名师指导：数学分析学习方法详解
名师指导：数学分析学习方法详解
数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。
1.提高学习数学的兴趣
首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。
2.知难而进，迂回式学习
首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。
中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。
学习数学分析时要注意数学分析和高等数学要求不同的地方，否则你学习数学分析就与高等数学没有什么区别了；而且高等数学强调的是计算能力,数学分析强调的是分析的能力,分析的能力没有学到,就谈不上学好了数学分析。学好数学分析课程还有一个重要的原因是新生们体会不到的，数学分析的知识结构系统性和连续性很强，这些知识学得不扎实，肯定要影响后面知识的学习。同时将来考硕士，还是要考这门课程。如果大学第一年不把这门课程学好，将来可就难了。刚开始学习数学分析，会感觉很晕。对于老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，课后习题都没几个会做的。其实感觉晕是很正常的，而且还得要晕上几个月才可能就会好的。所以要硬着头皮跟着老师学了下来。虽然感觉还是不太懂，虽然做作业仍然感觉很费劲，但始终不要放弃，这种状态是学习数学分析的一个必经之路，因此必须克服这个困难才能学好数学分析理论知识。
除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为数学分析理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，由于当时根本没什么基础，所以对于“引入这个定理的目的是什么？”这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。但到后来学到了多元部分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在的性质，即相当于有一种连续的性质，目的就是为了后面的极限和连续做铺垫的，因为只有在自变量能够连续变化的时候，考虑因变量的相应变化才有意义，进而才能研究函数的性质。但是如果没有学到后面，只了解区间而不知其它一些怪异的点集时是很难想通这个问题的。
所以，在开始学习数学分析时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。
但是，也并不是说在初学时就不去思考任何问题。相反，勤于思考是学好数学必备的好习惯，“数学是思维的体操”，只有坚持思考才能掌握它的理论体系和逻辑关系。因此，应该在学习时掌握尺度，既要保证有充分的思考，但同时又不能过于钻牛角尖。
3.了解背景，理论式学习
数学分析与中学数学明显的一个差异就在于数学分析强调数学的基础理论体系，而中学数学则是注重计算与解题。针对这个特点，学习数学分析就应该注重建立自己的数学理论知识框架。
要学习理论体系，首先就应该知道为什么要建立这种理论，它的作用是什么，这就要了解数学的历史背景知识。比如“数学分析”在一开始就强调对?-N语言的掌握，而它的产生则是由于数学史上的“第二次数学危机”引起的。众所周知，Newton创立的微积分，虽然在其应用方面取得了巨大的成就，但微积分在那时的理论基础是相当混乱的。Newton在求导数时先将无穷小量看成非零数作为分母，后来又将其视做零而舍去，因此这就导致了逻辑上的错误。为了给微积分奠定正确而坚实的基础，大数学家威尔斯特拉森在Cauchy的基础上提出了用?-N语言的方法来推出极限和导数的概念。借助?-N语言，可以十分清晰地展示出函数取极限的过程，而且在逻辑上也非常清楚严谨。这样，当了解了这些历史背景知识之后，就觉得学习?-N语言是很必要的，学起来也就自然得多了。除了了解背景帮助我们学习理论知识外，还要下苦功夫去学习。在接触了这些陌生的数学理论一段时间后，可能觉得看起来已经懂了，但其实自己不一定能真正掌握，尤其是那些证明中内含的逻辑关系最容易出错。所以在学习时，应该适当地记忆理论知识，有时还应该默写定理，只有通过默写才能发现自己在理论上的漏洞，才能培养出自己严密的理论、逻辑能力，这对以后的学习都是很有帮助的。
4.把握三个环节，提高学习效率
(1)课前预习
适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果时间不多，你可以浏览一下教师将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。
(2)认真上课
注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。教师在有限的课堂教学时间中，只能讲思路，讲重点，讲难点。不要指望教师对所有知识都讲透，要学会自学，在自学中培养学习能力和创造能力。所以要努力摆脱对于教师和对于课堂的完全依赖心理。当然也不是完全不要老师，不上课。老师能在课堂教学把主要思路，重点与难点交代清楚，从而使你自学起来条理清楚，有的放矢。对于教师在课堂上讲的知识，最重要的是获得整体的认识，而不拘泥于每个细节是否清楚。学生在课堂上听课时，也应当把主要精力集中在教师的证明思路和对于难点的分析上。如果有某些细节没有听明白，不要影响你继续听其它内容。只要掌握了主要思路，即使某些细节没有听清楚，也没有关系。你自己完全能够在这个思路的引导下将全部细节补足，最后推出结论。应当在学习的各个环节培养自己的`主动精神和自学能力，摆脱对教师与课堂的过分依赖。这不仅是今天学习的需要，而且是培养创造能力的需要。
(3)课后复习
复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。另外，复习时的思路不应当教师讲课或者教科书的翻版，一个可供参考的方法是采用倒叙式。从定理的结论倒推，为了得到定理的结论，是怎样进行推理的，定理的条件用在何处。这样倒置思维方式，更加接近这个定理的发现的思路，是一种创造性的思维活动。
5.掌握方法，全面式学习
(1)概念的学习方法是：① 阅读概念，记住名称或符号；②背诵定义，掌握特性；③举出正反实例，体会概念反映的范围；④进行练习，准确地判断；⑤与其它概念进行比较，弄清概念间的关系。
(2)公式的学习方法是：①书写公式，记住公式中字母问的关系；② 懂得公式的来龙去脉，了解推导过程；③验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律；④将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式。
(3)定理的学习方法是：①背诵定理；②分清定理的条件和结论；③ 了解定理的证明过程；④ 应用定理证明有关问题；⑤ 体会定理与逆否定理、逆命题的联系。有的定理包含公式，如中值定理、定理，它们的学习还应该同公式的学习方法结合起来进行。
6.数学分析解题方法
在学习数学分析过程中，更多的困难来自于习题。
首先，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。上面已经提及，提高解题能力重要途径之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面，因为数学分析题型变化多样，解题技巧丰富多彩，许多类型的题目并不是只要掌握好基本概念和基本方法就会作的。需要看一些例题，或者需要教师的指点。不要因为某些题目一时找不到思路而失去信心。
至于如何解题，很难总结出几个适用于所有题目的通用的方法。怎样提高自己的解题能力？除了天生的智力因素之外，解题能力首先取决于基本概念和基本原理的理解与掌握程度。所以，多下功夫掌握基本概念和基本原理，尽可能地多做题目，在记忆的基础上理解，在完成作业中深化，在比较中构筑知识结构的框架，是提高解题能力的重要途径。另外，做题要善于总结，特别是从不同的题目中提炼出一些有代表性的思想方法。
下面是数学分析课程中部分内容的一些解题方法。
(1)数列的极限
重点：了解定义，即证明方法。特别是Cauchy收敛准则。学会反证法的表述法。 解法：
a.利用压缩映像或者数学归纳法及放缩法的到极限存在。然后，假设极限等于c，解出c的具体的值。
b.有时可以直接解出数列的通项公式，然后带入求得极限。
c.Stolz公式。
(2)求函数的极限
重点：同1）的重点
解法：
a.对于一元的情况比较简单，注意应用极限性质时的条件要求。
b.对于多元的时候，先处理一个未知数，再处理第二个。不断利用放缩法。或者换元。
c.具体要了解上下极限、上下确界的含义。注意，极限存在也是一个条件，且这个条件是很强的。
(3)函数的连续性
重点：了解定义，和基本证明的方法。了解什么是一致连续性.
解法：
a.证明f(x)和g(x)有交点的题目，如果是连续的，可以用介值定理，否则可以用实数系的定理来证明。
b.有些题目证明f(x)符合某些性质，可以先证明整数、再证明有理数。最后利用连续性来证明所有的实数满足条件.
c.了解什么是一致连续，能举得出连续但不是一致连续的各种函数图像的例子，对于解题时很有帮助的
(4)导数和微分
重点：会求导的各种技巧，并了解定义求导数的方法。了解可导和连续的关系。 解法：
a.一元微分是十分简单的。二元以上的微分，要用链式求导，可能会很繁琐，但要做到滴水不漏。另外，学会换元的方法。
b.对于求最值的题目，首先试试初等方法，不行就用Lagrange乘子法。
c.熟练掌握三种中值定理。遇到证明不等式，就想办法往这三个中值定理靠，构造辅助函数。实在不行，就构造f(x)=左边,g(x)=右边。证明f(x)-g(x)递增或者递减，然后再取边界的情况讨论一下。
d.熟练掌握L’Hospital法则，注意它和Cauchy中值定理的联系。注意它的条件必须要导函数连续。 c.有些题目可以不用L’Hospital，直接用Taylor级数代余项的展开。可能更为简洁。
(5)积分
重点：熟练不定积分。和多元微积分的各种方法。了解积分中值定理.
解法：
a.一元微积分比较简单。多元微积分，强调技巧。熟练掌握包括换元、 Green（Stokes）定理、Gauss公式。并且注意，使用他们要求有闭曲线，或者封闭曲面。如果没有封闭的面记得要补上那部分.
b.含参变量的积分，掌握莱布尼兹求导公式，剩下的就是求导的各种技巧了。
<1>I(a)=f(a);<2>I’(a)=f(a)I(a)<3>题目里面没有要求求出函数解析式，只要求一些特殊的值。找到I(x0),I’(x0) 的关系，同<2>具体参见试题。
c.积分不等式：积分中值定理或者利用求导的方法证明，基本同前面的导数的情况。 d.学会利用级数展开的方法求积分，并了解一些特殊的定积分的值。
e.了解绝对收敛和相对收敛的区别。
(6)一致连续和一致收敛
重点：充分了解一致收敛的含义。
解法：
a.大部分题目会和积分或者求和联系起来，首先证明（内闭）一致收敛，然后用定义证明，将积分区间分成两部分，分别趋近于不同的极限.
b.证明函数组一致收敛：AD判别法（注意还有关于积分的AD判别法，参见陈传璋的版本，归根到底就是Abel求和公式和分部积分法），或者按照定义作。可能要分成几个区间，注意这一点，此时是证明对于任意的e，在这几个区间中寻找最小的d，使得差小于e。而不是证明分别在这几个区间中，一致收敛。
c.证明函数组不是一致收敛的。得到一个数列{xn}，如果fn(xn)不趋近于f(x)的话就不是一致收敛的。
d.逐项求导和逐项积分要求一致收敛（内闭一致收敛也可以）。由于积分和求导都是极限的运算，这就是所谓的极限互相穿越的意思。
掌握一定量的题型，对于一些题目，直接知道用什么方法做。有些题目没有头绪的时候，可先尝试找反例，然后想想为什么反例不成功，从中可以的得到不少的启发。还有要充分了解函数的各种性质。做题的时候脑子里要有函数图像。另外，充分了解定义，特别是一致收敛。了解为什么有时候一致收敛才有题目的结论，如果条件收敛，是不是也有这样的条件。多想几次就有了深刻的了解。遇到不清楚的地方赶快看书，多看几遍书对于理解题目是非常有用的。再有，尽可能多地参考一些书籍会使你开阔眼界，增长知识，加深理解。每个人有不同的风格。不同的切入角度，会使你有时候读一些问题豁然开朗。
7.学会利用参考书
尽可能多地参考一些书籍会使你开阔眼界，增长知识，加深理解。每个作者有不同的风格，不同的切入角度，学会利用参考书会使你对一些问题豁然开朗。
看参考书有两种方式，其一是通读某一本书，不过大家往往没有太多的时间去通读教材之外的书。所以我建议大家采用第二种方法：以问题为中心，有选择地读参考书，具体地说就是：如果你对数学分析中的某一部分，或者某个问题有兴趣，希望多了解一些，作比较深入的研究，那么可以查阅几本书，看一看其他书上对这个问题是怎样论述的，在学习的基础上，自己可以做一个小结，在是自学的重要方式。好的辅导书对于帮助自己学习数学分析也是有用的，但是使用辅导书要注意方法，不要仅仅停留于逐个地看例题，看得懂不等于会做，想到思路不等于做得完全正确。如果你想扎扎实实地提高解题能力，就要认真地、独立地解题，通过自己动脑动手体会解题的思路、方法和技巧。
最后，就是平时没有事的时候多想想，想想一些定理，自己想不同的方法证明。想想如果没有其中的某些条件，定理是否仍然成立。
总之，掌握了一定方法，再加上自己的努力，必能学好数学分析这门课，为后继课程的学习打下扎实的基础。
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