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解析高三几何平面学习方法
高三数学学习方法：冲刺易高考易错点平面解析几何
本文题目：高三数学学习方法：冲刺易高考易错点平面解析几何
一、高考预测
解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行.根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用.
圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题.选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化.
解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用.
二、知识导学
(一)直线的方程
1.点斜式： ;2. 截距式： ;
3.两点式： ;4. 截距式： ;
5.一般式： ，其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线 ， 有三种位置关系：平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线 ： = + ，直线 ： = + ，则
∥ 的充要条件是 = ，且 = ; ⊥ 的充要条件是 =-1.
(三)圆的有关问题
1.圆的标准方程
(r>0)，称为圆的标准方程，其圆心坐标为(a，b)，半径为r.
特别地，当圆心在原点(0，0)，半径为r时，圆的方程为 .
2.圆的一般方程
( >0)称为圆的一般方程，
其圆心坐标为( ， )，半径为 .
当 =0时，方程表示一个点( ， );
当<0时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
(θ为参数)
(θ为参数)
(四) 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于 ，则这样的点不存在;若距离之和等于 ，则动点的轨迹是线段 .
2.椭圆的标准方程： ( > >0)， ( > >0).
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(五)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为 ( > >0).
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个 (-a，0)、 (a，0) (0，-b)、 (0，b).
线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
(六)椭圆的参数方程
椭圆 ( > >0)的参数方程为 (θ为参数).
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同： ;
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(七)双曲线及其标准方程
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a(小于 )的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a< ，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a= ，则动点的轨迹是两条射线;若2a> ，则无轨迹.
若 < 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 > 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
2. 双曲线的标准方程： 和 (a>0，b>0).这里 ，其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是(-c，0)和(c，0)，与它们对应的准线方程分别是 和 .在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
(九)抛物线的标准方程和几何性质
1.抛物线的定义：平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2.抛物线的方程有四种类型： 、 、 、 .
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
(1)范围：x≥0;
(2)对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出;
(3)顶点：O(0，0)，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);
(4)离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;
(5)准线方程 ;
(6)焦半径公式：抛物线上一点P(x1，y1)，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的 的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).
注意事项
1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a(a∈R).因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线 或 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.⑷双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其中k是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个 和 (a>0，b>0).这里 ，其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.
解题的策略有：1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成 ，包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0情况。注意截距为0的情况;注意点关于直线对称问题(光线的反射问题);注意证明曲线过定点方法(两种方法：特殊化、分离变量)2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题;注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离;注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量(注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化)结合;4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值;5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ;注意化抛物线方程为标准形式(即2p、p、的关系);注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题;熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”;②离心率 的范围;③自变量 的范围;④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围;注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法， 注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法;②几何法;③定义法;④相关点法; 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出;注意将有关向量的表达式合理变形;特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决;10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。
三、易错点点睛
命题角度1对椭圆相关知识的考查
1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
[考场错解] A
[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把 当作离心率.
[对症下药] D 设椭圆的方程为 =l (a，b >0) 由题意可设PF2=F1F2=k，PF1= k，则e=
2.设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A.±2 B.± C.± D.±
[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=
[专家把脉] 没有很好理解a、b、c的实际意义.
[对症下药] C 设双曲线方程为 =1，则由题意知c=5， =4 则a2=20 b2=5，而a=2 b= ∴双曲线渐近线斜率为± =
3.从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程 =1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x<11，且y<9}内的椭圆个数为 ( )
A.43 B.72 C.86 D.90
[考场错解] D 由题意得，m、n都有10种可能，但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90.
[专家把脉] 没有注意，x、y的取值不同.
[对症下药] B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m≠n，故椭圆的个数：10×8-8=72.
4.设直线l与椭圆 =1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( )
[考场错解] 设直线l的方程为y=kx+b
如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有 =3
由 所以x1+x2=-
由 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2) 若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1
所以x3+x4= 、由 x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4 - bk=0或b =0
①当k=0时，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=± 由 =3(x4-x1)即 故l的方程为y=±
②当b=0时，由(1)得x1、2=± ，由(2)得x3、4= 由 =3(x4-x3)即 综上所述：直线l的方程为：y=
[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解.
[对症下药] 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况.
设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有 .由 得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以x1+x2=- 由 得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.
若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1.所以x3+x4=
由 x1+x2=x2+x4 或 b=0.
①当k=0时，由(1)得 由(2)得x3、4=± 由 (x4-x3).
即 故l的方程为 y=±
②当b=0时，由(1)得x1、2=
自(2)得x3、4= (x4-x3).即
故l的方程为y= .再讨论l与x轴垂直时的情况.
设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=
y3、4= 即
综上所述，直线l的方程是：y= x、y=± 和x=
x3、4= ∵x2-x1=3(x4-x3) .故l的方程为y=±
②当y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，这时l平行y轴.设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2= y3、4= ∵y2-y1=3(y4-y3)
故l的方程为：
③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直.设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2= 故l的方程为y= 综上所述，直线l的方程是：y= 、y= 和x=
5.设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)
[考场错解] (1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有: (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
依题意，x1≠x2 ∴kAB- ∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0
[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时kAB= 这地方很容易出错.②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆.
[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0.① 设A(x1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，
∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2= ，由N(1，3)是线段AB的中点，得 ，∴A(k-3)=k2+3.解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞).于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依题意，x1≠x2，∴kAB=- ∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1.又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞).直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4
又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3， x4是方程③的两根，∴x3+x4=-1，且x0= (x3+x4)=- ，y0=x0+2= ，即M(- ， ).于是由弦长公式可得CD= ④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得AB= ⑥ ∵当λ>12时， > ,∴AB<CD
假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为d= ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 MA2=MB2=d2+
故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心， 为半径的圆上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D共圆 △ACD为直角三角形，A为直角 AN2 =CNDN，即 . ⑧
由⑥式知，⑧式左边= ,由④和⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0.③
将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤
解③和⑤式可得 xl，2=
不妨设A(1+
计算可得 ,∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)
专家会诊 1.重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究.2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形;研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决;关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等.求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等.
命题角度2对双曲线相关知识的考查
1.已知双曲线x2- =1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 ，则点M到x轴的距离为 ( )
[考场错解] B
[专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义.
[对症下药] C 由题意得a=1，b= ，c= 可设M (x0，y0)MF1=ex0+a= x0+1，
MF2= ex0-a= x0-1 由MF12+MF22=F1F22得 x02=
即点M到x轴的距离为
2.已知双曲线 =1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为 (O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[考场错解] B
[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角.
[对症下药] D 由题意得A( )s△OAF= c ，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°.
解不等式，得
专家会诊 1.注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2.由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏. 3.掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用.
命题角度3对抛物线相关知识的考查。
1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在
[考场错解] D 由题意得AB=5 p=4，通径长为 2×4=8 5<8，故不存在这样的直线.
[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义.
[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而AB=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条.
2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线. (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.
[考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y= 与y=2x2联立得2x2+ x-m=0.得x1+ x2=- ;设AB的中点N的坐标为(x0，y0)
则x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m.由N∈l,得 +m=- +b，于是b= 即得l在y轴上截距的取值范围为[ ].
[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m> ，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0.
[对症下药] (1)F∈l FA=FB A、B两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0， ∴上述条件等价于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0;
∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。
(Ⅱ)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=- x+m，所以x1、x2满足方程2x2+ x-m=0，得x1+x2=- ; A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 +8m>0，即m> 设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=- ，y0=- x0+m= +m
由N∈l，得 +m=- +b，于是b= +m> 即得l在y轴上截距的取值范围为( ，+∞).
3.如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2).(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离; (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
[考场错解] (1)当y= 时，x= 又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0
相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0).
同理可得kpB= (x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)
故kAB= 将y1+y2=- y0(y0>0)代入得kAB=- 故kAB是非零常数.
[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确.
[对症下药] (1)当y= 时，x= ，又抛物线y2= 2px的准线方程为x= ，
由抛物线定义得，所求距离为 -(- )=
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故kPA= (x1≠x0).同理可得kPB= (x2≠x0).
由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即 =- ，所以yl+y2=-2y0，
故 =-2. 设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以
将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
所以kAB是非零常数.
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).
(1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值;若不存在，请说明理由.
[考场错解](Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
∵OA x1x2+yly2=0(2)
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+ .
[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在
[对症下药] (Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]= =3x2+ 所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB=
由(1)得S△AOB=
当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。
专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
∴(x1，yl-1)= (x2，y2-1)由此得x1= x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 消去x2得
[专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0.
[对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0 且e≠ ，即离心率e的取值范围为( )∪( ).
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1).∵ ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 x2=- ，消x2，得- ，由a>0，所以a=
2.给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，求 与 夹角的大小; (Ⅱ)设 ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围.
[考场错解] (1)设 与 夹角为α;由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1.易得 =x1x2+y1y2=-3， cosα= ∴α=-arccos
(Ⅱ)由题意知 ，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'.
∴FB=BB'，AF=AA' ∴BB’=λAA'，λ∈[4， 9]
设l的方程为y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= ∴AA'= +l =
BB'=
[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰.
[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1.
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1.
=(x1，y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.
所以 与 夹角的大小为π-arc cos (Ⅱ)由题设 得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，
即 由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③
联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线
(2)当PF1=F1F2时，同理可得 解得e2=3于是λ=1-3=-2.
(3)当PF2=F1F2时，同理可得 =4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0
综上所述，当λ= 或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形.
[专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2 (2)没有注意到椭圆离心率的范围.
[对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- )(0,a). 由
所以点M的坐标是(-c, )，由 得(-c+ )=λ( ，a). 即
证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- ，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由 得( )，
所以 因为点M在椭圆上，所以 =1，
即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2.
(Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2,即 PF1=c. 设点F1到l的距离为d，由 PF1=d， = ,得
=e.所以e2= ，于是λ=1-e2= .即当λ= 时，△PF1F2为等腰三角形.
解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2,设点P的坐标是(x0，y0)，
则 解得 由PF1=FlF2得 =4c2，
两边同时除以4a2，化简得 =e2.从而e2= 于是λ=l-e2= .即当λ= 时，△PF1F2为等腰三角形.
4.抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M满足 =λ ，证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.
[考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为( ，0)准线方程为x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)
于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1，4k1)， 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有<0易得k1的取值范围是 k1<-2或
故当k1<-2时，y<-1;当-
[专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念.
[对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(0， )，准线方程为y=- .
(Ⅱ)证明：设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0)，直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0).
点P(x0，y0)和点A(x1，y1)的坐标是方程组
的解.将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0= ，故x1= -x0③
又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组
的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= ，故x2= -x0, 由已知得，k2=-λkl，则x2= ⑥设点M的坐标为(xM,yM)，由 =λ ，则xM= .将③式和⑥式代入上式得 x0，即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上.
(Ⅲ)因为点P(1，-1)在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2.由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.将λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1).
于是 =(k1+2，k12+2k1)， =(2K1，4K1)， = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有<0.求得k1的取值范围是k1<-2或-
专家会诊 1.判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆.2.涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错.3.涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。
命题角度5对轨迹问题的考查
1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( )
A.2 B. C.18+12 D.21
[考场错解] C
[专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻.
[对症下药] B 设双曲线方程为 =1，由题意得 则a= b= ，则双曲线方程为 =1,由 得A(3，2 )，故交点到原点的距离为
2.(典型例题)已知点A(-2，0)、B(3，0)，动点P(x，y)满足 =x2，则点P的轨迹是 (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得 =d2即 =d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成.
[对症下药] 解：(I)W1={(x，y)kx0}，
(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得 =d2，即 =d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以 =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0;
(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0).由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为( a，0)，即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0).
由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
在△QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：
又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 =x02-c2+y20=a2-c2=b2
即 cos∠F1MF2=b2又s= sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2
[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面.
[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y).由P(x，y)在椭圆上，得
2
由x≤a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+ x.新课 标第 一网
证法二：设点P的坐标为(x，y).记
则r1= ，r2= .
由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得 =r1=a+ .
证法三：设点P的坐标为(x，y).椭圆的左准线方程a+ =0.
由椭圆第二定义得 即
由x≥-a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为(x，y).当 =0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上.当 且 时，由 =0，得 又 ，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中， =a，所以有x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
解法二：设点T的坐标为(x，y).当 =0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上.
当 且 时，由 又 = ，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为(x'，y')，则 因此 ①由 =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②
将①代入②，可得x2+y2=a2.综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
由③得，y0≤a，由④得，y0≤ ，所以，当a≥ 时，存在点M，使S=b2;
当a< 时，不存在满足条件的点M.当a≥ 时， =(-c-c0,-y0)， =(c-c0,-y0)，
由 =x02-c2+y20=a2-c2=b2，
解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
由④得y0 ，上式代入③得x20=a2- =(a- ) (a+ )≥0.
于是，当a≥ 时，存在点M，使s=b2;当a< 时，不存在满足条件的点M.
当a≥ 时，记k1=kF1M=
由F1F2<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2= =2.
专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起.(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除.
故舍去
综上所述：当x= 时d取得最小值
[专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐.
[对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6，0)，F(0，4)
设点P(x，y)，则 =(x+6，y)， =(x-4，y)，由已知可得
则 2x2+9x-18=0，x= 或x=-6.由于y>0，只能x= ，于是y= 点P的坐标是( )
(2)直线AP的方程是x- +6=0.设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是 .于是 = m-6，又-6≤m≤6，解得m=2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于-6≤m≤6，∴当x= 时，d取得最小值
2.如图，直线y= x严与抛物线y= x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q. (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值.
[考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0
设P(x, -4)∵点P到直线OQ的距离
d=
∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值= (-4+4)2-48=15
[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法.
[对症下药] (1)解方程组 ，得 即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)，由 ，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5).
(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x， -4)，∵点P到直线OQ的距离d= ∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上. ∴ -4≤x<4 -4或4 -4
3.设椭圆方程为x2+ =1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原点，点P满足 ，点N的坐标为( ， )，当l绕点M旋转时，求： (Ⅰ)动点户的轨迹方程; (Ⅱ) 的最小值与最大值.
[考场错解] (1)①若l的斜率存在，设为k，则l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x1+x2=
i)A=0时，x=0 y=1，∴P(0，1)
ii)k≠0时，k= ∴P点的轨迹为：x2+y2-y=0(y≠O)
②若l不存在斜率，∴A、B为上、下顶点.∴P(0，0)
(2)解：∵N( )，i)，∵k不存在时P(0，0)， ii) k=0时P(0，1). iii)k≠0时x2+(y- )2= 。又∵N( ) max=2r=1 ∴ min=0.
[专家把脉] 思路不清晰.
[对症下药] (1)解法一：直线l过点M(0，1)，设其斜率为A，则J的方程为y=kx+1.
记A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得A、B的坐标(x1，y1)、(x2,y2)是方程组 的解.
将①代入②并化简得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是
设点P的坐标为(x，y)，则 消去参数k得 4x2+y2-y=0. ③当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0
解法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以
④ ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0
当x1≠x2时，有 ⑥并且 ⑦
将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点p的坐标为(0，0)也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
(Ⅱ)解法：由点P的轨迹方程知x2≤ 。 即- ≤x≤ 所以
故当x= 时， 取得最小值，最小值为 ，当x= 时， 取得最大值，最大值为
由 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③
则
的取值范围是[2，+∞].
[专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除;(Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成立的条件.
[对症下药] 解法：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依题意x1≠0，yl>0，y2>0.由y= x2，①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意， ∴x1≠0.
∴直线l的斜率k1= ,直线l的方程为y- x21= (x-x1).②
方法一：联立①②消去y，得x2+ -x21-2=0. ∵M为PQ的中点，
消去x1,得y0=x02+ +1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ +1(x≠0)，
方法二：由y1= x21,y2= x22，x0= ，得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0= k1=- ∴x1=- ,将上式代入②并整理，得y0=x20+ +1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ +1(x≠0).
(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为p'、 Q'，则
由 消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0.③则
方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即 则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=
可取一切不等于l的正数， 的取值范围是(2，+∞).
专家会诊①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理. ②定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数.③最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理.
四、典型习题导练
1、已知椭圆 右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 (I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为 求直线AB的方程。
【解析】(Ⅰ)由题意， -----1分解得 -----2分
即：椭圆方程为 -----4分
(Ⅱ)当直线 与 轴垂直时， ， 此时 不符合题意故舍掉;
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，代入消去 得：
------5分 设 ，则 ，
所以 -----7分原点到直线的 距离 ，
所以三角形的面积 .由 ，
所以直线 或 .--------12分
2、设椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ，上顶点为 ，过 三点做 .(Ⅰ)若 是 的直径，求椭圆的离心率;(Ⅱ)若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程。
【解析】(Ⅰ)由椭圆的方程知 ∴ 设 …1分∵ 是 的直径，
∴ ,∵ ∴ ，…2分∴ ，
解得： …5分∴椭圆的离心率 …6分
(Ⅱ)解：∵ 过点 三点，∴圆心 即在 的垂直平分线，也在 的垂直 端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 与 轴不垂直的直线 交椭圆于 ， 两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在线段 上是否存在点 ,使得 ?若存在，求出 的取值范围;若不存在，请说明理由.
【解析】(Ⅰ)因为椭圆的短轴长： ，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以： ;故椭圆的方程为： ……4分
(Ⅱ)(1)若 与 轴重合时，显然 与原点重合， ;
(2)若直线 的斜率 ，则可设 ，设 则：
所以化简得： ;
的中点横坐标为： ，代入 可得： 的中点为
， 由于 得到 所以：
直线 …10分
.12分
直线 恒过定点 .……13分
5、设椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，且内切于圆 。(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)若直线 交椭圆于A、B两点，椭圆上一点 ，求 面积的最大值。
【解析】(Ⅰ)双曲线的离心率为 ，则椭圆 的离心率为 ，圆 的直径为 ，则 ，由 所求椭圆 的方程为 …12分
6、已知椭圆 的右焦点恰好是抛物线 的焦点F，点A是椭圆E的右顶点. 过点A的直线 交抛物线C于M，N两点，满足 ，其中 是坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)过椭圆E的左顶点B作 轴平行线BQ，过点N作 轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q. 若 是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程.
【命题意图】本题考查椭圆、抛物线等基础知识，考查转化求解能力.
【解析】(Ⅰ) ，∴ ，设直线 代入 中，整理得 .设 ，则 ，又∵ ，
∴ ，由 得 ，解得 或 (舍)，
得 ，所以椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)椭圆E的左顶点 ，所以点 .易证M，O，Q三点共线.当QM为等腰 的底边时，由于 ，∴O是线段MQ的中点，∴ 所以 ，即直线 的方程为 ;
当QN为等腰 底边时， ，又∵ ，解得 或 ∴ ，所以直线MN的方程为 ，即 .综上所述，当 为等腰三角形时，直线MN的方程为 或 .
7、在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 ，设动点 的轨迹是曲线 .(Ⅰ)求曲线 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线 : 与曲线 相交于 、 两点，已知圆 经过原点 和 两点，求圆 的方程,并判断点 关于直线 的对称点 是否在圆 上.
【解析】解：(1)由已知，即动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离，…2分
∴动点 的轨迹曲线 是顶点在原点，焦点为 的抛物线和点 …………4分
∴曲线 的轨迹方程为 和 .…6分由 解得 或
…8分即 , 设过原点与点 、 的圆 的方程为 ，
则 ,解得 ∴圆 的方程为 即
…10分由上可知，过点 且与直线 垂直的直线 方程为：
解方程组 ，得 即线段 中点坐标为 ……12分
从而易得点 关于直线 的对称点 的坐标为 把代入 代入：
∴点 不在圆 上.……14分
8、过抛物线 上不同两点 、 分别作抛物线的切线相交于点 )， .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求证：直线 恒过定点;(Ⅲ)设(Ⅱ)中直线 恒过定点为 ，若 恒成立，求 的值.
【解析】(Ⅰ)设 ， ， .由 ，得： ， ，
， ， .直线 的方程是： .即 .
同理，直线 的方程是： .②由①②得： ， .
(Ⅱ)恒过点 … 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得： ， ， ，
. .故 .
9、已知点 ,直线 与直线 斜率之积为 ，记点 的轨迹为曲线 .(Ⅰ)求曲线 的方程;(Ⅱ)设 是曲线 上任意两点，且 ,是否存在以原点为圆心且与 总相切的圆?若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由.
【解析】(Ⅰ)设 则由直线 与直线 斜率之积为 得 ， .
由 得 ，整理得 .代入(*)式解得
此时 中 .此时原点O到直线 的距离
.故原点O到直线 的距离恒为 .存在以原点为圆心且与 总相切的圆，方程为 .--12分
10、已知对称中心为坐标原点的椭圆 与抛物线 有一个相同的焦点 ，直线 与抛物线 只有一个公共点.(1)求直线 的方程;(2)若椭圆 经过直线 上的点 ，当椭圆 的的离心率取得最大值时，求椭圆 的方程及点 的坐标.
(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)
.… 3分∴直线 的方程为 .…… 4分
(2)法1：∵抛物线 的焦点为 ， 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 …7分 解得 ∴点 … 8分 ∴直线 与直线
的交点为 9分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆 的长轴长
其中当点 与点 重合时，上面不等式取等号∴ . ∴ .
故当 时， ， 12分此时椭圆 的方程为 ，点 的坐标为 … 14分
法2：∵抛物线 的焦点为 ， 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为 .5分
设椭圆 的方程为 ，… 6分由 消去 ，
得 .(*) 7分
若直线 交直线 于点 ，过 作直线 的垂线交 轴于点 ，求 的坐标; (Ⅲ)求点 在直线 上射影的轨迹方程.
【解析】(Ⅰ)由题意知 ,故椭圆方程为 ......3分
(Ⅱ)设 ， 则由图知 ，得 ,故 .
设 ,由 得： ， .
又 在椭圆上，故 ，化简得 ，即 ....8分
(Ⅲ)点 在直线 上射影即PQ与MB的交点H，由 得 为直角三角形，设E为 中点，则 = = ， ，因此H点的轨迹方程为 .
由点 知直线 的方程为 .分别在其中令
及 得 .5分将 的坐标代入 中得
,即 ,7分所以 8分
(Ⅱ)设椭圆 的方程为 ,将 , 代入,
得 ,9分解得 , 由 得 . 10分
椭圆 的焦距
(或 ) 12分
当且仅当 时,上式取等号, 故 , 13分
此时椭圆 的方程为 14分
13、已知点P是圆F1： 上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
【解析】(Ⅰ)由题意得， (1分)
圆 的半径为4，且 (2分)
从而 (3分)
∴ 点M的轨迹是以 为焦点的椭圆,其中长轴 ,焦距 ，则短半轴 (4分)椭圆方程为: (5分)
(Ⅱ)设 ，则 .∵ ，∴ .∴ (6分)
∴ 点在以 为圆心，2为半径的的圆上.即 点在以 为直径的圆 上.(7分)
又 ，∴直线 的方程为 .(8分)令 ，得 (9分)
又 ， 为 的中点，∴ (10分)∴ ， (11分)
∴
(Ⅱ)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0，
则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0，且x1+x2=，x1x2=.
∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，∴==k2，即+m2=0，又m≠0，∴k2=1，即k=±1.
设点O到直线l的距离为d，则d=，∴S△OAB=ABd=x1-x2
=x1-x2 m=.由直线OA，OB的斜率存在，且△>0，得0
∴0<<=a2.故△OAB面积的取值范围为(0，a2).…(10分)
(Ⅲ)对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为(0，ab).”……(13分)
15、已知 分别为椭圆 的左右焦点， 分别为其左右顶 点，过 的直线 与椭圆相交于 两点. 当直线 与 轴垂直时，四边形 的面积等于2，且满足 .⑴求此椭圆的方程;⑵当直线 绕着焦点 旋转但不与 轴重合时，求 的取值范围.
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
【解析】⑴当直线 与x轴垂直时，由 ，得 .
又 ,所以 ，即 ，又 ，
解得 . 因此该椭圆的方程为 . (4分)
⑵设 ，而 ，所以 ， ，
， .从而有
. (6分)
因为直线 过椭圆的焦点 ，所以可以设直线 的方程为 ，则由 消去 并整理，得 ，所以 ， . (8分)
进而 ， ，可得 . (10分)
令 ，则 . 从而有 ，而 ，
所以可以求得 的取值范围是 .(12分)
16、已知 、 分别是椭圆C ： 的左、右焦点，
M、N分别是双曲线C ： 的左、右焦点，
过N作双曲线渐进线的垂线，垂足为P，
若PF ⊥x轴(1)椭圆C 与双曲线C 的方程;
(2)分别过F 和N作两条平行线 、 ， 交椭圆于A、B， 交双曲线右支于D、E，问：是否存在 ，使得 为定值，若不存在，说明理由。
解：(1)可求出a2=2 ∴两种曲线的方程分别为
(2)若L1，L2不垂直于x轴，设其斜率为k，则
, 定值为 当L1，L2与x轴垂直时
, 定值为
17、如图，过点 作抛物线 的切线 ，切点A在第二象限.(1)求切点A的纵坐标;(2)若离心率为 的椭圆 恰好经过切点A，设切线 交椭圆的另一点为B，记切线 、OA、OB的斜率分别为 ，求椭 (2)由(1)得 ，切线斜率 ，设 ，切线方程为 ，由 ，
得 .…7分所以椭圆方程为 ，且过 ， .…9分
由 ， ，…11分
…15分
18、已知曲线 都过点A(0，-1)，且曲线 所在的圆锥曲线的离心率为 .(Ⅰ)求曲线 和曲线 的方程;
(Ⅱ)设点B,C分别在曲线 ， 上， 分别为直线AB,AC的斜率,
当 时，问直线BC是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
，即 .…12分故 过定点 .…13分
19、在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程;(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,- )的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.
【解析】(I)由题知 得b+c=4，即AC+AB=4(定值).由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去左右顶点)，且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为 .∴ 顶点A的轨迹方程为 .…4分
(II)由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，整理得：4k2>m2-3.①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
设MN的中点P(x0，y0)，则
，……7分
i)当k=0时，由题知， .………8分
ii)当k≠0时，直线l方程为 ，由P(x0，y0)在直线l上，得 ，得2m=3+4k2.②
把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得 .∴ .
验证：当(-2，0)在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解.即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m不过右顶点.∴ m的取值范围为( ).…………11分
综上，当k=0时，m的取值范围为 ;当k≠0时，m的取值范围为( ).…12分
20、已知圆 的圆心在坐标原点 ,且恰好与直线 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程;(Ⅱ)设点 为圆上一动点, 轴于 ,若动点 满足 ,(其中 为非零常数),试求动点 的轨迹方程 ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当 时, 得到曲线 ，与 垂直的直线 与曲线 交于 、 两点,求 面积的最大值.
【解析】 (Ⅰ)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ，则 2分圆 的方程为
(Ⅱ)设动点 , , 轴于 ,
由题意, ，所以 5分
即: ，将 代入 ,得 7分 文
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．正方体ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 （ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．正方体ABCD―A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为，
则正方体的棱长为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角
线E1D与BC1所成的角是（ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
5．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为
（A） （B） （C） （D）
6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，
那么这个球的表面积是（ ）
A． B． C．25 D．50
7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一点P满足PA＝PB＝PC＝2，
则三棱锥P－ABC的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于
（A） （B） （C） （D）
9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A． B． C． D．
9.C
10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为，则从球中切截出的四面体OABC的体积是（ ）
A． B． C． D．
11．棱长为a的正方体ABCD―A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，PA＝AB＝2，则三棱锥B－PCD的体积为 。
14． 已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）
15．一个正方体的全面积为，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为 。
16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．如图，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，
⑴求证：DF∥平面ABC；
⑵求证：AF⊥BD。
18．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设求二面角的大小
19.在直三棱柱中，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若直线与平面所成角为，求三棱锥的体积．
20．如图，已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
⑴求证：A1C⊥平面BDE；
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
21．如图，三棱柱ABC―A1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC成60?的角，
且侧面ABB1A1⊥底面ABC，
⑴求证：AB⊥CB1；⑵求三棱锥B1－ABC的体积；
⑶求二面角C－AB1－B的大小。
22．.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
参考答案
一、选择题
DAABC DDDCA BD
二、填空题
13． 14．③⑤ ②⑤ 15． 16．2/3
三、解答题
17．⑴取AB中点E，则显然有FD∥ECDF∥平面ABC
18．解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO 又CC1 B1B，
所以EODB ，则EOBD为平行四边形， ED∥OB
∵ AB = BC，∴ BO⊥AC ，又面ABC⊥面ACC1A1，BO面ABC ，故BO⊥面ACC1A1
∴ ED⊥面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1 ∴ ED⊥BB1
ED为异面直线AC1与BB1的公垂线
（Ⅱ）联结A1E，由AA1 = AC = AB可知，A1ACC1为正方形，
∴ A1E ⊥AC1 由ED⊥面A1ACC1和ED面ADC1知面ADC1⊥面A1ACC1ED⊥A1E
则A1E⊥面ADE。 过E向AD作垂线，垂足为F，连结A1F，
由三垂线定理知∠A1FE为二面角A1―AD―C1的平面角。
不妨设AA1 = 2 ，则AC = 2 ，AB = ， ED = OB = 1 ，
EF =
所以二面角A1―AD―C1为60°
19．.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,∴AA1=.
20．⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，
设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，
21．⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，则B1D⊥平面ABC
∴∠B1BD为B1B与平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60?
又∵△ABB1和△ABC均为正三角形，∴D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB
⑵易得
⑶过D作DE⊥AB1，连CE，易证：CD⊥平面ABB1A1
由三垂线定理知：CE⊥AB1，∴∠CED为二面角C－AB1－B的平面角。
在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的大小为arctan2
22．解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B―AD―F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B―AD―F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，则
直线BD与EF所成的角为
等腰直角三角形面积公式
等腰直角三角形面积公式
=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinC (C为a,b的夹角)
底*高/2
底X高除2 二分之一的 （两边的长度X夹角的正弦）
s=1/2的周长*内切圆半径
s=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinC
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
大角对大边
周长c=三边之和a+b+c
面积
s=1/2ah(底*高/2)
s=1/2absinC(两边与夹角正弦乘积的一半)
s=1/2acsinB
s=1/2bcsinA
s=根号下：p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式
正弦定理：
sinA/a=sinB/b=sinc/C
余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc cosA
b^2=a^2+c^2-2ac cosB
c^2=a^2+b^2-2ab cosA
三角形2条边向加大于第三边.
三角形面积=底*高/2
三角形内角和=180度
求面积吗 (上底+下底)×高÷2
三角形面积=底*高/2
三角形面积公式：
底*高/2
三角形的内角和是180度
陈子测日与勾股定理之发现
太阳距离我们有多远呢？这对于近代人来说，是一个常识性的问题；但对古代人而言，它却是个谜。为了解开这个谜，古代科学家进行了一次又一次探测。
据公元前一世纪成书的《周髀算经》记载，我国古代杰出的数学家陈子（公元前6-7世纪）对太阳的高和远进行了测量，这就是人们所乐于称道的“陈子测日”。他的测量方法原理如图1所示。
图 1
其中，S表示太阳，I表示日下点，AC和DF均表示髀，即测量用的标杆。C、F、I在同一直线上。b是髀竖立在F处的影长，a+b是髀竖立在C处的影长。髀长h是已知的，a、b、d均可实际量出。
由 △SHD∽△ACG, △SDA∽△AGB，
有
于是，便可求出太阳S到日下点I的距离，即日高SI；并且，还可求出髀DF到太阳日下点I的距离FI。但是，由陈子受当时科学水平的限制，误把椭球形的地球当作平面。所以，求出的日高与实际距离相差很远。然而，他的测日法所反映的数学及测量水平却是在世界上遥遥领先的，而且他的测量方法（后来叫做重差术）至今仍被使用着。所以，人们称陈子为测量学之祖，毫不为过。
求得了日高及髀到日下点的距离之后，髀到太阳的距离即日远，陈子是怎样计算的呢？据《周髀算经》记载，有一次荣方和陈子问答，陈子说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而除之，得邪至日者。”（古汉语“邪”也作“斜”解）就是说，将勾、股各平方后相加，再开方，就得到弦长（图2）。陈子的这段话，不仅解决了日远的计算问题，而且还最早表述了勾股定理。这充分证明，我国至迟在陈子所处年代，已经发现并运用了勾股定理。
图 2
可是，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一赋而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。
我国的几何起源很早。据考古发现，十万年前的“河套人”就已在骨器上刻有菱形的花纹；六、七千年前的陶器上已有平行线、折线、三角形、长方形、菱形、圆等几何图形。随着生活和生产的需要，越来越多的几何问题摆在我们祖先面前。四千年前，黄河流域经常洪水泛滥。大禹（公元前二十一世纪）率众治水，开山修渠，导水东流。在治水过程中，他“左准绳，右规矩”。（这里“规”就是圆规，“矩”就是曲尺，由长短两尺在端部相交成直角合成，短尺叫勾，长尺叫股），运用勾股测量术进行测量。在《周髀算经》中，表明大禹已经知道用长为3：4：5的边构成直角三角形。
到了商高（公元前1120年）所处时代，我国的测量技术及几何水平达到了一定高度。《周髀算经》中，记载着周公与商高的一段对话，商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”这里的“勾广”就是勾长，“股修”就是股长，“径隅”就是弦长。就是说，把一根直尺折成矩（直角），如果勾长为3，股长为4，那么尺的两端间的距离，即弦长必定是5。这表明，早在三千年前，我们的祖先就已经知道“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例了。
从制作工具、测量土地山河，到研究天文；从大禹治水，到陈子测日，我们的祖先逐渐积累经验，从而发现了勾股定理。为纪念我们祖先的伟大成就，我国已将这个定理命名为勾股定理。
尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚。我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家！
高一数学期末考试备考复习“秘诀”
编者按：小编为大家收集了“高一数学期末考试备考复习“秘诀””，供大家参考，希望对大家有所帮助!
1.回归课本是关键
考前要回归课本，掌握了教材就把握了考试的根本。在老师的指导下把考查的内容分类整理，理清脉络，使考查的知识在心中形成网络系统，并在此基础上明确每一个考点的内涵与外延。在建立知识系统的同时，同学们还要根据考纲要求，掌握试卷结构，明确考查内容、考查的重难点及题型特点、分值分配，使知识结构与试卷结构组合成一个结构体系，并据此进一步完善自己的复习结构，使复习效果事半功倍。
2.查漏补缺
数学的学习一定要加强对以往错题的研究，找错误的原因，对易错知识点进行列举、易误用的方法进行归纳。找准了错误的原因，就能对症下药，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错。同学们还可两人一组互提互问，在争论和研讨中矫正，效果更好。
3.掌握好看与做的时间分配
好多同学都觉得几天不做数学题后再考试，审题就会迟疑缓慢，入手不顺，运算不畅且易出错。所以每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，防止思想退化和惰化，保持思维的灵活和流畅。特别是停课复习期间，更要掌握好看和做的时间分配。
4.规范作答争取少扣分
一些同学考试时题题被扣分，大多是答题不规范，抓不住得分要点。如立体几何证明的次要条件要交待，分类讨论问题最后有综上可得，应用题最后要回答题目的设问，函数应用题要有定义域等。
5.归纳考试窍门
熟练掌握数学方法，以不变应万变。一般同一份试卷，相同的方法不可能出现多次;同时，数学的主要方法在一份试卷上基本都能用得上。因此遇到思路一下不能突破的难题，要好好想想以前遇到的类似的问题是如何处理的，在已经作答好的题目中用过了哪些方法，常用的方法还有哪些没用得上，能否用来解决这个难题，只要平时多加分析，是不难发现解题思路的。
以上就是为大家提供的“高一数学期末考试备考复习“秘诀””希望能对考生产生帮助，更多资料请咨询中考频道。
高考数学：把握学科特点 做好针对性复习
距离还有一个月左右的时间，在这关键的阶段如何，即了解第三轮的该怎么做，这很重要。因为这个阶段是的冲刺阶段，它是稳定和提高成绩的关键阶段，这个阶段所做的针对性强、有效性高。复习得好，数学成绩仍有很大的提升空间。这一阶段要做好两件事情。
一、回归基础，把握数学学科特点。
高考大纲和说明指出：数学科的，按照“考查基础的同时，注重考查”的原则，确定以立意命题的指导思想，将、和素质融为一体，全面考查的数学素养。数学能力是指空间能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识，共7种。推理论证能力和抽象概括能力是考查的重点，运算求解能力包括数的运算，式的运算，包括精算，近似计算和估算，对运算能力的考查主要以含字母的式的运算为主。据此，首先要求要回归基础，把各部分基本，包括数学概念、定义、定理、公理、推论、公式等梳理一遍。其次，要求要突出主干知识，重视知识之间的内在联系与转化，以数学思想为统帅，从本质上抓住这些联系，使数学知识在学生的头脑中形成一个有主有次的有机整体 高中学习方法。再次，要通过一些和练习，体会与感悟这些所考查的上述7种数学能力，针对自己，找出差距，及时补缺。这样就能更好地把握数学的学科特点和高考要求，就能站在一定的高度更加从容地面对高考，这种状态的同学高考都会有很好的发挥。
二、 做好针对性复习，寻找新的突破。
前面的复习主要是学生跟着走，而第三轮复习是个性化很强的复习，强调以学生为主，学生要根据自己的情况进行针对性的复习。这种针对性复习分为三类。
基础差的同学要坚决放弃一些难题，把重点放在基础题和中等题上，就理科数学来说，它是指选择题的前8题、填空题的前4题、解答题的前3题、选做题，这些题共有109分。这时要进行强化训练，专题突破，比如说你立体几何比较差，那你就专门做十几道立体几何。要求做题时要真正理解，解答完整。
中等的同学要注意总结与反思，及时查缺补漏，注意少丢分和不丢分，要放弃特别难的题目，要对自己较为薄弱的题型进行专题突破。同时注意一些创新题、探究题和应用题。
优秀生要专门安排一段时间回归基础，以保证基础题和中等题不丢分，但时间不用太长，一周就够了。针对近两年福建省高考数学难题偏难的情况，优秀生只有对难题进行专项突破，才有可能在高考中取得优异成绩。可选择近两年全国各课改省份的高考试卷和质检试卷，特别是本省前年和去年各市的质检试卷，专门做它的压轴题，特别是选择和填空的压轴题，会有不少的收获。
正弦函数图象的对称性
【教学目标】
1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式（R）与（R）的几何意义，体会正弦函数的对称性.
2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.
3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.
【教学重点】
正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.
【教学难点】
用等式表示正弦函数图象关于直线对称和关于点对称.
【教学方法】
教师启发引导与学生自主探究相结合.
【教学手段】
计算机、图形计算器（学生人手一台）.
【教学过程】
一、复习引入
1.展示生活实例
对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.
2．复习对称概念
初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：
轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；
中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.
3．作图观察
请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？
4．猜想图形性质
经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）
如何检验猜想是否正确？
我们知道， 诱导公式（R），刻画了正弦曲线关于原点对称，而（R），刻画了余弦曲线关于轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.
今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）
二、探究新知
分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.
（一）对于正弦曲线轴对称性的研究
第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线对称的研究.
1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索
请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见图），在直线两侧正弦函数值有什么变化规律？
给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在左右对称取值时，正弦函数值相等.
从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.
2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索
请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?
教师组织学生通过合作的方式，对称地在左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下：
给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：
-0.416
0.071
0.540
0.878
1
0.878
0.540
0.071
-0.416
上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.
请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P和P′在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？
根据画图结果，可以看出，点P和P′关于直线对称.这样，正弦曲线关于直线对称，可以用等式（R）表示.
这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.
3．严格证明——证明等式对任意R恒成立
请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？
预案一：根据诱导公式，有 .
预案二：根据公式和，有.
预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中， 无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值恒相等.
这样我们就证明了等式对任意R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线对称.
事实上，诱导公式也可以由等式推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线对称，是诱导公式（R）的几何意义.
阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线对称可以用等式（R）表示，通过对这一等式的严格证明，证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式（R）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.
第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.
师生、生生交流，步步深入.
问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？
可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：（Z）.
问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线（Z）对称”吗？
根据前面的研究，上述对称可以用等式（Z，R）表示.
请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.
证明预案： .
（二）对于正弦曲线中心对称性的研究
我们已经知道正弦函数（R）是奇函数，即（R），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.
第一阶段，对正弦曲线关于点对称的研究.
1．直观探索——从图象上探索在点两侧的函数值的变化规律.
2．数值检验——在左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.
3．严格证明——证明等式对任意R恒成立.
预案一：根据诱导公式，有
预案二：根据诱导公式和，有.
预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中， 无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值互为相反数.
事实上，等式与诱导公式是等价的. 这样，正弦曲线关于点对称，是诱导公式（R）的几何意义.
第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.
请同学尝试解决下列三个问题：
1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.
正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：（Z）（教师利用课件演示）.
2．用等式表示“正弦曲线关于点（Z）对称”.
上述对称可以用等式（Z，R）表示.
3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）
三、课堂小结
1．课堂小结
（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式与（R）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.
（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.
2．作业
（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.
（2）找一个一般函数，如，R，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.
（3）思考：如何用等式表示函数关于直线对称，以及关于点对称？
（4）尝试证明函数的图象分别关于直线和直线对称.
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