构造解析几何模型巧解最值

构造解析几何模型巧解最值

　　构造是一种重要的数学思想，它是创造力、想象力的较高表现形式.本文就结合一类求最值问题构造解析几何模型，以展现构造的巧妙之处.

　　【例1】 求f(α，β)=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2的最大值和最小值.

　　解:将设w=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2，则将w构造为动点P(cosα，sinα+5)与动点Q(5cosβ，2sinβ)的距离，又点P的轨迹为⊙A:x2+(y-5)2=1，点Q的轨迹为椭圆E:x225+y24=1，从而w可构造为圆⊙A上的点与椭圆E上的点之间的距离.

　　图1

　　设椭圆上任意一点M(x，y)，则|MA|=x2+(y-5)2.

　　由x225+y24=1可得x2=25(1-y24)，其中y∈[-2，2]，

　　∴|MA|=25(1-y24)+(y-5)2=-21y24-10y+50=-214(y+2021)2+115021(y∈[-2，2]).

　　显然，当y=-2021时，|MA|?max=115021，当y=2时，|MA|?min=3.

　　所以，w?max=(115021+1)2，w?min=(3-1)2=4.

　　【例2】 已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a，b间的等量关系;(2)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时⊙P的方程.

　　解:(1)连接OP，因Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.

　　图2

　　又|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，

　　即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2，

　　化简得实数a，b间的等量关系为:2a+b-3=0.

　　(2)由(1)知将动点P构造为直线L:2x+y-3=0上的动点，显然直线L与⊙O是相离关系.

　　这样要使以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点且半径取最小，

　　只需OP⊥L于P且⊙P与⊙O外切时满足条件.

　　此时直线OP的方程为:y=12x，即x-2y=0.

　　由方程组2x+y-3=0，x-2y=0得x=65，y=35.

　　即满足条件的圆P的`圆心为(65，35).

　　此时|OP|=|2×0+0-3|5=355，

　　∴R?min=|OP|-1=355-1.

　　∴满足条件的圆P的方程为:(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.

　　【例3】 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线L:x-2y=0

　　的距离最小的圆的方程.

　　图3-1

　　解:设圆的圆心为P(x，y)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|y|、|x|.

　　∵题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，

　　∴圆P截x轴的弦长为2r，故r2=2y2.

　　又∵圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=x2+1，从而得2y2-x2=1.

　　∴将动圆圆心P构造为双曲线E:2y2-x2=1上的动点，这样只需要求出双曲线E到直线L的距离的最小值.

　　设与直线L平行的且与双曲线E相切的直线L?1的方程为:x-2y+c=0，

　　由2y2-x2=1，x-2y+c=0，消去x得2y2-4cy+1+c2=0，

　　∴Δ=16c2-8(1+c2)=0.

　　∴c=±1.

　　当c=1时，x=1，y=1，此时r2=2y2=2;

　　当c=-1时，x=-1，y=-1，此时r2=2y2=2.

　　∴所求圆的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

　　【例4】 若函数f(x)=k+2+x存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上值域是[a，b]，求k的最大值.

　　图4

　　解:显然函数f(x)在定义域内单调递增，

　　∴由题意可得

　　a=k+2+a，b=k+2+b.

　　故a、b是方程x=k+2+x，即方程x+k+2=x