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一阶微分方程的应用
常微分方程在很多领域内有着重要的作用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机、导弹飞行的稳定的研究、化学方程过程的稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
五 总结
一阶高次微分方程的解法有很多，在这里我们给出两种求一阶高次微分方程的方法，针对不同的方程可以应用不同的方法，这样解这类方程更为简便些，也能进一步对高阶微分方程有所认识。
我们在开始给出了求一阶二次微分方程和一阶三次微分方程在极坐标下的求解方法，通过给出它们的定义、求解方法以及对例题的分析，能对一阶高次微分方程进行拓展和研究，通过特殊的求解方法后，我们又给出求一阶高次微分方程的一般方法，这样能使一阶高次微分方程的解法通俗易懂。
参考文献
[1]刘许成.一阶二次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].赣南师范学院学报，2002(6)：11～12
[2]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].安阳师范学院学报，2003(3)：6～8
[3]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换下的求解定理及应用[J].阜阳师范学院学报(自然科学报)，2002(4)：54～56
[4]王高雄、周之铭、朱思铭等.常微分方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，1984：51～56
[5]东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2001：56～66
一阶微分方程的积分因子【3】
摘要：积分因子法是解一阶常微分方程有效的方法，本文通过查阅相关文献，对一阶常微分方程存在各种形式的积分因子的充要条件做了小结，并将这些理论推广到一些简单的积分因子形式。
关键词：微分方程积分因子 充要条件
求解一阶常微分方程有常数变易法，积分因子法，积分变换法，幂级数法。由于后两种方法运用起来比较复杂，大多数教材对后面两种方法仅有简单的介绍。常数变易法从给定方程对应的齐次方程得到通解从而得到原方程的解，思想巧妙，运用简便，但就其原理理解起来觉得突兀。而积分因子法从微分方程基本原理出发，从给定方程本身就可以得到微分方程的解。
一：基本知识
1、全微分方程
求解一阶微分方程
其中 是单连通区域内 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。若存在某个二元连续可微函数 ，使得方程 的左端为 的全微分，则称方程 为全微分方程。
定理1称微分方程 为全微分方程当且仅当方程满足条件 。
此时存在二元连续可微函数 ，使得 ，方程通解为 。
2、积分因子
当 ，在该区域寻找一个可微的非零函数 使得方程 为全微分方程，即 ，则称 为方程 的积分因子。
二、积分因子的性质及形式
定理2方程 的积分因子存在，且不唯一。设 为方程 的积分因子，则对任何可微函数 ，函数 也是方程 的积分因子。
证明： 是方程 的积分因子，所以，
定理3 为方程 的积分因子充要条件为 。
证明： 为方程 的积分因子，即满足条件 ，展开即得 。
定理4方程 具有形如 积分因子充要条件是，
其中 仅是 的函数，且
证明：由定理3知方程 具有形如 积分因子充要条件是，
即 ，
记 ，则 ，即 (其中 ，取 ，即得公式 )
三:讨论几种特殊类型的积分因子存在的充要条件
结论1一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件
注：1、当 仅与 相关，即当 ， 时，由定理4知充要条件是 。当 仅与 相关时同理可得相应结论。
2、当积分因子形如 时的充要条件
结论3一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件
注：当 时，则 。
结论4一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件
注：形为 的积分因子充要条件是
结论5 一阶微分方程 具有一种乘积形式积分因子 存在的充要条件是 + ，其中 ， 。
注：形如 的积分因子的充要条件是
结语
积分因子法是求解一阶线性微分方程的重要方法，应用上没有局限性，解题目的明确，而且建立在已学的数学知识之上。本文在给出积分因子法的一般结论之后，针对一些特殊类型的积分因子形式存在的充要条件进行概括，并将这些理论应用推广到一些常见的积分因子形式，对积分因子法做了有效的归纳总结，对初学者将有很大帮助。
参考文献
[1]丁同仁,李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 高等教育出版社. 2004
[2]韩祥林,陈星海. 一类积分因子的存在条件及应用[J]. 高等数学研究. 2012(05)
[3]徐彬. 一阶微分方程具有一种乘积形式积分因子的求解[J]. 黄冈师范学院学报. 2009(06)
[4]李荣江. 一阶对称形非恰当方程的分组积分因子法[J]. 数理医药杂志. 2009
[5]汤光荣,易其国. 对常微分方程积分因子问题的推广[J]. 抚州师专学报. 2000(12)
[6]高正晖. 一阶微分方程三类积分因子的计算[J]. 衡阳师范学院学报(自然科学).2002(06)
[7]王善维. 关于一阶微分方程的积分因子问题[J]. 河北轻化工学院学报. 1997(06)
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