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高考三角函数问题研究论文

时间:2022-10-09 05:00:35 数学毕业论文 我要投稿
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高考三角函数问题研究论文

  高考三角函数问题研究论文对高考三角函数的考点分析、题型解析、解题应用等问题进行了研究分析,对提高教师指导水平和学生的高考应战能力提供参考价值。

高考三角函数问题研究论文

  高考三角函数问题研究论文【1】

  摘 要:三角函数是中学数学的主体内容,也是高考的热点,对高考三角函数的考点分析、题型解析、解题应用等问题的研究分析,有助于提高教师指导水平和学生的高考应战能力。

  关键词:三角函数;典型题型;解题应用

  一、高考三角函数考点分析

  近几年高考对三角函数部分的考查主要有两个方面:一是三角函数的变换,二是三角函数图像和性质。考查的知识点:

  1.三角函数的图象和性质是考查的重点。2.三角函数的化简求值是常考题型。3.考应用,建立三角模型。4.考综合,突出三角的函数性质。

  二、高考三角函数典型题型解析

  1.三角函数图像变换

  图像变换是三角函数的考察的重要内容,解决此类问题的关键是理解A,?棕,?渍的意义,特别是?棕的判定,以及伸缩变换对?渍的影响。

  例如:将函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin(4x+φ)的图象,则φ等于( )

  A、-■ B、-■ C、■ D、■

  考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换

  分析:利用函数图象的平移,求出函数的解析式,与已知解析式比较,即可得到φ的值.

  解答:解:函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin4(?仔+■)的图象,就是y=sin(4x+φ)的图象,故选C

  2.常见的几种三角函数求值题型。

  (1)y=asinx+b、(或y=acosx+b)型

  基本思路:利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解,但必须注意字母a的符号对最值的影响。

  例:求函数y=asinx+b(a≤0)的最大值。

  解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,且a≤0,从而函数 y=asinx+b(a≤0)的最大值为-a+b。

  (2)y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)型

  基本思路:可令t=sinx(或t=cosx)t≤1化归为闭区间上的二次函数的最值问题。

  例:求函数y=sin2x+2cosx-3的值域。

  分析:此类题目可以转化为型y=cos2x+cosx+c的三角函数的最值问题。

  解:由于y=sin2x+2cosx-3

  =1-cos2x+2cosx-3

  =-cos2x+2cosx-2,

  令t=cosx t≤1则原式转化为:y=-t2+2t-2 t≤1

  对上式配方得:y=-(t-1)2-1 t≤1

  从而当t=-1时,ymin=-5;当时t=1时,ymax=-1。

  所求函数的值域为[-5,-1]。

  (3)y=■(或y=■)型

  基本思路:可化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理;或用万能公式换元后利用判别式法去处理,特别a=c时,还可以利用数形结合法去处理。

  例:求y=■的值域。

  分析:此题我们采用化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理。

  解:由y=■得:ycosx-sinx=-2-3y,

  ■sin(x+?渍)=-2-3y,

  ∴sin(x+?渍)=-■

  又由于csin(x+?渍)=■≤1

  解得:y∈[■,■]。

  (4)含有sinx?芄cosx,sinxcosx的函数最值问题

  基本思路:可令t=sinx?芄cosx,t≤■将sinxcosx转化为t的关系式,从而化归为二次函数的最值问题。

  例:求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。

  分析:由于上式展开后为:y=sinxcosx+sinx+cosx+1恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令t=sinx+cosx,t≤■去求解。

  解:由y=(sinx+1)(cosx+1)展开得:y=sinxcosx+sinx+cosx+1,

  设t=sinx+cosx,t≤■,则sinxcosx=■,

  此时:y=■+t+■=■(t+1)2

  ∴y∈[0,■]。

  (5)含参数型的三角函数的最值问题

  基本思路:需要对参数进行讨论。

  例:求函数yasinx+b的最大值。

  分析:由于a的符号不确定,所以要对参数a的符号加以讨论。

  解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,

  当a≥0时,函数y=asinx+b(a≤0)的最大值为a+b;

  当a<0时,函数y=asinx+b(a≤0)的最大值为-a+b。

  3.三角函数的单调性综合运用

  三角函数是中学数学的七类基本初等函数之一,具有比较完备的函数性质,又因系统的三角公式及其变换,使三角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端,常与函数、三角、数列、解析几何等结合考查。

  例:已知函数f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx

  (1)求函数f(x)的最小正周期;

  (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;

  命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力。

  知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识。

  技巧与方法:等价转化,逆向思维。

  解:(1)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx

  =2cosx(sinxcos■+cosxsin■)-■sin2x+sinxcosx

  =2sinxcosx+■cos2x=2sin(2x+■)

  ∴f(x)的最小正周期T=π

  方法归纳:

  本难点所涉及的问题及解决的方法主要有:

  1.考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用。

  2.三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强。

  3.三角函数与实际问题的综合应用

  此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力,要注意数形结合思想在解题中的应用。

  (2)当2x+■=2kπ-■,即x=kπ-■(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.

  三、高考中三角函数的解题应用

  高考试题中的三角函数题注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。

  (一)知识整合

  1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等。2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质。

  (二)方法技巧

  1.三角函数恒等变形的基本策略

  (1)常值代换.(2)项的分拆与角的配凑。(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。

  2.证明三角等式的思路和方法

  (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

  3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。

  4.解答三角函数高考题的策略

  (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

  中职对口高考中三角函数复习策略【2】

  摘 要:分析近几年江苏省对口高考中三角问题,探导三角函数复习中的策略。

  关键词:三角函数 复习策略

  从近几年的江苏省对口单招数学试题来看,三角函数这一章是考试的重点,2007年占27分、2008年占19分、2009年占19分、2010年占22分,题型都是若干个小题目(选择题+填空题)和解答题构成。

  考查的主要内容:任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦、正切函数的诱导公式、三角函数的图像和性质、两角和与差、倍角公式、解三角形,下面结合试题谈谈各个知识板块的复习策略:

  一、抓牢三角函数的概念

  这里包括三角函数的定义(主要是正弦、余弦、正切),同角三角函数的基本关系(主要是sin2α+cos2α=1,=tanα)。

  通过多年的高三复习,我认为不需要让学生掌握八个公式,在复习时对这两个关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用),利用这两个公式可以解决的一些题型让学生熟记于心,我在复习这一知识板块时,主要设计了以下几个模块:

  (1)已知sinα(或cosα)求其余三角函数。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。

  解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。

  (2)在sinα+cosα,sinα-cosα,sinα,cosα三个式子中知道一个求其余。

  (3)已知tanα(cotα)求其他三角函数、对于分式都是关于正弦、余弦的一次(或二次)的齐次式的计算与化简。

  诱导公式的记忆和灵活运用,对绝大多数学生都是会而不对,易错题让学生除了要深刻理解“纵变横不变,符号看象限”这一“口诀”,还要建立“负化正,大化小,化到锐角为终了”的思想,对于几个易错易混淆的几个公式,特别强化,如cos(-α)=cosα,sin(+α)=cosα与cos(+α)=sinα。

  另外还要重视在三角形中应用诱导公式。

  这部分内容考试时填空、选择较多,学生若要不失分,关键还在公式应用的准确、熟练上下功夫,不必强化过多的技巧。

  如:3.已知sinα=,α是第二象限的角,则cos(π-α)=()(2008年单招)

  A. B.

  C.- D.-

  3.已知P(-3,m)是角α终边上一点,若sinα=-,则m=()(2009年单招)

  A.-4 B.-3

  C.3 D.4

  从题型来看,诱导公式与三角函数的概念、同角三角函数的基本关系相结合是选择题的考查重点。

  二、认真把握正弦、余弦、正切函数与正弦型函数的图像与性质(主要是单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值)

  从这几年考试题型来看这部分考试的难度也不大,复习时重视正弦型函数的图像的性质。如:

  1.已知函数y=3sin(ωx-)(ω>0)的周期为,则ω=()(2008年单招)

  A. B.2

  C.4 D.

  2.已知函数f(x)=sinωx(ω>0))的最小正周期为π,则该函数的一个单调减区间

  ()(2009年对口单招)

  A.[-,] B.[-,-]

  C.[-,] D.[,]

  3.函数y=2sin6x是()(2010年对口单招)

  A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数

  C.周期为π的奇函数

  D.周期为π的偶函数

  在复习这一模块时,对于2001年出现的三角函数的图像变换和2004年出现限定区间上求最大值最小值问题也可能会卷土重来,作为教者仍然要重视,对于最大值与最小值问题在复习时我设计了这样一组例题让学生理解、区别:(1)y=sinx,(2)y=sinx x∈[,],(3)y=sin2x+sinx,(4)y=sin2x+sinxcosx.

  通过(1)(2)的对比,让学生懂得结合图像来求最大值和最小值。

  通过(3)(4)的对比,让学生明确三角函数求最值的两种不同类型。

  ①可化为求二次函数的函数的值域;

  ②可化为y=Asin(ωx+φ)型函数值域;

  而这两者最大的区别就是看各项的次数是否统一。

  三、熟练掌握三角函数的基本变换方法(主要是两角和与差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式)

  基本公式记准、用熟特别重要、另外对于几个公式的重要变形也要做到心中有数,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),sin2α=,cos2α=

  这一部分内容属于三角部分较难的部分,学生对公式的正用、逆用要有一个循序渐进的过程,要在“实”字上下功夫,例题的设计要有层次,思维的跨度不能太大,如利用二倍角公式化简求值我设计了以下一组例题:

  例1.求值

  (1)2sin15°cos15°

  (2)sin15°cos15°

  (3)sin15°cos75°

  (4)8sin20°cos20°cos40°cos80°

  (5)cos20°cos40°cos80°

  对于课本例题及变形也要深刻理解,这几年许多题目都是课本例题和习题的变形,如课本例题,csc10°-csc10°的计算实际上就是解题时及时发现asinα+bcosα的形式,利用辅助角公式进行化简,让学生树立化同名、化同角、求同次的化归思想。

  15.若sin2θ=,则tanθ+tanθ= .(2008年对口单招)

  19.已知向量a=(sinα,3),b=(cosα,1)且,求下列各式的值:(2009年对口单招)

  (1)tan(+α)

  (2)4sin2α-sin2α

  20.已知α为锐角,且点(cosα,sinα)在曲线6x3+y2=5上.(2010年对口单招)

  (1)求cos2α的值

  (2)求tan(2α-)的值

  四、解三角形(正弦定理、余弦定理、面积公式)与三角公式的综合应用是近几年的热点问题

  正弦定理、余弦定理与三角公式、三角形的基本性质相沟通,在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用。

  另一个方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理,要求学生要注重边角转化的桥梁――正、余弦定理;其中在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,要求学生熟练掌握。

  20.在△ABC中,已知∠A=60°,AC=1,S△ABC=,求边AB与BC的长.(2008年对口单招)

  14.已知在△ABC中,A=60°,=,则sinC=.(2009年对口单招)

  7.在△ABC中,若a=4,b=4,则∠A=60°等于()(2010年对口单招)

  A.120°

  B.120°或30°

  C.60 °

  D.60°或120°

  五、重视三角知识与其他章节的综合,如三角与向量、解几、数列等之间的联系

  三角函数这一章节内容多而杂,在复习时我们要以大纲为依据,立足课本,重视基础,帮助学生化模模糊糊一大片为清清楚楚几根线,达到理想的复习效果。

  高考三角函数的应用【3】

  【摘 要】在高中学习的过程中,教师们都有一个共识,就是:“得数学者得天下”,这从侧面反映了数学在高中教学中的重要作用。的确,在高中生的数学学习冲刺阶段,数学能力较好的学生往往能在复习时得心应手,提高数学成绩,增加自己的胜算。

  但是,我们不能忽略的是,不管对于学优生还是学差生,教师都应当帮助同学们凭借自己的能力得到最高的分数。而最不应当丢失的分数就包括三角函数。

  【关键词】三角函数;化简;求值;图像;性质;应用

  三角函数是高考的热点和重点,每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质,还具有自己独特的特性――周期性和对称性,使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。

  在每年的高考中,围绕三角函数的考题具有新意,给人新颖的感觉,这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考,谈谈自己的几点看法:

  一、三角函数的化简、求值、求最值

  三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,优化学生的解题效果,做到事半功倍。

  求值问题的基本类型及方法:①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角,解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解;②“给值求值”即给出某些角的三角函数(式)的值,求另外的一些角的三角函数值,解题关键在于:

  变角,使其角相同;③“给值求角”关键也是:变角,把所求的角用含已知角的式子表示,由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角;④化简求值。

  三角函数的化简、求值及求最值的难点在于:众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择,认真分析所给式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在。

  二、三角形中的三角函数,即解三角形

  分析近几年的高考试卷,有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下,正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

  评注:三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变。解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化。

  三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题

  此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题,如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合,多为解答题,考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法,只要认真读题、审题,合理分析已知量间的关系,总是能够解决问题。

  解决三角应用题的关键是认真阅读题目,正确理解题意,运用所学知识建立适当的三角模型,准确无误的计算等,其基本步骤如下:

  第一步,阅读理解,审清题意。读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字途径,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题。

  第二步,搜集整理数据,建立数学模型。根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题,实现问题的数学化,即建立三角函数模型。

  第三步,利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答,求得结果。

  第四步,将所得结论转译成实际问题的答案。

  三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移对三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来。

  在考查三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数性质和图象的考查力度。

  高考复习是一个引人注目的问题,又是一个老生常谈的话题,这里没有秘诀,也没有私人信息。

  任何私人信息,在经过30多年的关注、猜想、尝试和研究之后,都变成了公有。但高考复习的确是有方法的,甚至可以说是有一定的规律可循的,我认为高考复习就是一种智慧。

  就是在复习中,始终保持明确的目标、清醒的头脑和有效的对策;能够对资源做出正确的判断、恰当的取舍和合理的运用;在繁茂芜杂的信息中看到高考命题的基本规律,在知识与能力、数学知识与数学活动的经验、基本能力与创新意识、稳定和创新等诸多矛盾中达到平衡,在把考试大纲要求、命题规律转化为教学方式的过程中表现出自由、和谐、开放和创造的状态。

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