投资组合中多目标规划最优化数学模型的应用
投资者把资金投放于有价证券市场以获取一定的收益的行为就是证券投资，它的主要形式是股票投资和债券投资。
投资组合中多目标规划最优化数学模型的应用【1】
[摘要] 该文通过对证券组合投资的预期收益率和投资风险进行综合定量分析，建立了证券组合投资的预期收益率和投资风险两个目标均达到最优的多目标规划模型，并对模型进行分析，最后通过案例给出了模型的最优解。
[关键词] 投资组合 数学模型 多目标规划 最优解
1 综述
投资者把资金投放于有价证券市场以获取一定的收益的行为就是证券投资，它的主要形式是股票投资和债券投资。
在投资者看来，证券的价值是以投资该证券的收益来衡量的。
投资者投资证券的主要目的在于获得较高的收益率，而证券投资的收益率在于受许多不确定因素的影响，主要受企业因素、宏观经济政策与环境因素及市场因素的影响。
证券预期收益率的不确定性使证券投资具有风险性，这种风险是与收益相伴而生的，因此我们也可以把证券收益看成是对投资者承担风险的一种补偿。
投资者投资于证券都希望获得较高的预期收益率，而真正得到的实际收益率却有可能低于预期收益率，这时风险就发生了，使投资者遭受损失。
然而，风险在经济学、决策学、统计学和金融保险学中还尚无统一的定义，通常有七种基本的观点，但我倾向于这种定义：风险----是指在决策过程中，由于各种不确定性因素的影响，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性及可能损失的程度。
对风险的描述和计量是基于投资收益率指标。
具有投资风险的证券称为风险证券，无风险证券是指象国库券一类的收益率确定的证券。
一般情况下，风险证券的预期收益率往往要高于无风险证券的确定收益率，但风险证券的预期收益率越高，其投资风险也就越大。
面对这种情况，证券投资者均具有既追求较高预期收益率，又厌恶较高投资风险的心态，于是便倾向于选择既能避开风险又能取得较高收益率的证券组合投资方案，即证券投资按某种比例对无风险证券和多种风险证券进行有机的组合。
证券市场的规律是高收益伴随着高风险，但采用适当的投资策略可以减低投资风险，事实上，证券组合投资是降低投资风险的有效途径。
证券组合----就是由不同证券(或其他资产)构成的资产组合。
本文通过对证券组合投资的预期收益率和投资风险进行综合定量分析，建立了证券组合投资的预期收益率和投资风险进行综合定量分析，建立了证券组合投资的预期收益率和投资风险两个目标均达到最优的多目标规划模型，并对模型进行分析验证求解。
2 多目标规划模型的建立
确定一个有效的投资组合是一个非常复杂的决策过程，从以上分析可以看出利用多目标投资组合做证券投资不失为一种很奏效的方法，利用投资取舍原则，缩小问题规模，使问题易于解决且在求解过程中将十分复杂的多目标规划转化为线性规划问题，这样不仅求解简单，而且给投资者提供了多种可选择方案，并达到降低风险提高收益的效果，可操作性强。
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多目标规划方法优化投资组合的应用【2】
摘 要：在现实生活当中，诸多问题由相互冲突和相互影响的目标构成，我们解决问题通常是将这些目标以给定区域为条件得出最佳方案，也就是通常所说的多目标优化问题。
多目标优化问题在现实生活中占有绝对重要的地位，自上个世纪六十年代开始，多目标优化问题成为了广大 研究人员共同关注的研究课题之一，其作为解决多目标优化问题具有十分重要的科研价值。
鉴于此，笔者在本文中将针对多目标规划方法投资组合的应用分析展开理论研究，仅作参考。
关键词：多目标规划方法;优化投资组合;优化问题
一个项目的投资决策往往拥有诸多目标，如某企业产品的流水生产管理，决策层会希望生产所能达到的利润最大且消耗的优质资源越少越好，多于一个目标的问题即可称之为多目标优化问题，此例也叫多目标决策问题。
解决这样的多目标优化问题一般通用的途径是将求解多个目标问题转化为求解单目标问题或求解多个单目标问题。
1、多目标规划问题概述
多目标规划最优的思想起初由法国经济学家V.帕雷托提出，他由政治经济学的角度将不可比较的多个目标转化为多个单目标的最优问题，涉及到了多目标规划的概念。
上世纪40年代末，J・冯・诺伊曼和O・莫根施特恩又基于对策论又提出了在多个决策人相互矛盾的前提下引入多目标问题。
50年代初，T・C・库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。
同时，H・W・库恩和A・W・塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。
自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。
至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。
2、多目标规划方法优化投资组合的应用分析
某生产车间计划在10天内安排生产甲类和乙类两种商品。
已知生产甲类商品需要A号配件5组，B号配件3组;生产乙类商品需要A号配件2组，B号配件4组。
在十天的计划期内该生产车间仅提高A号配件180组，B号配件135组。
同时，我们还知道该生产车间没生产一个甲类商品可获取利润为20元，生产一个乙类商品可获取利润15元。
那么，通过以上条件甲乙两类商品分别生产多少可实现利润最大呢?下面我们将各项数据列表如下表1所示：
表1
我们假设，X1和X2分别为甲乙两类商品的生产数量，Z为总利润，以此可以线性规划描述此问题，建立数学模型应该是：
(1)
(2)
其中，X1和X2均为整数。
理想状态下，可以利用图解法即可得出公式(1)的最优解为Z=775，X1=32，X2=9。
但是，站在车间生产计划人员的角度上将，问题往往比较复杂。
首先，这是一种单一目标优化问题。
但通常来讲，一个规划问题需要满足多个条件。
例如，例如财务部门的利润目标：利润尽可能大;物资部门的节约资金：消耗尽可能小;销售部门的适销对路：产品品种多样;计划部门的安排生产：产品批量尽可能大。
规划问题其本质上是多目标决策类问题，只是因为利用线性规划模型处置，致使生产计划人员不得已从诸多目标中硬性选择其中的'一种作为线性规划的数学模型。
这样一来，由数学模型目标函数得到的结果可能会违背部分部门的根部意愿，从而导致生产过程受阻，又或者是从生产计划开始阶段就因为某些矛盾而不能从诸多目标中选取一个最优目标。
其次，线性规划问题存在最优解的必要条件是可行解集合非空，也就是说各个约束条件之间彼此相容。
但在优化投资组合等实际应用问题中有时候也未必能完全满足这样的条件。
如因设备维修养护、消耗能源或其他产品自身原因导致生产计划期内不能提供足够的工时而无法满足计划生产的进度和产量，又或者因投资资本有限的束缚生产原材料的供应不能满足计划产品的需求等等。
第三，线性规划问题的可行解和最优解具有非常明确的价值，这些可行解和最优解都依数学函数模型而定。
在实际的投资组合应用当中，决策人发出决策后往往还需要对其决策进行某种修正，主要原因就在于数学函数模型与实际问题之间不尽相同，具有一种近似性，也就是建立数学模型时应对实际应用问题进行简化且不考虑新情况的发生。
计划人员为决策人提供的数学可行解并不是严格意义上的最优解，仅作为决策实现最优的一种参考性计划方案。
上世界六十年代初期，由查恩斯(A・Charnes)和库柏(W・w・CooPer)提出的目标规划(Goalprogramming)直接已得到了重视和推广，该法在处置实际应用问题方面承认诸项决策条件存在的合理性，即便多个决策条件是相互冲突的、相互影响的都具有合理性，在做出最终决策中不会强调绝对的最优性。
由此看来，多目标规划问题可以认为是一种较之于线性规划问题更切合于实际应用的决策手段。
3、多目标规划方法优化投资组合的常见途径
(1)加权法(或效用系数法)。
加权法(或效用系数法)将投资问题中所有的目标进行统一度量(例如以钱或效用系数度量)。
本方法的的基本原理是将多目标模型转化为多个单目标模型。
多个目标，有主次不同和轻重缓急不同等区别，最重要的一个目标我们将之赋予为优先因子P1，次重要的目标依次赋予优先因子P2，P3，P4，…，同时约定PK>>PK+1(PK比PK+1拥有更好的优先权)。
如果非要将拥有相同优先因子的目标加以区别，我们可以将其分别赋予不同的权系数wj。
它的优点在于适用于计算机运算求解可行解和最优解(如线性函数模型可用单纯形法求解)，而缺点则在于难以找到合理的权系数(如某高速公路建设投资，在减少建设投资和保证施工质量降低交通伤亡事故率之间难以衡量人的生命价值)。
(2)序列法(或优先级法)。
序列法(或优先级法)并不是对每一个目标进行加权，它主要是按照目标的轻重缓急不同将其分为各个不同等级后再行求解。
它的优点在于可规避权系数的困扰，适用范围比较广，各种决策活动几乎都可使用。
例如，某公司在决定提拔人员，很多单位主要根据该人员的工作积极性、工作能力和对单位的贡献价值等几个方面予以考虑，这几个方面也会按照先后顺序依次评定，等级不同参考评定的比重也会有所不同。
它的缺点在于难以区分各个目标的轻重等级，难以排定优先顺序无法保证最终的求解结果是最令人满意的。
(3)有效解法(或非劣解法)。
有效解法(或非劣解法)与上两种方法不同，它拜托了加权法(或效用系数法)和序列法(或优先级法)具有的一定局限性，利用本法可找到所以的有效解集，也就是非劣解集，众多非劣解可供决策人从中挑选最为满意的解。
它的缺点则在于实际应用问题中非劣解数量很多，为决策人提供的非劣解集范围过于宽泛。
4、结束语
综上所述，利用多目标规划方法优化投资组合的核心是目标函数模型，在合理地假设基础上将实际问题转化为线性规划问题，使之目标函数模型具有一定的可操作性。
本文通过分析多目标规划方法优化投资组合的应用，旨在于促进交流与学习，如有差误，请指正。
参考文献
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多目标最优化问题在区域经济规划中的应用【3】
摘要：随着经济的发展，区域经济日益重要。
我国有着人口多、人均资源少、基础弱等特殊的国情，做好区域经济规划有助于我国的快速持续健康发展。
本文主要探讨多目标最优化的概念以及在区域经济规划中国的应用。