线性代数中矩阵的应用论文
定理[1]:n元线性方程组 Ax = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) ② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ;
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) 例讨论线性方程组解的情况,并在有无穷多解时求其解。
解:对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换:
(1) 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.
(2) 当系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.
(3) 当此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
故原方程组与下列方程组同解:
令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;
元素,可得为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为
此外,注意到此题中方程个数与未知数个数相同,还可以先计算系数行列式,运用克莱默法则,易于确定参数的值,使问题简单化。
从以下这个表中我们能更加清楚的认识矩阵的秩与线性方程组的解的情况之间的关系。
四、矩阵的秩的教学策略探讨
首先,要让学生明白学习矩阵的秩的重要性。
矩阵从来都是数学中的经典内容,是我们分析解决问题的一个强有力的工具,当然也是大学生必备的经典知识。
其次,在线性代数中,矩阵的秩是个比较抽象的概念,它是教师教学的重点和难点。
若不注重方法直接介绍,学生将难以接受,接受勉强接受,也不能深刻地理解其定义与定理的具体的内涵,更谈不上在具体题目中能灵活运用这个数学概念。
教师要帮助学生深刻理解矩阵秩的概念,从学生熟悉的背景引入,兼顾知识难点严密性和形象性,用大量实例将概念具体化,不管是从行列式的角度还是从向量组的角度,都能清晰把握概念内涵。
第三,在教学过程中要中深入剖向量组的线性相关性与矩阵的秩以及线性方程组解之间的内在联系,课堂教学过程中多选择典型例题,例题就是抽象知识的具体化,通过典型的例题来解释这些难懂的知识点。
第四,让学生多做练习,使学生在运用中加深对难点的理解和把握,从中体会相关知识的联系与区别。
比如,安排习题课让学生进行课内练习,教师可利用习题课对矩阵的秩的运用特点进行梳理和总结,帮助学生从整体上把握。
针对一些典型的习题,让学生先认真思考验算,再进行讲评,提高学生分析和解决问题的能力。
五、结束语
对于数学问题的认知方面,学生应该全身心的参与,不应该仅仅局限在课本和例题这些固定的知识层面,还应该在题目的变式中得到锤炼和提高。
在线性代数讲解活动中,老师应该循循善诱的帮助学生树立起探索数学复杂题型的信心,在线性代数中矩阵秩的具体习题练习中得到思维发散与提高。
参考文献:
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