高一数学求值域方法

时间：2023-10-23 13:10:07 炜玲学习方法我要投稿

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高一数学求值域方法

　　高一数学求值域方法，高一数学函数求值域的方法其实很简单，下面就为大家整理了高一求值域方法及例题，希望可以帮助大家！

高一数学求值域方法

　　高一数学函数值域解题技巧1

　　一、观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√（2—3x）的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√（2—3x）的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√（2—3x）≥0，故3+√（2—3x）≥3。

　　∴函数的知域为、

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　　练习：求函数y=[x]（0≤x≤5）的值域。（答案：值域为：{0，1，2，3，4，5}）

　　二、反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=（x+1）/（x+2）的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为：x=（1—2y）/（y—1），其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1，y∈R}。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　　练习：求函数y=（10x+10—x）/（10x—10—x）的值域。（答案：函数的值域为{y∣y<—1或y>1}）

　　三、配方法x

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√（—x2+x+2）的值域。

　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　　解：由—x2+x+2≥0，可知函数的定义域为x∈[—1，2]。此时—x2+x+2=—（x—1/2）2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√—x2+x+2≤3/2，函数的值域是[0，3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

　　练习：求函数y=2x—5+√15—4x的值域、（答案：值域为{y∣y≤3}）

　　四、判别式法

　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。

　　例4求函数y=（2x2—2x+3）/（x2—x+1）的值域。

　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　　解：将上式化为（y—2）x2—（y—2）x+（y—3）=0 （*）

　　当y≠2时，由Δ=（y—2）2—4（y—2）x+（y—3）≥0，解得：2

　　当y=2时，方程（）无解。∴函数的值域为2

　　点评：把函数关系化为二次方程F（x，y）=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±√（cx2+dx+e）的函数。

　　练习：求函数y=1/（2x2—3x+1）的值域。（答案：值域为y≤—8或y>0）。

　　五、最值法

　　对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间[a，b]内的极值，并与边界值f（a）、f（b）作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。

　　例5已知（2x2—x—3）/（3x2+x+1）≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。

　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2—x—3≤0同解，解之得—1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1—x代入z=xy+3x中，得z=—x2+4x（—1≤x≤3/2），

　　∴z=—（x—2）2+4且x∈[—1，3/2]，函数z在区间[—1，3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

　　当x=—1时，z=—5；当x=3/2时，z=15/4。

　　∴函数z的值域为{z∣—5≤z≤15/4}。

　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x—5的值域为（）

　　A、（—∞，+∞） B、[—7，+∞] C、[0，+∞） D、[—5，+∞）

　　（答案：D）。

　　六、图象法

　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

　　例6求函数y=∣x+1∣+√（x—2）2 的值域。

　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　　解：原函数化为 —2x+1 （x≤1）

　　y= 3 （—1

　　2x—1（x>2）

　　它的图象如图所示。

　　显然函数值y≥3，所以，函数值域[3，+∞]。

　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

　　七、单调法

　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

　　例1求函数y=4x—√1—3x（x≤1/3）的值域。

　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g（x）= —√1—3x，y=f（x）+g（x），其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

　　解：设f（x）=4x，g（x）= —√1—3x ，（x≤1/3），易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）= 4x—√1—3x

　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3，因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。

　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

　　练习：求函数y=3+√4—x 的值域。（答案：{y|y≥3｝）

　　八、换元法

　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

　　例2求函数y=x—3+√2x+1 的值域。

　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

　　解：设t=√2x+1 （t≥0），则

　　x=1/2（t2—1）。

　　于是 y=1/2（t2—1）—3+t=1/2（t+1）2—4≥1/2—4=—7/2、

　　所以，原函数的值域为{y|y≥—7/2｝。

　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

　　练习：求函数y=√x—1 –x的值域。（答案：{y|y≤—3/4｝

　　九、构造法

　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

　　例3求函数y=√x2+4x+5+√x2—4x+8 的值域。

　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

　　解：原函数变形为f（x）=√（x+2）2+1+√（2—x）2+22

　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

　　正方形。设HK=x，则ek=2—x，KF=2+x，AK=√（2—x）2+22 ，

　　KC=√（x+2）2+1 。

　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

　　线时取等号。

　　∴原函数的知域为{y|y≥5｝。

　　点评：对于形如函数y=√x2+a ±√（c—x）2+b（a，b，c均为正数），均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

　　练习：求函数y=√x2+9 +√（5—x）2+4的值域。（答案：{y|y≥5√2｝）

　　十、比例法

　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

　　例4已知x，y∈R，且3x—4y—5=0，求函数z=x2+y2的值域。

　　点拨：将条件方程3x—4y—5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

　　解：由3x—4y—5=0变形得，（x3）/4=（y—1）/3=k（k为参数）

　　∴x=3+4k，y=1+3k，

　　∴z=x2+y2=（3+4k）2+（14+3k）2=（5k+3）2+1。

　　当k=—3/5时，x=3/5，y=—4/5时，zmin=1。

　　函数的值域为{z|z≥1｝、

　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

　　练习：已知x，y∈R，且满足4x—y=0，求函数f（x，y）=2x2—y的值域。（答案：{f（x，y）|f（x，y）≥1｝）

　　十一、利用多项式的除法

　　例5求函数y=（3x+2）/（x+1）的值域。

　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

　　解：y=（3x+2）/（x+1）=3—1/（x+1）。

　　∵1/（x+1）≠0，故y≠3。

　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

　　点评：对于形如y=（ax+b）/（cx+d）的形式的函数均可利用这种方法。

　　练习：求函数y=（x2—1）/（x—1）（x≠1）的值域。（答案：y≠2）

　　十二、不等式法

　　例6求函数Y=3x/（3x+1）的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/（1—x）]，

　　由对数函数的定义知 x/（1—x）>0

　　1—x≠0

　　解得，0

　　∴函数的值域（0，1）。

　　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

　　以下供练习选用：求下列函数的值域

　　1、Y=√（15—4x）+2x—5；（{y|y≤3｝）

　　2、Y=2x/（2x—1）。（y>1或y<0）

　　高一数学求值域方法2

　　1、确定函数定义域的主要依据：

　　（1）当f（x）是整式时，定义域为R；

　　（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；

　　（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合；

　　（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围；

　　（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合；

　　（6）正切函数的定义域是{ }；余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}；

　　（7）当f（x）表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义。

　　2、求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等。

　　题型示例点津归纳

　　【例1】求下列函数的定义域：

　　（1）y= ；

　　（2）y= ；

　　（3）y= ；

　　（4）y=log2004（tanx）。

　　【解前点津】使整个解析式有意义的x取值集合即为所求。

　　【规范解答】（1）由。

　　（2）令1—2sinx≥0，则sinx≤ 利用单位圆可求得定义域为[2kπ— π，2kπ+ ]，k∈Z。

　　（3）由知x是第一象限角或角x的终边在x轴正向或y轴正向上，故其定义域为

　　[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z。

　　（4）由tanx>0知x是一、三象限角，故为：（kπ+ ，kπ+π），k∈Z。

　　【解后归纳】求函数定义域常常要解不等式（或不等式组），理解并掌握集合的“交”“并”运算是一项基本功。含三角式的不等式求解，要么利用单位圆，要么利用函数的图像及周期性。

　　【例2】当a取何实数时，函数y=lg（—x2+ax+2）的定义域为（—1，2）？

　　【解前点津】可转化为：确定a值，使关于x的不等式—x2+ax+2>0的解集为（—1，2）。

　　【规范解答】 —x2+ax+2>0 x2—ax—2<0，故由根与系数的关系知a=（—1）+2=1即为所求。

　　【解后归纳】解一元二次不等式，常联系一元二次方程的根或二次函数的图像。

　　【例3】已知函数f（2x）的定义域是[—1，2]，求f（log2x）的定义域。

　　【解前点津】在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”。

　　【规范解答】 ∵—1≤x≤2，∴ ≤2x≤4故 ≤log2x≤4即

　　log2 ≤log2x≤log216 ≤x≤16。

　　【解后归纳】已知F（g（x））的定义域为A，求F（h（x））的定义域，关键是求出既满足g（x）∈B，又满足h（x）∈B的x取值集合，在此例中，A=[—1，2]，B=[ ，4]。

　　高一数学求值域方法3

　　函数值域的求法：

　　①配方法：

　　转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：y=ax^2+bx+c 的形式；

　　②逆求法（反求法）：

　　通过反解，用 x=f`（y）来表示，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：对数型的，y=ax^2+bx+e/cx^2+fx+g；

　　④换元法：

　　通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

　　⑤三角有界法：

　　转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

　　⑥基本不等式法：

　　转化成型如：利用平均值不等式公式来求值域；

　　⑦单调性法：

　　函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

　　⑧数形结合：

　　根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。高一数学，主要是二次函数，幂函数，指数函数，对数函数其中二次函数考察最多，也最重要。幂函数，指数函数，对数函数要熟记图像。主要掌握它的基本性质，要运用数形结合，分类讨论的数学思想。这个需要在做题时注意总结，自己独立思考。求值域是一个比较大的范围，并非一两句话可以讲得很清楚，题目是活的，需要积累。

　　高一数学

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