初中代数中的方程组的基本解法

初中代数中的方程组的基本解法

　　初中代数中的方程组的基本解法

　　【摘 要】本文是通过笔者的亲身经历，在教育工作过程中不断总结而得出的一点心得体会。以初中代数中的方程(组)的解法为话题而展开讨论，重点讨论了方程(组)的“化归法、分类法、换元法、消元降次法”四种解法。在讨论中增添了具体的实例加以说明，由此显得浅显易懂，容易理解，对初中生而言这也是一种好方法。

　　【关键词】化归 四化 转化 分类法 换无法 消元降次等

　　方程不仅在解决数学问题中有举足轻重的作用，而且在其他很多自然学科中都有用武之地，如物理学、化学、生物学等。甚至在生产劳动实践中也有广泛应用，但很多学生，在离开学校之日起，就不再应用方程了，我们农村的大部分学生离开学校之后就成了主要的农业劳动者，这些劳动者不会应用所学知识提高自身的劳动素质，这是我们教育工作者的一大憾事。

　　其实，“方程”一词，在小学高年级就也接触到了，例如“列方程解应用题”。在小学是怎样解这些简单的方程呢?主要是应用“加、减、乘、除”法的法则来解决这类简单方程，到了初中阶段，方程所能解决的问题的范围扩大了，因此解法也变得系统化，多种多样化。下面我们就来谈一谈方程的几种解法：

　　一、化归法

　　所谓“化归”就是把所要解决的问题通过某种转化手段归结为加一个较容易或已经解决的问题，并且通过这一问题的解决可得原问题的解答。简单地说，就是把新知识“转化为旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。

　　“化归”就是解决方程(组)问题的基本思路，可以概括为“四化”，即，高次方程低次化、无理方程有理化、分式方程整式化、多元方程一元化。

　　例题：已知a、b为互不相等的实数且2a2-7a+3.5=0，2b2-7b+3.5=0，试求代数式

　　的值。

　　思路分析：题目的条件是关于a、b的两个方程，要求与a、b有关的代数式的值，常见解决是分别求出这两个方程的解，然后将a、b的值代入代数式求值，但由于这两个方程的解为无理数，因此计算量较大，此方法不可行。

　　通过仔细观察，发现这两个方程的各项系数分别对应相同，因此联想到a、b是一个方程的两个根，即a、b是2x3-7x+3.5=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系可得a+b与ab的值，把它们的值代入代数式即可。

　　解：因为2a2-7a+3.5=0，2b2-7b+3.5=0，所以a、b是关于一元二次方程2x2-7x+3.5=0的两实根，由于a、b为互不

　　相等的实根，所以

　　评析：该题看似十分简单，但按常规解法，最终因计算量较大而受阻。这样的题培养学生的观察能力较好，当他们无法继续做下去时，就会回过来重新找规律，当找出新的规律后，就会想到寻找把这类问题转化为简单、直接的问题加以解决的途径，这也就是我们所谓的“化归法”。

　　二、分类法

　　为了解决问题，把问题中涉及的所有对象不遗漏地分成有限的若干类情况，然后对基本的每一类情况逐一解决最终达到解决整个问题的目的，这种解题方法称为分类讨论法。

　　解决这类问题的关键是找出分类的理由，找出分类的方法，分类要逐级展开，不重不漏。在初中数学中分类思想应用很少，如：数的分类、方程的分类，还有一元二次方程的根的情况的讨论分三类等等。

　　例题：已知关于x的方程(-k+1)x2-(2k-1)x-(k+3)=0至少有一个负根，求k的取值范围。

　　思路分析：要求出k的取值范围，只需保证已知的方程至少有一个负根，其中“至少有一个负根”内涵是广泛的，若原方程是一元一次方程，则其有一个负根即可;若原方程是一元二次方程，则其有两个负根或者有一个正根，一个负根或者一个负根和0均可。

　　解：①当-k+1=0时，即k=1，原方程即为-x-4=0，所以x=-4，符合题意;②当-k+1≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，所以，△=(2k-1)2+4(1-k)(k+3)=-12k+13。

　　令△≥0，则k

　　(1)当方程有两个负根时，其两根之和为负，两根之积为正，则有：

　　所以

　　所以k>1或k<-3。

　　(2)当方程有一个负根和两个正根时，其两根之积为负，则

　　有： ，所以-3

　　(3)当方程有一个负根和一个零根时，将x=0代入原方程，

　　得k=-3，则原方程即为4x2+7x=0，解得x1=0，x2=4/7符合

　　题意。

　　综上所述，所以当

　　时，原方程至少有一个负根。

　　评析：本题看似复杂，但在分类思想的指导下，感觉顺理成章，条理清楚。首先对该方程的二次项系数展开讨论，二次项系数为零是一元一次方程，二次项系数不为零是一元二次方程，再进行第二次分类，当原方程是一元二次方程时，根又分成了三种情况讨论。这样一定的层次进行逐层讨论，并且注意不重不漏、最后进行总结即可。

　　三、换元法

　　所谓“换元法”就是用新的字母(元)替换题目中的代数式，使其便于解题的一种方法，首先，我们应该仔细观察方程的结构，进而整理方程，然后引进一个新的未知数来代替原方程中的某个代数式，这样使原方程较容易地转化为结构简单的方程，并使方程的形式和运算量都得到极大地简化。

　　这种解题的方法就称为换元法。换元法实质上体现了一种整体代换的思想。重要的指导思路是“化繁为简，化难为易”。

　　例题：解方程

　　思路分析：本题主要考查换元法解无理方程，可先将原方程变形为

　　即

　　令

　　把无理方程转化为有理方程：y2+y-2=0。(具体解题过程略)

　　评析：使用换元法解题时，应该注意选用准确，适当的设元的方法，同样一道题，也许用几种不同的设元的方法都能正确地解决它，但这些不同的方法的使用会导致解题步骤的繁简，运算量的大小不同，因此，应注意选用相对更为简捷的设元的方法。

　　四、消元、降次法

　　当我们遇到多元问题时，总是设法将其转化为“二元”或“一元”问题来解决，这就是消元，其主要方法有代入消元法和加减消元法，而当我们遇到高次方程时，往往需要转化为“二次”或“一次”方程来求解，这就是降次，其主要方法有因式分解降次或换元降次来实现。消元降次在方程(组)中的主要用途如下图所示：

　　例题：解方程组

　　思路分析：方程组中的第二个方程是二元三次方程，方程的左边是x与y的立方程，因此，可用立方和公式分解因式，以此来达到降次的目的。

　　解：由(2)得(x+y)(x2-xy+y2)=152;将(1)代入得x2-xy-y2=19。

　　整理得(x+y)2-3xy=19;将(1)代入得xy=15。

　　原方程可化为

　　方程组中的xy可看成一元二次方程z2-8z+15=0的两根z1=3，z2=5。

　　所以原方程的解为：

　　在初中阶段，解方程(组)的主要方法就是以上四种方法，方程(组)在初中代数中是个很重要的知识点，它与代数中其它知识联系也比较紧密。以方程为知识的背景，穿插不等式内容，常用于解决综合应用性问题，要使方程和不等式很好地相互利用，是解决此类问题的关键。

　　为了研究事物的变化规律，我们研究的是函数，函数与方程关系十分密切。函数与方程可比作两个亲密的战友，谁有困难，另一个就勇敢的站出来帮助他。

　　方程和几何更是好朋友，方程成了解决几何问题必不可少的代数工具，几何中的图形可以用某种方程来表示，而方程的解又可以形象、直观地反映为对应图象上的点。近年来的一些综合性很强、难度也较大的中考题，也称压轴题，往往涉及到以方程为知识背景，结合几何内容来解决此类问题。

　　这也是学生的逻辑思维能力、综合应用能力的体现。

　　方程不仅在数学领域中有重要地位，它还涉及于其它很多自然科学领域中。虽然初中代数中的方程是方程界中一个很小的起点，但这是基础，是很小的一块落脚石，方程就是从这里起步，因此我们应该把它掌握得牢固些，把它的解法学得透彻些，为今后学习更多、更广泛的方程知识而打下坚实的根基。

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