数学例题的教育功能的拓展论文
众所周知，例题教学是高中数学课堂教学的重要环节.可是在日常教学中，部分教师的例题教学具有太多的随意性，影响例题教学功能的正常发挥.带着这个问题，笔者不拘泥于校内，广泛学习，开展教学研究，有所领悟.下面以一节高三复习课为例，探讨例题教学的功能问题.
一、听课笔录
1.流淌一题多解，打开解题思路
教师:零点问题是函数的重点问题，也是高考的热点问题，请大家一起来探讨题目:“已知函数f(x)=2a+2x-3-a在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围”的解法.
学生1:当a=0时，函数在区间[-1，1]上没有零点，不合题意，故a≠0.
当a≠0时，二次函数f(x)在区间[-1，1]上有一个零点或两个零点，故f(1)f(-1)≤0或
教师:好!一人一种方法，两位同学就给出了两种解法，打开了解题思路.学生1根据二次函数的图象，将零点分布问题转化为解不等式组的问题，自然流畅.学生2巧妙地将零点分布问题转化为考察两条曲线交点个数问题，数形结合，进一步转化为解不等式组的问题，一气呵成.两位同学勇于探索，殊途同归，都是利用数形结合的思想，将问题转化为解不等式组的问题，值得大家学习.但是答案不同，问题出现在哪里?你还有不同的解法吗?
2.审视思维过程，利用错解资源
学生3:学生1的思路容易想到，不但利用了数形结合思想，还用到了分类讨论的思想.但是解不等式组时出现了计算方面的错误，结果是“1≤a≤5或或a≥5”，即学生2的答案是对的.
学生4:学生2得到的不等式组有些突然，两个同学的答案不同，使我怀疑学生2的结果，顺着他的思路想下去，通过画图，感到思路其实也很简单、自然.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点在y轴的负半轴上，抛物线与直线的交点的横坐标在区间[-1，1]上;当a<0时，抛物线的开口向下，顶点在y轴的正半轴上，要以直线的纵截距为分类标准展开讨论.当a≤-3时，与a>0时的做法类似;当-3<0时，抛物线与直线从相交到相切，故得出-3><.>
学生5:之所以感到这种问题的挑战性，错误常发生在所列出的不等式(组)，但是，有时也发生在解不等式组.因此，解题时既要重视解题思路的探求，也要重视运算、变形等操作层次的基本功训练.当答案不同时，可以运用“一题多解”进行验证，把思路打开.
教师:有见解!学生3和学生4不但审视了两位同学的思维过程，而且从宏观着眼，提出了解决问题的数学思想，从微观入手，提出了问题解决过程中的细节问题.学生5从学生1的错解和自己的解题经历出发，谈解题心得体会.请大家重新审视学生1和学生2的解题思路，思考得到的不等式组的合理性，验算结果，看看从中还能得到什么启发?
3.多向提出问题，沟通因果关系
教师:好，有点探索的味道.不过，这个问题与所讨论的题目有什么关系呢?
教师:好哇!学生7建立了与已有问题的联系，利用学生1的方法求解，体现了一法多用.学生8更是另辟蹊径，将零点分布问题转化为求函数的值域问题，让人耳目一新.但是，两人的结果又不一样，怎样评价?
教师:学生9具有实事求是的科学态度，验算能够“吸取精华，去掉糟粕”，谁又能够解答学生9的'困惑?
学生10:问题发生在转化的等价性方面，即不是充要条件.因此，对于区间端点，还是要进行检验.
4.聚焦解题智慧，升华数学思想
教师:不错，学生10既找出了错因，也提出了解决问题的办法.只有几分钟就要下课了，大家发掘一下，可能得到更多启迪，受到更多启发.
学生11:解决函数零点问题有三种途径，一是直接根据函数零点存在条件得到不等式(组);二是转化为两个函数图象的交点问题，按照交点位置建立不等式(组);三是分离参数，转化为求函数的值域.
学生12:沟通了函数的单调性与函数零点的关系，函数在给定区间不单调，其本质是它的导函数在这个区间有零点，且没有相同的零点，2009年高考数学浙江卷文科第21题第(Ⅱ)问、理科第22题第(Ⅰ)问(其实就是学生6给出的题目)都是这样的问题.
学生13:我用学生8的方法求解第一个题目，能够得到正确的答案，但是在分离参数时遇到要考虑系数不为零的问题.
学生14:学生11概括的三种方法，都是在化归思想、数形结合思想、分类讨论思想指导下，得到不等式(组)，体现了数学思想在数学解题中的指导作用.
学生15:说实在的，这些问题我感觉较难，难就难在如何正确得到不等式组.通过这节课的学习，我找到了破解“含参函数零点(不单调)问题”的思想方法.
学生16:当我们遇到不太容易的问题时，我们要联想与之相关的问题，用熟悉问题的处理方式、已有的方法去解决问题;当不太容易的问题得到解决后，我们还要联系与之相关的问题，比较分析，组题研究，以寻求一类问题的解决方法和解题规律.
教师:真是太好了!学生12沟通了函数的单调性与函数零点的关系，多题归一，有化归意识;学生15给这节课的问题“命名”，给出了问题的识别标志;学生11总结得到这类问题的三种解法，为大家提供了解决问题的方法;学生14结合探索过程，概括了解决问题的数学思想;经过学生16的升华，升格为我们处理不太容易问题的思想策略;请大家关注学生13的问题，作为研究性学习课题，对这节课的问题进行深入研究，我想大家还会有意想不到的收获.
二、教研思考
1.生“动”:发挥例题教学的基本功能
文[1]认为，“生动”课堂的内涵还应涵盖学生的表现，要看学生是否积极参与了课堂，即“生动”课堂要求生“动”，这里的“动”不仅要有“学生的说、学生的做”这些显性的动，更要有“学生的思、学生的想”这些隐性的动.
应该说，案例中教师给出的例题对学生具有智力挑战性.但是，作为高三第一轮复习的一节综合应用课，具有思维训练的价值.本节课中，“学生的说、学生的做”这些显性的动比较多，有15位学生上黑板进行板书或发表意见，教师给出例题后，学生进行了8分钟的自主探索，就是学生5谈解题心得体会后，教师还要求学生“重新审视学生1和学生2的解题思路”，进行验算.生“动”，增加了学生的体验、说的底气;生“动”，提供了思的素材、思的线索;生“动”，带动了学生的思、学生的想”，发挥了例题教学导思、导行等方面的基本功能.
其实，例题教学的功能是多方面的.例题教学是使学生掌握数学基本知识，形成数学基本技能，领悟数学基本思想方法，发展数学能力，改变学习方式的重要环节.按照一定的教学意图设置一定的例题，是发挥例题教学基本功能的基础.正例可以同化知识，强化数学概念;反例可以顺应知识，重组认知结构;匹配好的例题、练习题的解题教学，可以训练思维，引领研究性学习.
当然，一个例题不可能承载众多的教育功能，就是有较多的教学功能也不可能在一节课中发挥得淋漓尽致，毕竟一节课的教学时间是有限的.要按照教学目标设计例题教学，以发挥例题教学的基本功能、保障教学意图的落实.对于学生确有困难的题目，可以引导学生先审题，探求出解题思路后，再让学生动手去做、去落实.对于一般的例题，可以让学生先做、先尝试，积累一定的经验后再组织学生去研讨.
2.“互动”:突出例题教学的主要功能
文[2]认为，“在培养思维能力的成效上，对一个问题从不同层次和维度上开掘100次，比对100个问题各只浅挖1次的效果要好得多”.
案例中，对例题的“开掘”有独到之处.教师给出例题后，学生进行了8分钟的自主探索，从不同维度进行“开掘”.15位学生上黑板进行板书或发表意见，在互动中
汇集他们从不同层次和维度上“开掘”得到的信息，生成新的“开掘”点和“开掘”方向，引发思维“风暴”，时而发生认知“冲突”，引出探索问题;时而产生思维“碰撞”，闪烁理性智慧.互动，增添了学生学习的信心、心灵感应;互动，产生了各种“意外”、探索氛围;互动激发了学生参与的热情，促进了学生的思维运动，突出了培养思维能力的主要功能.
一节课，例题教学的主要教育功能是什么?这既取决于教学目标，又取决于学生的现实水平，还取决于教师对课标的理解及教学立意.从听课笔记中可以看出，本课例中教师试图通过解剖所提供的问题，引导学生探求解决“含参函数零点问题”的思想方法，以此为“抓手”，培育、发展学生的思维能力.而从学生课堂上的表现也可以看出，素材选择符合学生的实际，教法有利于落实教学意图、突出思维训练功能.
3.“联动”:追求例题教学功能最大化
所谓联动，狭义上讲，是指知识之间的前后联系、个体的思维运动，前面的积累是后续学习的基础，后续学习又不断深化对前面所学东西的认识，相互联系，形成学习观点的变化，促进个体思维进动;广义地说，是群体的价值联系、联合行动，它得到群体认同，产生群体行动，形成一定的氛围，促进群体思维运动.
案例给人的感觉是“联动”效应.从学生6提出的问题可以看出，学生6注意积累、关注知识之间的前后联系，由当前问题能够联想到与之相关联的问题.他的问题得到了群体的响应，有学生7利用学生1的方法所进行的尝试，还有学生8“另辟蹊径，将零点分布问题转化为求函数的值域问题”求解的探索.从而沟通了函数零点与函数单调性的关系，为群体提供了研究性学习材料和研究方法.特别是课堂的“后半段”，学生参与小结，一个个来自学习过程的真实感受，一个个闪烁着理性与智慧的发言，得到了群体的呼应，推动着群体的思维运动。
新课程倡导“以学论教”，主张为学生的“终身学习”奠定基础.课例中教师不拘泥“预设”，实行教学民主，尊重学生的首创精神，以学生的问题、观点为出发点，生成教学资源，引领探究活动，引导学习方式，为落实新课程教育理念进行了有益的探索、积极的尝试.当然，不能说课例尽善尽美，比如学生12说“2009年高考数学浙江卷文科第21题第(Ⅱ)问、理科第22题第(Ⅰ)问”就是相关的问题，教师可以利用现代信息技术展示给学生看，以此强化学生的问题意识、联系的学习观点和利用信息技术手段解决问题的观念.
不应该苛求一节课例题教学功能的全面性，但要追求例题教学功能，特别是主要功能的最大化.我们应该将课程目标分解到各个教学模块、各节数学课，不断强化导学、导思、导行功能，以追求“不教而教”的终极目标。
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