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方差与标准差教学方案
一.教学目标
1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.
2.掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.
3.经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.
二.要点梳理
1.我们知道极差只能反映一组数据中两个 之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.
2.描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的 ，再求这组数据与 的差的 的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小
3.设在一组数据X1，X2，X3，X4，XN中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(X1- )2，(X2- )2，(X3- )2，，(Xn- )2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= .
4.一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的 。
5.方差是描述一组数据 的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差 说明数据越稳定，
6.为什么要这样定义方差?
7.为什么要除以数据的个数n?
8.标准差与方差的区别和联系?
三.问题探究
知识点1. 探究计算数据方差和标准差的必要性
例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下(单位：mm)
A厂： 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1
B厂： 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.9 ，40.1 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2
思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差?
2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗?
3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗?
直径/mm 直径/mm
A厂 B厂
知识点2.如何计算一组数据的方差和标准差
例2.在一组数据中x1、x2、x3xn中，它们与平均数的差的平方是(x1- )2, (x2- )2 , (x3- )2 , , (xn- )2 .我们用它们的平均数，即用S2=1N [(x1- )2+(x2- )2 +(x3- )2+(xn- )2 ]来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的 .
在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差.
【变式】甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是：
甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4
乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好?
知识点3.
例3.已知，一组数据x1,x2,，xn的平均数是10，方差是2，
①数据x1+3,x2+3,，xn+3的平均数是 方差是 ，
②数据2x1,2x2,，2xn的平均数是 方差是 ，
③数据2x1+3,2x2+3,，2xn+3的平均数是 方差是 ，
你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗?
四.课堂操练
1、一组数据： ， ，0， ，1的平均数是0，则 = .方差 .
2、如果样本方差 ，
那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .
3、已知 的平均数 10，方差 3，则 的平均数为 ，方差为 .
4、样本方差的作用是 ( )
A、估计总体的平均水平 B、表示样本的平均水平
C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
5、小明和小兵10次100m跑测试的成绩(单位：s)如下： ( )
小明：14.8 , 15.5 , 13.9 , 14.4 , 14.1 , 14.7 , 15.0 , 14.2 , 14.9 , 14.5
小兵：14.3 , 15.1 ，15.0 ，13.2 ，14.2 ，14.3 , 13.5 , 16.1 , 14.4 , 14.8
如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛?
6、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和1.2。设问射击成绩较为稳定的是谁?
五.课外拓展
一、填空题
1、随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是 .
2、样本数据3，6， , 4，2的平均数是3，则这个样本的方差是 .
3、 数据 , , ， 的平均数为 ，标准差为5，那么各个数据与 之差的平方和为_________.
4、 已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________ ，标准差为_______ 。
5、已知一组数据-1、x、0、1、-2的平均数为0，那么这组数据的方差是 。
6、若一组数据的方差是1，则这组数据的标准差是 。若另一组数据的标准差是2，则方差是 。
7、一组数据的方差是0，这组数据的特点是 ;方差能为负数吗?
二、选择题
8、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲2=2.4，S乙2=3.2，则射击稳定性是( )
A.甲高 B.乙高 C.两人一样多 D.不能确定
9、若一组数据 ， ，， 的方差是5，则一组新数据 ， ，， 的方差是 ( )
A.5 B.10 C.20 D.50
10.在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 ( )
A.平均状态 B.分布规律 C.离散程度 D.数值大小
11、已知甲、乙两组数据的平均数分别是 ， ，方差分别是 ， ，比较这两组数据，下列说法正确的是 ( )
A.甲组数据较好 B.乙组数据较好 C.甲组数据的极差较大 D.乙组数据的波动较小
12、下列说法正确的是 ( )
A.两组数据的极差相等，则方差也相等 B.数据的方差越大，说明数据的波动越小
C.数据的标准差越小，说明数据越稳定 D.数据的平均数越大，则数据的方差越大
13、对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得; 甲= 乙，S2甲=0.025,S2乙=0.026,下列说法正确的是 ( )
A、甲短跑成绩比乙好 B、乙短跑成绩比甲好
C、甲比乙短跑成绩稳定 D、乙比甲短跑成绩稳定
14、数据70、71、72、73、74的标准差是 ( )
A、 B、2 C、 D、
三、解答题(每题10分，共30分)
16、若一组数据 , ， , 的平均数是2，方差为9，则数据 ， ，， 的平均数和标准差各是多少?
17、在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行五轮比赛，每轮各投10个球，他们每轮投中的球数如下表：
轮次 一 二 三 四 五
甲投中(个) 6 8 7 5 9
乙投中(个) 7 8 6 7 7
(1)甲在五轮比赛中投中球数的平均数是 ，方差是 ;
(2)乙在五轮比赛中投中球数的平均数是 ，方差是 ;
(3)通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些
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