初等数论教学中类比法的应用

时间：2022-10-05 18:41:44 数学毕业论文我要投稿

初等数论教学中类比法的应用

　　初等数论教学中类比法的应用

初等数论教学中类比法的应用

　　摘要：本文以初等数论课程教学活动的开展为研究对象，着眼于对类比法教学方式的应用，结合初等数论教学案例，分析了类比法这一教学手段在教学实践中的开展情况及其特殊优势，旨在为类比法进一步应用于初等数论教学过程，提供一定的参考与帮助。

　　关键词：初等数论教学类比法应用分析

　　类比法作为一种有效的教学方法，其最为突出的优势在于，能够引导学生将不同的对象联系起来，从而达到加深学生对相关知识点认知与理解程度的目的。将其应用于初等数论教学中，不但有助于提高学生对相关知识点的掌握程度，同时还有助于形成良好的数学思维。本文试结合教学实践案例，对其做详细分析。

　　1 类比法应用于最大公因数教学

　　教师首先需要针对此项教学内容的课时进行细致安排，确保学生能够充分认识到有关“最大公因数”知识点的基本内容。在此基础之上，从基本概念、性质、计算方式以及特征等多个方面入手，以类比法为主要手段，引导学生自主认识到有关“最小公倍数”知识点的基本内容。

　　教师应用类比法分析“最大公因数”知识点的过程中，可按照如下方式实施：

　　第一步：分析“最大公因数”基本定义：即对于整数a1，a2，…，an而言，与之相对应的公共因数可以定义为a1，a2，…，an的公因数。与此同时，对于不全为零的整数b1，b2，…，bn而言，其所有公因数当中，数值最大的公因数可定义为整数中的最大公因数。

　　其具体的表达方式应当为：(b1，b2，…，bn)。同时，对于非零整数而言，与之相对应的因数个数是有限集。因此可以证实：最大公因数(b1，b2，…，bn)是实际存在，且为正整数。

　　第二步：研究“最大公因数”基本定理：即对于任何整数集a1，a2，…，an而言，满足如下等式：(1)：(a1，a2，…，an)=(|a1|，|a2|，…，|an|);同时也满足(2)：(a，1)=1;(a，0)=(a，a)=|a|。同时，(a，b)=(b，a)。

　　在此基础之上，若定义x，y，z当中，x为整数，y为素数，那么对于(y，x)而言，合理的取值结果可以分为两种情况：(1)是(y，x)=1;(2)是(y，x)=y|x。在此基础之上，若进一步应用类比法，定义a取值为(by+z)，那么可以推断得出：(a，b)=(b，z)。

　　第三步：引导学生自主展开对“最大公因数”相关数值的求解：教师需要在教导学生认识如何应用类比法推断公式的基础之上，引导学生自主展开对相关知识点的求解。例如，在上一步骤教师所进行的教学过程当中，已得出了两个有关“最大公因数”的基本定义：

　　(1)(a，1)=1;(a，0)=(a，a)=|a|;(2)定义a取值为(by+z)，则有(a，b)=(b，z)。在上述两项“最大公因数”基本性质定理的基础之上，学生可以利用辗转相除法计算得出，在任意n个非零整数中的最大公因数数值。

　　基于上述分析不难看出：在初等数论的教学过程当中，整数的整除理论可以说是教学的基础与根本所在。以类比法为手段，组织有关最大公因数的教学内容，能够在提高教学质量的同时，加深学生的理解。

　　2 类比法应用于同余式教学

　　在有关同余式性质以及等式基本性质知识点的研究过程当中，同样可借助于对类比法的合理应用，加深学生对于此项知识点的认知。在此过程当中，教师应用类比法方式展开教学的最主要目的：在于既体现同余式性质与等式基本性质联系的同时，比较上述两者之间存在的异同点。具体而言，可按照如下方式实施：

　　第一步：引导学生认识到固定模所对应同余式与常规等式之间的相同点。具体来说，对于固定模a而言，a自身所对应的同余式在如下几个方面与等式有着多处相同点。具体如下所示：

　　(1)首先，xy(mod a)所需要满足的最基本的充要条件为：x=y+at(且t∈Z)换句话来说，该充要条件还可进一步拓展成为：a|x-y;其次，对于存在同余关系的等式而言，有以下几个方面的算律是必须遵循的：同余关系从本质上来说属于一种特殊的等价关系。

　　(2)在对同余式进行加/减操作的过程当中，若定义xy(mod a)，且满足zu(mod a)。联立上述同余式，则可以推断得出存在于x、y、z、u之间的对应关系：如x±zy±u(mod a);在对同余式进行相乘操作的过程当中，若同样定义xy(mod a)，且满足zu(mod a)。

　　联立上述同余式，则可以推断得出存在于x、y、z、u之间的对应关系：如xzyu(mod a)。

　　第二步：教师可以在得出上述基本算律的基础之上，就上述有关同余式进行加/减操作以及乘法操作过程当中所表现出的基本特点，建立相应的运算公式。但需要注意的是：对于同余式而言，消去律在常规意义上来说是不成立的。

　　这也就是说：在基于xzyz(mod a)的基础之上，并无法准确的推断得出：xy(mod a)。教师需要在引导学生认识到上述问题的基础之上，采取类比方式，引导学生推断得出以下结果：即对于同余式“xzyz(mod a)”而言，可以判定的是：

　　xy(mod a/(a，z))

　　换句话来说，若在该同余式当中的(z，a)取值为1，那么上述等式可以直接简化成为“xy(mod a)”。这一过程当中所涉及到的基本定理就在于：当出现同余式两边公因数z与模a存在互素关系的情况下，则可以在该同余式两边直接约去公因数“z”，达到简化同余式的目的。

　　基于上述分析不难发现：在将类比法应用于该知识点教学的过程当中，能够尽量避免同余式运算过程的抽象性，提高学生对于整个计算过程中以及数论知识的理解程度，同时加深记忆。

　　3 结语

　　类比法最为突出的优势在于，能够引导学生将不同的对象联系起来，达到加深学生对相关知识点认知与理解。这与初等数论教学的目的相吻合。本文结合相关教学案例，研究类比法在教学过程中的应用。

　　参考文献

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