代数问题几何建模策略

代数问题几何建模策略

　　代数问题几何建模策略【1】

　　摘 要:利用代数问题的几何信息,建立模型,给出一些代数问题的解题策略。

　　关键词:代数问题 几何建模 策略

　　代数问题几何建模是根据代数命题蕴含的特征或性质,运用适当数学变换,将代数命题表述为等价的几何命题,再借助几何直观性探寻解题途径,从而解答代数命题的一种方法。运用这种方法解题,必须审清题意,挖掘明显或隐含的条件,找到恰当的切入点,进行联想、类比,进而转化。

　　题目I:已知a,b,c,d为正数,,ac=bd,求证a=d,b=c

　　建模策略:从题目本身出发,寻求解答难以找到突破口,注意到,如果把a,b,c,d分别看作两个直角三角形的直角边,,分别表示这两个直角三角形的斜边的平方,建立如图1几何模型。利用RtABC与RtADC相似得其全等,AB=AD,BC=CD,即a=d,b=c。

　　题目Ⅱ:求的最小值,a、b、c是正数。

　　建模策略:表达式与两点间距离公式很相似,可将其看作动点M(x、o)到两定点A(o,a),B(c,-b)的距离的和,则只有这三点共线时才可能最小,由平面内三点共线的充要条件或者由三点共线知KMA=KAB,易得,代入原式化简得当且仅当时,取得该值。

　　可见,代数问题几何建模策略构思精巧,不仅能化繁为简,化抽象为直观,而且能触类旁通,锻炼思维能力,增强学习兴趣。其关键在于寻找有效的数形结合模型,一般思路是(图2)。

　　1平面几何建模

　　就是为代数问题建立平面几何模型,像题目I。

　　代数中的等式和不等式反映出来的是线段间的等量或不等量关系,根据这一特征,可用比较基本的知识点(如直角三角形、相似三角形的有关知识,平行线、圆的切割线、相交弦、射影定理,三角形的边角不等关系,面积总量等于各面积分量之和等)对某些代数问题建立几何模型。最常见有如下基本模型。

　　2解析曲线建模

　　题目Ⅴ:解方程

　　建模策略:将原式变形为。

　　取y2=4,则有。

　　这恰是以(1,0)、(11,0)为焦点,8为实长轴,中心在(6,0)的双曲线方程。由双曲线定义可得双曲线方程为,代y2=4于方程得,即为所求的方程解。

　　这种经变形可转化为解析曲线中的某些线量的代数问题,一般利用解析曲线的性质求解,其几何建模常见的有:三点共线(如题目Ⅱ),不同方程表尔同一曲线,直线斜率相等(题目Ⅱ),两点间距离、圆锥曲线的定义及其性质等。

　　3直曲交轨建模

　　这是一种最常用的方法。它要根据圆锥曲线与直线的位置关系及其所反映的性质来探求解答思路。

　　题目Ⅵ:求函数的定义值域

　　建模策略:构造直线L:s=yt,使t=x+2,,则s2=t-1(s≥0)是与L有公共点P(x+2,)的抛物线弧M,作图(图3)并由图知,当直线L在第一象限且处于t轴与相切时的切线之间时,L和M才有公共部分。

　　因此,0≤y≤K切(y为直线L的斜率)。

　　而过点(0,0)与抛物线s2=t-1(s≥0相切的切线方程为,这种策略需要根据己知条件或命题的特征,构造过定点的直线和曲线方程,然后利用它们所表示的关系(相切、相交、共同围成的区域、距离等)来进行几何论证。常用于求极植和值域(特别是求无理函数的)。

　　4其他类型

　　还可用于数列(特别是等差数例它的通项公式和前几项和公式与直线二次曲线表达式很相似)、方程根的讨论(用作图法求交点个数)和比较大小等问题上。代数问题的几何建模策略远不止这些,很有挖掘的必要。

　　通过上述讨论,不难发现,代数问题本身的复杂性、开放性以及应用者知识经验是其局限性所在。尽管如此,它作为开发智力、锻炼创造件思维能力,仍有特别的价值。

　　代数问题的几何讲法【2】

　　数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，且数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。

　　数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

　　显然数形结合，不是两者简单的堆砌，而是有机的结合，“数”具有精确性定特征，它可以阐明“形”的某些属性，并且可以通过运算法则、公式进行运算，比较具体(虽然有时却比较繁复)，“形”具有几何的直观性，它也可以表示数之间的某些关系，“形”可以通过逻辑推理得到一些结果，其推理过程较简捷(但可能有时比较抽象)。

　　但两者结合，各取所长，则往往威力巨大。

　　函数是贯穿数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。

　　函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。

　　利用一次函数、二次函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段的长度(两点间的距离)等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。

　　借助儿何图形和函数图象的直观，去理解、记忆数学的概念和性质，并用以解题，这在中学数学教学中是一个重要的思想方法，比如现行中学数学课本里，对三角函数函数的性质，就是通过观察它们的图象，抽象得来的。

　　又如在教学中要想让学生牢记30、45“、60“这儿个角的三角函数值，要求学生在理解锐角三角函数的定义基础上去记忆，借助几何直观去解题，常常会达到事半功倍的效果。

　　如在学生学习正比例函数图像时，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正比例函数的图像，在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初步理解图像上各点所表示的实际意义，再通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例函数图像的特点，并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例函数的性质。

　　画出图像后，进一步认识图像上任意一点所表示的实际意义，初步体会正比例函数图像的实际应用。

　　通过正比例函数图像与正比例函数关系式的转换，加深对正比例函数的理解。

　　应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的;其二，利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。

　　有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。

　　总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是片面的。

　　教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。

　　教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而来解决问题。

　　教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。

　　只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。

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