m(m+8) 0 0
;1。大全,解析式。大全,解析式。
五 隐蔽型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐蔽在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例7:指出函数的单调区间.
解:先求定义域:
∵∴
∴函数定义域为.
令,知在上时,u为减函数,
在上时, u为增函数。
又∵.
∴函数在上是减函数,在上是增函数。
即函数的单调递增区间,单调递减区间是。
如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解,没有理解,在做练习或作业时,只是对题型,套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性。
六、参数型
对于含有参数的函数,求其定义域时,必须对分母进行分类讨论,要注意讨论字母的方法。
例8:已知函数的定义域为x(-,),求函数g(x)=f(ax)+f()(a>0)的定义域。
解:由已知,有 -
-<<, -
(1) 当a=1时, 定义域为{x∣-
(2) 当>a, 即0
定义域为{x∣-
(3)当1时, 有->-,
定义域为{x∣-
故当a≥1时,定义域为{x∣-
当0
综上所述,在求函数的定义域时,要以基本函数的定义域为基础,遵循以上几条规则.当函数的解析式中含有参数时,要对参数分情况讨论,面面俱到,缺一不可;对于实际问题,函数的定义域除满足解析式之外还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,以防定义域的扩大而前功尽弃。大全,解析式。只有这样,才能拓展思路,增强创新意识,提高分析问题解决问题的能力。
三角函数定义域的教学【3】
【摘要】根据我们选用的教材和学生的数学基础状况,在教学中如何使用由浅入深的教学方法,使学生很好地理解和掌握三角函数的定义域有关概念,是本文探讨的话题。
中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-930804.htm
【关键词】三角函数的定义域 轴线角 主值区间
Talk about the field of definitions of trigonometric functions
Wang Dianjun
【Abstract】According to the teaching material that we have chosen and the basic situation of students’ mathematics, how to apply the method of teaching from the simple to the complex in teaching and make students understand and master the relational concepts of the field of definitions of trigonometric functions is the subject of discussion in the paper.
【Keywords】Field of definitions of trigonometric functions Axes angle Range of main value
数学教材三角部分中的同角三角函数间的关系一节有着“上面的关系式都是对于使它的两边有意义的那些角而说的,以后遇到的关系式也是这样。”这样一段非常重要的话。学生如果对这段话没有充分的注意和深刻的理解,在以后对待三角函数的恒等变换时就会不注意自变量的允许值的扩大与缩小;在运用三角公式时往往不注意公式的适用范围。
应该肯定:三角函数定义域的教学是加强函数概念教学的一个很重要的环节。
为了加强三角函数定义域的教学,笔者针对选用的课本和学生的实际情况对教材的内容做了点简单的修改,进行了尝试,现将试教情况介绍如下:
1.三角函数定义域教学的准备工作。为了更利于说明三角函数的定义域,从而系统地加强函数概念的教学,首先讲授角的形成与度量,并在这一章中增加了三角函数定义域所需要的准备知识:终边相同角的表示法( 或2kπ+α,k为任意整数)和终边与坐标轴重合的角的表示法( 或; 或 ; 或 ; 或 ,k为任意整数)。
用图形表示为如图:
通过直观的图像,再用代数方法将上列四种角合并成两大类(n为整数):
①终边与x轴重合的角表示为n180°(或nπ)。
②终边与y轴重合的角表示为n180°+90°(或 )。
最后,再将n180°(或nπ)与n180°+90°(或 )合并成k90°(或 )。讲解时可以边讲边列表如下:
在进行代数解析式归纳的同时,还须用教具在图上演示以取得直观易懂之效。务使学生明确k和n是一切整数,包括0和负整数在内。讲完终边与坐标轴重合的角后,布置下列问题作为课后作业与练习,对于巩固这部分的知识和顺利学习三角函数的定义域有很大的好处:
若始边与横轴正向重合(n是一切整数):
①试写出nπ这些角的终边上异于原点0的任意一点p的坐标,并说明其符号。
②试写出 这些角的终边上异于原点0的任意一点p的坐标,并说明其符号。
2.三角函数的定义域的教学。
2.1 在讲三角函数的定义时就应同时给出它们的定义域。在课本中是使用坐标定义三角函数的。依照这种定义,可以直接指出三角函数自变量的所有可取值的集合,确定三角函数的定义域主要应该抓住“当分母等于0时比值无意义”这一关键来启发学生自己得出来。
具体做法可以在给出: , , , , , 后,首先指出:因为r=op>0,故函数sinα和cosα在自变量α是任何数值的时候都有确定的值和它对应,所以函数sinα和cosα的定义域是所有实数的集合。
然后向学生说明,对于函数tgα、ctgα、secα和cscα相应比的分母可能为零,当分母等于0时这些比值便失去意义,亦即这些三角函数失去了意义。
因此,我们只要剔除掉使比值失去意义的那些个角,就可以得到这些三角函数的定义域了。经过这些启发,加之学生在课后练习中已作过求nπ和 这些角的终边上任意一点p的坐标的练习,因此学生不难自己得出结论:
①函数tgα及secα的定义域是不等于 的所有实数的集合。
②函数ctgα及cscα的定义域是不等于nπ的所有实数的集合。
最后可以总结如下:
,(α可为一切实数), ,(α≠nπ),
,(α可为一切实数), ,( ),
,( ), ,(α≠nπ)。
在指出三角函数的定义域之前,显然要先树立下列两个概念:
①三角函数里的自变量可以用角度表示,也可以用弧度表示。三角函数的自变量也可以看作表示弧与角的大小的数。
②代数中的函数定义域的概念,是使函数表达式有意义的自变量所有的值的集合,叫做函数的定义域。
在指出三角函数的定义域以后,再介绍一下数轴的表示法和区间符号表示法是有好处的,因为这两种表示法直观明了,这对以后表示函数的定义域是很方便的。例如函数tgα的定义域是从所有实数的集合中去掉 形式的数,那么剩下的是无穷多个开区间…( , ),( , ),( , ),…的集合就是tgα的定义域,如下图所示:
由于刚刚使学生获得三角函数的概念,对三角函数的值域,符号还未集中系统讲授,所以在讲完三角函数定义域后,只要布置类似下列一些简单的练习便可以初步巩固三角函数定义域的概念。
(1)当-720°≤α≤720°时,问使下列函数失去意义的角α有哪些:
①cosα ②cscα ③tgα
④secα ⑤ctgα ⑥sinα
(2)求下列各三角函数的定义域:
①y=tg2x;②y=tg ;③y=ctg4x;
④y=ctg ;⑤y=sec2x;⑥y=csc
2.2 不能认为在定义三角函数时给出它们的定义域就算三角函数定义域的教学目的已经达到了,恰恰相反,为加深和巩固对三角函数的定义域的认识,还需要在整个三角函数教学的过程中不断地阐述和练习。下面根据教材的程序谈谈自己在教学中对这个问题的一些认识和做法。
2.2.1 通过三角函数图像可以形象地巩固三角函数的定义域。
讲完三角函数的图像后,可以向学生说明,角α为任意实数时,sinα和cosα都有对应的确定的正弦曲线和余弦曲线,因此函数sinα和cosα的定义域是所有实数的集合,然后向学生说明,对于函数tgα、ctgα、secα、cscα有时函数图像是不存在的,这样就可以启发学生再一次根据形象的三角函数图像更直观地得到这四个三角函数的定义域。经验证明:通过三角函数图像巩固三角函数的定义域是很有成效的。
学生反映:“用想象三角函数图像的方法去找出三角函数的定义域要比通过坐标方法去找快捷得多,而且也容易准确无误”。这种反应说明了三角函数教学中应用数形结合的重要性。
2.2.2 在讲完三角函数值域和同角三角函数间的关系以后,由于学生已经掌握住:当α=nπ时,sinα=0,及当 时,cos=0,便可以根据tgα= ,ctgα= ,secα= 及cscα= 说明这些关系式必须当分母不为0时才能成立,从而使学生又一次抓住这四个关系式,通过理解进一步巩固函数tgα、ctgα、secα及cscα的定义域。
对于八个关系式中只有sin2α+cos2α=1是绝对恒等式,其它七个关系式都是条件恒等式,这八个关系式在三角函数的学习中起着非常重要的作用。关系式中角所限制的范围应该逐个让学生说清楚。
2.2.3 三角函数定义域的概念经过了两次巩固以后,就可以选择一些比较复杂的求函数定义域的习题,让学生练习,以巩固三角函数定义域的概念,并培养学生的分析问题和解决问题的能力。比如:
(1)求下列各函数的定义域:
① ;② ;
③ ;④ ;
⑤ ;⑥ ;
⑦ ;⑧
(2)试说明下列关系式由左式至右式,函数的定义域是扩大了还是缩小了,还是既没扩大又没缩小:
①tgα= ;② =ctgα
应该启发学生指出,求三角函数定义域时必须注意到分母不为零和偶次方根的被开方数应该大于或等于零。
2.2.4 在讲诱导公式时也要提醒学生注意三角函数的定义域。例如tg(180°-α)=-tgα对于α≠k180°+90°的角才成立。
2.2.5 和角公式较多,是三角函数恒等变换的基础,应该注意函数的定义域,特别是关于正切函数的变换,必须引导学生逐一地进行分析,不仅要指明公式的适用范围,也要辨明通过变换是扩大了定义域的范围还是缩小了定义域的范围。例如:
tg(α+β)= =
=
最后一步是分子、分母同除以cosαcosβ的结果,所以当cosα或cosβ是零,即α或β等于 ,就不适合这个公式。因此只要α或β中有一个是 时,我们就不能应用上例公式,而应用诱导公式来简化它。同样,根据正切函数的定义域,应该同时指出α+β= ,上例公式也是不能成立的。
2.2.6 在进行反三角函数主值区间的教学时,应该结合三角函数的定义域使学生深刻认识到为什么不选择开区间(0,π)而选开区间( , )作为反正切函数的主值区间,为什么不选择开区间( , )而选开区间(0,π)作为反余切函数的主值区间,也应该让学生根据三角函数的定义域来辨别,为什么 ≤arcsinx≤ ,而
2.3 在代数中学到的对数函数的性质时也可以结合对数函数的定义域检查与巩固三角函数的定义域。例如下列一些题目就可以起到这样的作用。
求下列函数的定义域:
①y=lgsinx;②y=lgcosx;
③y=lgtgx;④y=lgctgx;
⑤y=lg(-tgx);⑥y=lgIctgxI
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