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约数和倍数的意义数学教案设计
一、教法建议
【抛砖引玉】
通过本单元的教学要使学生掌握整除、约数、倍数、质数、合数、质因数、公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数等概念；知道有关概念之间的联系和区别，能够有条理、有根据地进行思考；能使学生掌握能被2、5、3整除的数的特征；会分解质因数；会求最大公约数（两个数）和最小公倍数，数学教案－约数和倍数的意义。
（一）教学整除的概念
因为整除这部分知识，学生在第八册教材中已接触过，因此在教学整除的概念时要注意抓住三点。
1.复习“整除”的意义。
例如：你能说出整除的含义吗？下面哪个算式的第一个数能被第二个数整除？
23÷7=3……2 6÷5=1.2
15÷3=5 24÷2=12
2.用定义的形式对“整除”加以概括，并用字母表示。
两个数相除，如果用字母表示，可以这样说：整数a除以整数b (b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也就可以说b能整除a）。
3.突出强调除数不有是0。
（二）教学约数和倍数的概念
约数和倍数的概念是本单元最基本的概念，教学时要抓住五点。
1.通过“整除”引出“约数”和“倍数”的概念后，加以概括。
例如：15÷3=5，15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数。
如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
2.要强调倍数和约数是一对密不可分的概念。它们是互相依存的关系。
3.要掌握求一个数的“约数”和“倍数”的方法，并掌握其各自的特征。
在掌握一个数的约数和倍数求法的基础上，重点说明其特征：
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
可讨论一下为什么？
4.强调一个数既可以是另一个数的约数，又可以是其它数的倍数。
如：12既是60的约数，又是6的倍数。
5.要重点处理好0的问题。
根据约数和倍数的概念，0是任何自然数的倍数，任何自然数都是0的约数。但研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，是把0除外的，所以要着重指出在后面研究的内容里不包括0，这样可以减少不必要的麻烦。
（三）教学能被2、5、3整除的数的特征主要把握以下四点
1.通过观察、引导，掌握能被2、5、3整除的数的特征。
2.能根据特征进行判断。
3.通过能被2整除的特征，引出奇数和偶数的概念。
能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
4.深化知识，沟通知识之间的联系。
(1)在□中填上几符合要求。
5□，能被2整除又能被3整除。
1□0，能被2、3、5同时整除。
(2)能被9整除的数，能否一定被3整除？为什么？
（四）教学质数、合数、分解质因数要抓住四点
1.通过对每个数的约数的个数及特点进行分类，引出质数、合数的概念。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）。
如：2、3、5、7、11都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
如：4、6、8、9、10、12都是合数。
2.重点说明“1”既不是质数，也不是合数。
3.能利用质数与合数的概念，判断一个数是质数还是合数。
如：下面哪些数是质数？哪些数是合数？
19、21、43、67、2、89
4.掌握质因数、分解质因数的概念和分解质因数的方法。
(1)每个合数教可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
如：60=2×2×3×5，2、2、3、5都是60的质因数。
(2)把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
(3)通常用短除法来分解质因数，这样比较简便。
12、15和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。
求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
【学法指要】
1.三个连续自然数的乘积为什么一定是6的倍数？
思路分析：因为任意三个连续自然数里，至少有一个是2的倍数和一个是3的倍数，而2的倍数与3的倍数的乘积，就必然是6的倍数。
2.书架上有96本科技读物，如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，要求每次拿走的本数同样多，而且正好取光，问共有多少种拿法？
思路分析：通过读题，便可理解题目的意思，就是求96的约数的个数是多少，而题目告诉我们如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，实际是要我们把1和96这两个约数扣除才是要求的答案。
96的约数的个数：（5＋1）×（1＋1）=12（个）
扣除约数1和96，则约数的个数是：12－2=10（个）
答：共有10种拿法。
3.在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的数，共有多少个？
思路分析：在1～100的自然数中，把有约数2的数、有约数3的数、有约数5的数扣除，就是要求的答案的个数。
在1～100的自然数中，
有约数2的数有：100÷2=50（个）
有约数3的数有：100÷3=33（个）……1
有约数5的数有：100÷5=20（个）
有约数2、3的数有：100÷（2×3）=16（个）……4
有约数3、5的数有：100÷（3×5）=6（个）……10
有约数2、5的数有：100÷（2×5）=10（个）
有约数2、3、5的数有：100÷（2×3×5）=3（个）……10
解：在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的自然数共有：100－[(50＋33＋20)－(16＋10＋6)＋3]=26（个）
4.用0、2、4、5、7组成一个五位数，使这个数是除以5余4的最小的五位数。
思路分析：用0、2、4、5、7组成的五位数有很多，如24570、24507、24057、20457……满足最小五位数这个条件的最高位上的数字必须是最小 的那个数字，而这五个数字其中最小的那个数字是0，0在这五位数中不能排首位，所以只能把2排在最高位打头。题目的要求是最小的五位数，千位上的数字必须是0，百位上是5，十位上是7，个位上是4。那么为什么百位上不是4呢？因为题目的要求是除以5余4。所以百位上的数字不能是4，只能把4放在个位上。
解：用0、2、4、5、7组成的一个五位数，使这个数除以5余4，还须是最小的五位数，那只能是20574。
5.一个长方体的3个侧面积分别为s1=20平方厘米，s2=15平方厘米，s3=12平方厘米。求这个长方体的体积是多少？
思路分析：根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面都是相对的两个面的面积相等。但是已知的3个面的面积都不相等，我们就可以推出：已知的3个面一定相交于一个顶点。这样，我们就可以画出这个长方体的图。
然后把已知条件都标在图上，假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，s1=ab=20，s2=ac=15，s3=bc=12（如图所示）。求这个长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。但是长、宽、高都没直接给出。不过，长、宽、高这三个数中，每两个数的乘积我们都知道，如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数之积。我们仔细分析：ab×ac×bc，根据乘法的交换律和结合律，可以变换为(abc)×(abc)。如果我们能把3个侧面积的积，分成两个相同的数的乘积，问题就可以迎刃而解。abc就是长方形的体积。那么3个侧面积的乘积怎样分成两个相同的数相乘呢？把这几个相乘的数分解质因数。
解： 20×15×12
=2×2×5×3×5×3×2×2
=(2×2×3×5)×(2×2×3×5)
=60×60
∴abc=60
答：这个长方体的体积是60立方厘米。
【思维体操】
1.有甲、乙两数，它们的最大公约数是6，最小公倍数是72，求甲、乙二数。
解法一： 72=2×2×2×3×3
=2×2×(2×3)×3
=4×6×3
4×6=24
6×3=18
答：甲、乙二数分别是24和18。
解法二： 72÷6=12
12=2×2×3
因为，2与6(2×3=6)不是互质数，所以，只有4(2×2=4)与3才是互质数。
6×4=24
6×3=18
答：甲、乙二数分别是24和18。
评析：解法一把甲、乙二数的最小公倍数分解质因数，从这个质因数连乘式中找出它们的最大公约数，再组成一个连乘式。这个连乘式中除去有它们的最大公约数外，必须有两个互质数。用这两个互质数分别乘以它们的最大公约数，就可以求出这两个数。
解法二用甲、乙二数的最小公倍数除以它们的最大公约数，所得的商必是甲、乙二数取出最大公约数后，所剩下的两个互质数的积。因此，把所求得的商再分解因数，并搭配成两个互质数，最后用这两个互质数分别乘以它们的最大公约数，就可以求出这两个数了。这两种解法各有千秋，一般采取第一种解法的比较多。
2.从1＋2＋3＋……＋1991所得的和是奇数还是偶数？
解法一：求出它们的和是多少？
=1983036
所以它们的和是偶数。
解法二：从1到1991的数中，偶数有1990÷2=995（个），其和为偶数；有995＋1=996（个）奇数，其和为偶数。因为两个偶数的和一定是偶数。所以，1＋2＋3＋……＋1990＋1991的和是偶数。
评析：解法一是先确定其和是奇数还是偶数，根据求连续自然数和公式，求出它们的和，然后知道和是偶数。解法二是先确定从1到1991这1991个自然数中奇数的个数和偶数的个数，然后根据自然数中任意几个偶数的和还是偶数，单数个奇数的和仍为奇数，双数个奇数的和为偶数这一特征，来确定其和是奇数还是偶数。
这两种解法，第一种是采用计算的方法比较麻烦，我们提倡第二种方法，它是根据这一列数的特征，按奇、偶数排列，来找出答案的。
3.在1、2、4、6、12、24、36、48中，哪些数是24的约数？哪些数是3的倍数？
分析：由于题目给出了有限的几个数，所以在思考24的约数以及它的倍数时，只能从题目中的已知的这几个数中选择。这比写出某个数的全部约数或指某数的几个倍数的题目，有一定难度。
解答：本题24的约数有1、2、4、6、12、24，24的倍数有24、48两个。
4.从小到大写出10个有约数11的数。
分析：由于某数有约数11，说明某数能被11整除。某数有约数11，实质上某数是11的倍数，所以只要从小到大写出11的倍数即可。
解答：从小到大10个有约数11有数是11、22、33、44、55、66、77、88、99。
5.既有约数2，又有约数3的50以内最大数是几？
分析：解答时首先要理解题意，同时要注意得数的范围。
解答：既有约数2，又有约数3的最小数是6，50以内6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48。其中最大的数是48，因此48就是本题的答案。
6.三个连续自然数的乘积为什么一定是6的倍数？
分析：因为任意三个连续自然数时，至少有一个是2的倍数和3的倍数，而2的倍数与3的倍数的乘积，必须是6的倍数。
7.在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的数，共有多少个？
分析：在1～100的自然数中，把有约数2的数，有约数3的数、有约数5的数扣除，就是问题所求。所以解这道题时先分别求出1～100的自然数中有约数2、3、5数的个数。
解答：在1～100的自然数中：
有约数2的数有：100÷2=50(个)
有约数3的数有：100÷3=33(个)……1
有约数2、3的数有：100÷(2×3)=16(个)……4
有约数2、5的数有：100÷(2×5)=10(个)
有约数3、5的数有：100÷(3×5)=6(个)……10
有约数2、3、5的数有：100÷(2×3×5)=3(个)……10
在1～100的自然数中，既没有2的约数，又没有3的约数，还没有5的约数的自然数共有：
100－[(50+33+20)－(16+10+6)+3]=26(个)
三、智能显示
【心中有数】
（一）本单元学习的主要内容
（二）请你考考自己
选择题，小学数学教案《数学教案－约数和倍数的意义》。把正确答案的字母填入括号内。
(1)第一个数能被第二个数整除的是（）。
(A) 15和2 (B) 3和8 (C) 1.5和5 (D) 24和6
(2)两个奇数的和是（ ）。
(A)质数 (B)合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)可能是质数、1或者合数
(3)两个数的（ ）个数是有限的。
(A)公约数 (B)公倍数 (C)最大公约数 (D)最小公倍数
(4)在自然数中，凡是7的倍数（ ）。
(A)都是偶数 (B)都是奇数 (C)都是质数 (D)可能是奇数，也可能是偶数
(5)如果a÷b=5，那么（ ）。
(A) a一定能整除b (B) a可能整除b
(C) b一定是a的约数 (D) b可能是a的约数
(6)甲数=2×3×5×a，乙数=2×3×7×a，当a=（ ）时，甲、乙两数的最大公约数是30。
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7
【动脑动手】
1.奶奶家有一个天达牌电子表，每起24分钟亮一次灯，每到整点钟响一次铃。早晨6点时，这个电子表既响铃又亮灯。那么，下一次既响铃又亮灯时是几点钟？
2. 6与哪个数的最大公约数为3，而最小公倍数为30。
3.为迎接30年大庆少先队员跳集体舞，不论每列4人、5人或6人，都能排成一个长方形队伍而无剩余，问少先队员至少有多少人？如果人数在150到200之间，那么少先队员有多少人？
参考答案：
1.思路分析：因为这个电子表6点整的时候既响铃又亮灯，又因为它每走24分钟亮一次灯，所以从6点钟起电子表走的分钟是24分钟亮一次，只要是24分钟的倍数电子表都会亮灯。也就是说，下一次既响铃又亮灯时，电子表所走的分钟数一定是24的倍数。同样道理，因为电子钟每到整点钟响一次铃，即电子表每走60分钟响一次铃。那么下一次既响铃又亮灯时，电子表所走的分钟数也一定是60的倍数。所以下一次既响铃又亮为时，电子表所起的分钟数一定是24和60的公倍数，而且是它们的最小公倍数。
解：(1)求24和60的最小公倍数。
[24，60]=120
(2)计算走了几个小时。
120÷60=2（小时）
(3)计算下一次既响铃又亮灯时是几点钟。
6＋2=8（点）
答：下一次既响铃又亮灯时是上午8点钟。
2.思路分析：因为两数的乘积等于这两数的最大公约数与最小公倍数的乘积。
解：设所求的数是a，则6a=3×30，a=15，所以所求的数是15。
3.思路分析：根据题意可知，少先队员人数分别能被4、5、6整除，所以人数是4、5、6的公倍数，题目要求至少有多少人，因此要求4、5、6的最小公倍数。
解：[4、5、6]=60（人）
答：少先队员至少有60人。
60×3=180（人）
答：如果少先队员在150至200之间，那么少先队员有180人。
【创新园地】
1.兔子出生两个月后就能生一对小兔，这一对小兔两个月后又能生一对小兔。如果年初养了初生的一对小兔，一年后共有几对兔子（不考虑意外死亡）？
2.有近3米长绳子，把它分别剪成长6厘米、8厘米或9厘米的短绳，结果都剩下3厘米，求绳长。
3.有一张长为105厘米、宽为75厘米的大纸，裁成大小相同的小正方形纸，要求无多余。问至少可裁多少张？
4.体育室有96根跳绳，如果不是一次拿走，也不是一根一根地拿走，要求每次拿走的根数同样多，而且正好取光，问共有多少拿法？
参考答案：
1.年初的一至兔子，到3月份生一对；到两个月后的5月份，年初的一对兔子和3月份生的一对兔子，2对兔子生2对；到7月份，4对兔子生4对；到9月份8对兔子生8对；到11月份16对兔子生16对；到第二年的1月正好一年，就有32对兔子生32对。
解：1＋1＋2＋4＋8＋16＋32=64（对）
答：一年后共有64对兔子。
2.解：[6、8、9]=72
72×4＋3=291（厘米）=2米91厘米
答：绳长2米91厘米。
3.解：（105、75）=15
（105÷15）×（75÷15）=35（张）
答：至少可裁35张。
4.分析：根据题意求共有多少种拿法？与96的约数的个数有密切的关系。题中告诉我们如果不一次拿走，也不是一根一根地拿走。显然问题所求就是求96的所有约数个数去掉1和96这两个约数的个数的差。
解：96的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96共12个。
12－1－1=10(个)
答：共有10种拿法。
【同步题库】
1.先口算，然后对符合整除意义的式子后面的括号里画“√”，对不符合整除意义的在括号里画“×”。
93÷3= ( ) 19÷2= ( )
3.5÷5= ( ) 4÷4= ( )
7.4÷3.7= ( ) 4÷0.8= ( )
2.填空
(1)在20、4.8、92、、0、0.3、111、1中，( )是自然数，( )是整数。
(2)写出小于9的所有自然数( )；比5小而又不小于0的整数有( )。
(3) 29的约数有( )；36的约数有( )。
(4)在30～50中6的倍数有( )。
3.判断下面各题，对的画“√”，错的画“×”。
(1)凡是能够除尽的一定能够整除。 ( )
(2)自然数和零都是整数。 ( )
(3)一个数的倍数都比它的约数大。 ( )
(4)1是所有自然数的约数。 ( )
(5)任何一个数都有约数。 ( )
4.下面的每组数中，哪一个数是另一个数的倍数，哪个数是另一个数的约数。
180和60 36和36 19和133
5.把正确的答案填在括号里。
(1)最小的一位数是( )
①0 ②0.1 ③1
(2)一棵桃树上结了桃，表示桃的个数是( )。
①整数 ②分数 ③小数 ④自然数
(3)下面三种说法正确的是( )
已知a能整除7，那么a是( )
①14 ②必定是7 ③是1或7。
(4) 73是73的( )。
①约数 ②倍数 ③约数也是倍数
6.在下面的圈内填上适当的数
16的约数 30以内的8的倍数 91的约数
7.下图左图里的数能被右图里的哪些数整除？用直线连线来。
8.既有约数5，又是2的倍数的最小三位数几？
9.100以内除以2或除以5有余数的数一共有多少个？
10.数a是60的约数，又是15的倍数，数a可能是几？
11.根据已知条件，求出a、b的值。
(1)已知：a÷b=3.5,a÷b=3……7
求：a=( )；b=( )
(2)a÷b=3,a－b=16
a=( ),b=( )
12.在( )里填上最小的自然数。
【参考答案】
1.(√) 2.(×)
(×) (√)
(×) (×)
2.(1)(20、92、111、1)是自然数，(20、92、111、1、0)是整数。
(2)小于9的自然数有(8、7、6、5、4、3、2、1)；比5小而又不小于0的整数有(4、3、2、1、0)
(3)29的约数有(1、29)；36的约数有(1、2、3、4、6、9、12、18、36)
(4)30～50中6的倍数有(30、36、42、48)
3.判断题
(1)(×)(2)(√)(3)(×)(4)(√)(5)(×)
4.180是60的倍数，60是180的约数；36是36的倍数，36是36的约数；19是133的约数，133是19的倍数。
5.选择题
(1)最小的一位数是(1)
(2)表示桃的个数是(自然数)
(3)那么a是(1或者7)
(4)73是73的(约数也是倍数)
6.略 7.略
8.既有约数5，又是2的倍数的最小数是10，10的倍数中最小的三位数是100，所以，既有约数5，又是2的倍数的最小三位数是100。
9.这道题只要求出除以2或除以5没有余数的数有多少个，再用100减去这个数即可。
除以2没有余数的数有100÷2=50(个)，除以5没有余数的数有100÷5=20(个)，其中除以2除以5都没有余数有100÷(5×2)=10(个)，它们每10个数中出现一次。于是100以内除以2整除以5没有余数的共有50+20－10=60(个)。那么100以内除以2或除以5有余数的数就应该有：
100－60=40(个)
10.数a可能是15、30、45、60。
11.(1)a÷b=3.5得知a是b的3.5倍，a÷b=3……7，可知a比b的3倍多7，而b的3.5倍又比它的3倍多0.5倍，0.5倍与7相对应，可以求b
b=7÷(3.5－3)=14,a=14×3.5=49
(2)a÷b=3,得知a是b的3倍，又知a－b=16，也就是a比b多16，此题是差倍问题。先求b，再求a。
b是16÷(3－1)=16÷2=8
a是8×3=24
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