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圆锥曲线的性质及推广应用
在我们现行使用的高中数学教材中,圆与圆锥曲线是分两个章节进行教学的.但我们知道事实上圆可看作当e=0时的特殊的椭圆,从圆锥曲线是平面截圆锥曲面所得的交线这个角度看,圆与圆锥曲线也应该是同一家族的一个成员.它们应该有某种内在"血缘关系",应该有很多共性值得我们关注与重视.本人在平时教学中发现圆的很多性质能够在圆锥曲线中进行很好的推广与应用. 下面小编为大家带来了关于圆锥曲线的性质及推广应用的论文。
摘要：在高中阶段，学生对圆锥曲线性质的掌握及应用，是现今我国高考数学的考查重点。作为高中数学教师，我们要积极探究圆锥曲线在解析几何下的分类，然后利用这些平面解析几何的知识以及数形结合的数学思考模式，对圆锥曲线的基本性质及推广应用进行总结、证明，并将其应用于对学生的解题教学中。
关键词：高中数学;圆锥曲线;性质;推广;应用;解题
圆锥曲线是解析几何的重要内容，其对于几何问题的研究却是利用代数的解题方法。而且，对于高中生来说，圆锥曲线的性质掌握及其推广应用是目前我国高考数学的重点考查内容。从更深层次来讲，加强对于圆锥曲线分类与性质的研究，在一定程度上可以帮助学生打开解题思路、提高解题技巧，同时培养学生以数学思维能力、创新能力为代表的综合能力。
因此，为了使学生能够更好地掌握圆锥曲线的性质及其的推广应用，且进一步提高学生的数学学习素质，作为高中数学教师的我们，就要积极探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，注重对学生圆锥曲线性质及其推广应用的教学。
一、 圆锥曲线的定义
对于圆锥曲线在解析几何下的分类及性质的研究前提，是对于圆锥曲线定义的了解及掌握。本文，笔者从三个方面介绍圆锥曲线的定义。
1、 从几何的观点出发。
我们说，如果用一个平面去截取另一个平面，然后两个平面的交线就是我们所要研究的圆锥曲线。严格来讲，圆锥曲线包含许多情况的退化，由于学生对于数学知识学习的局限性，对于圆锥曲线的教学，我们通常包含椭圆、双曲线和抛物线，这三类的知识内容。
2、 从代数的观点出发。
在直角坐标系中，对于圆锥曲线的定义就是二元二次方程 的图像。高中生在其的学习中，可以根据其判别式△的不同，分为椭圆、双曲线、抛物线以及其他几种退化情形。
3、 从焦点-准线的观点出发。
在平面中有一个点，一条确定的直线与一个正实常数e，那么所有到点与直线的距离之比都为e的点，所形成的图像就是圆锥曲线。
学生在具体的圆锥曲线学习中可以了解到，如果e的取值不同，这些点所形成的具体的图像也不同。
(1) 如果e的取值为1，那么那些点所形成的圆锥曲线是一条抛物线;
(2) 如果e的取值在0到1之间，那么圆锥曲线就为椭圆;
(3) 如果e的取值大于1，那么圆锥曲线就为双曲线。
但是，严格来说，在数学的研究领域，这种焦点-准线的观点是只能定义圆锥曲线的几种的主要情形的，是不能算作为圆锥曲线的定义。但是，在对于学生的圆锥曲线教学中，这种定义被广泛使用，并且，其也能引导出许多圆锥曲线中的重要的性质、概念的。
二、 圆锥曲线的分类
1、 椭圆。
椭圆上的任意一个点到某个焦点与一条确定的直线的距离之比都是一个大于0且小于1的实常数e，而且这个点到两个焦点的距离和为2a。一般情况下，我们称这条确定的直线为椭圆的准线，e就是我们经常说的椭圆的离心率。
2、 双曲线。
双曲线上的任意一点到其焦点与一条确定直线的距离之间为一个大于1的实常数e。同样的，这条确定直线也是一条准线，其为双曲线的准线，e为双曲线的离心率。
3、 抛物线。
抛物线上的任意一点到其定点与一条确定直线的距离之比等于1。同样地，这条确定的直线为抛物线的准线。
三、 圆锥曲线的基本性质
1、 椭圆的基本性质。
在高中对于圆锥曲线的学习，通常包含两个定义和三个基本定理。
定义1 即椭圆的定义，课本上是这样表述的：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于实常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆。简单地用公式来表达，就是|PF1|+|PF2|=2a。
定义2 即椭圆的第二定义，关于椭圆的准线方程及其离心率。
动点P(x，y)与定点F(-c，0)，即椭圆的焦点的距离和它到确定直线 的距离的比为实常数 (a>c>0)时，那么P点的轨迹即为椭圆。简单来说，即到定点确定直线的距离的比等于定值e(0 定理1 假设AB是椭圆的右焦点弦，准线与x轴的交点为M，则∠ABM小于 。
定理2 假设椭圆 与一过焦点的直线交于A(x1，y2)，B(x2，y2)两点，则AB就被称为椭圆的弦，并且有|AB|的值等于 │ │。
定理3 假设椭圆 与一过焦点且垂直于长轴F1F2的直线交于A，B两点，那么我们把AB称为通径，并且有|AB|的值等于 。
2、 双曲线的基本性质。
对于圆锥曲线中双曲线的学习，在高中阶段，学生对其需主要掌握两个定义及基本定理。
定义1 平面内动点P与两个定点F1，F2的距离差的绝对值为一个确定常数，P的运动轨迹就叫做双曲线。即||PF1|-|PF2||=2a，标准方程为 。这两个定点就是我们常说的，双曲线的焦点。两焦点之间的距离为双曲线的焦距，通常我们把|F1F2|记为2c。
定义2 双曲线的第二定义，也是关于其准线方程及离心率的。
动点P(x，y)与定点F(-c，0)的距离和它到确定直线 的距离的比是常数 (a>c>0)时，P点的运动轨迹即为双曲线。简单的说，到定点与到确定直线的距离比等于一个定值e (e>1)的点的集合所形成的的图像就是双曲线。我们把定值 (e>1)，叫做椭圆的离心率。确定直线为准线，方程是 。
定理1 渐近线是双曲线特有的性质，渐近线可以与双曲线无限接近，但这两者却永不会相交，当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的渐近线方程是 ;而当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的渐近线方程是 。 定理2 当实轴长与虚轴长相等时，即2a=2b，此时双曲线被称为等轴双曲线，它的渐近线方程就为 ，而标准方程是x2-y2=C，其中C≠0;离心率 。