费马点的数学论文

费马点的数学论文

　　而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

　　今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况:

　　①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，则费马点就是这个内角的顶点。

　　下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点P,延长BA至C#39;使得AC=AC#39;，做∠C#39;AP#39;=∠CAP，并且使得AP#39;=AP, PC#39;=PC，即把三角形APC以A为中心做旋转变换(如图)。

　　则△APC≌△AP#39;C#39;（旋转的不变性）

　　∵∠BAC≥120°（已知）

　　∴∠PAP#39;=180°-∠BAP-∠C#39;AP#39;（平角的意义）=180°-∠BAP-∠CAP（等量代换）=180°-∠BAC≤60°

　　∴等腰三角形PAP#39;中（已知AP#39;=AP），AP≥PP#39;（∠PAP’＜∠AP P#39;）

　　∴PA+PB+PC≥PP#39;+PB+ P#39;C#39;>BC#39;（两边之和大于第三边）=AB+AC（已知AC=AC#39;）

　　所以A是费马点。即之前的结论。

　　下面探讨第二种情况：

　　②如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

　　做△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点（如图），再作一点P#39;，不与点P重合，连结P#39;A,P#39;B,P#39;C，过P#39;作P#39;H垂直EF于H。

　　∵∠APB=120°，∴∠PAB+∠PBA＝180°－120°=60°

　　且∠PAF=∠PBF=90°，∴∠F=180°－（90°+90°－60°）

　　同理可得：∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，设边长为d，面积为S。

　　则S= 1/2 d (PA+PB+PC)

　　∵P#39;H ≤ P#39;A

　　∴ 1/2×d×P#39;H×2S ≤1/2 ×d ×P#39;A×2S

　　又∵1/2×d×P#39;H=△EP#39;F ∴ 2S△EP#39;F≤ d ×P#39;A×S

　　同理有：2S△DP#39;F≤d ×P#39;B×S ， 2S△EP#39;D≤d ×P#39;C×S

　　相加，得：2S(△EP#39;F+△DP#39;F+△EP#39;D)≤ d ×S (P#39;A+P#39;B+P#39;C)

　　又∵△EP#39;F+△DP#39;F+△EP#39;D=△EDF

　　2S×S ≤ d ×S (P#39;A+P#39;B+P#39;C) 两边同除以S，得：2S ≤ d (P#39;A+P#39;B+P#39;C)

　　把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得：

　　PA+PB+PC≤P#39;A+P#39;B+P#39;C，当且仅当P,P#39;重合时取到等号。

　　所以P是费马点，即与上述结论相符合。

　　经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：

　　当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

　　费马（Pierre de Fermat,1601—1665）是法国数学家、物理学家。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。

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