圆与圆位置关系中常见辅助线的作法

圆与圆位置关系中常见辅助线的作法

　　圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。

　　1. 作相交两圆的公共弦

　　利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

　　例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE=DF。

　　图1

　　分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。

　　证明：连结AB

因为 又 所以

　　即CE//DF

　　又CD//EF

　　所以四边形CEFD为平行四边形

　　即CE=DF

　　2. 作两相交圆的连心线

　　利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。

例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为 和 ，公共弦长为12。求 的度数。

　　图2

分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求 的度数，可利用角的和或差来求解。

　　解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。

连结O1、O2，交AB于C，则 。分别在 和 中，利用锐角三角函数可求得 故

　　当AB位于O1、O2同侧时，如图3

　　图3

则 综上可知 或

　　3. 两圆相切，作过切点的公切线

　　利用弦切角定理沟通两圆中角的关系

例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。求证PC平分 。

　　图4

分析：要证PC平分 ，即证 而 的边分布在两个圆中，难以直接证明。

　　若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T

易知 由弦切角定理，得 又 是 的一个外角所以 又 从而有 即PC平分

　　4. 两圆相切，作连心线

　　利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。

例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1经过圆心O2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若 ，求 的度数。

　　图5

分析： 是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O1O2、O1A，则O1O2必过点A，且O2A为⊙O1的直径，易知 。连结DA，则 于是 又 为锐角所以 从而有

　　5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线

　　有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。

例5. 如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A，且其夹角为 ， ，求两圆的半径。

　　图6

分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作 ，构造 ，下面很容易求出结果。

　　请同学们自己给出解答。

　　(答案：两圆的半径分别为3和1)

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