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关于数学文化视域中数学教学的若干思考论文
本文将要论述的“整体、联系与转换”、“留有余地”和“备而不‘课'等数学文化视域中数学教学的特性，是我们根据数学文化视域中数学教学的基本理念（譬如，“统一数学观”或“综合数学论”，即：数学是科学性与人文性的统-体，数学的科学性业已变得越来越“可见”和“直接”，而其人文性则显得有些害羞，总是藏在“科学性”的后面而被屏蔽，显得有些灰色；数学是一个由思想、问题、方法和语言等所构成的“一个复合体”，而其“公理化”的形式则只是其外在的线性的逻辑呈现形式；数学不仅是一个包含真理性认识的知识体系，它更是一个“为人”因而也是“有人”的社会一文化活动；数学的真理是相对绝对的，而非绝对相对的，更不是绝对的；所作的理论上的初步建构。尽管也有其非系统的“非干预式指导性试验”的贡献，但是，这些特性仍然需要进一步的数学教育教学实验的系统“验证”才能得以真正确立。此外，这里所给出的数学文化视域中“数学教学之特性”是否就是“数学文化教学”的全部，也还是值得作进一步思考的。还是先让我们来看一看什么是“整体、联系与转换”吧。
一、数学教学中的“整体、联系与转换”
一般而言，数学教师的教学有三种水平。第-种是为了让学生学习起来比较容易而精心准备并实施的教学一一有整体、联系与转换的观念，但认为学生没有，所以，教师自己首先要发现并设计这个联系与转换的整体结构，并帮助学生去发现这些基本的结构，在头脑中形成认知结构，并认为有了这个基础，学生就会加入到任何未来的发展方向上来，这是一种“给予式的教学”；第二种水平是为了让学生学习起来比较得法而精心设计并实施的教学一一当然也有整体的观念，但让学生自己经常去发现这些基本的整体结构，并认为这样是符合“学生学习主体性”教育要求的，这是一种“发现式的教学”；第三种水平不仅是为了让学生会学，而且希望他们能够乐于学习数学而教他们经常去调节这些基本的整体结构，因为已有的整体结构总是有局限的“有待之游”，这是一种“超越式的教学”。当然，也有不少数学教师的教学水平处在第一种水平之下，但我们认为这些教师是不能称其为“数学教师的”数学教师，即他们是“不合格的”数学教师。
由此可见，处在第一种水平的教师是在教数学，而处在第二和第三种水平的教师都是在教学生学数学，但有“有待的发现”和“无待的追求”之本质区别。现实中，第一种水平的数学教师可能很辛苦，但经常感觉到“吃力不讨好”；第二种水平的教师擅长教“好学生”，而对所谓的“数学差生”则会显得“一筹莫展”；只有第三种水平的教师，他们不仅善于启发“好学生”，而且也很会转化“差学生”，是数学文化教学论所应追寻的“理想教师”及其“有效教学”。
第一种水平的教师需要改进自己的“联系与转换的”整体观，即在设计整体结构时应该超越现在正在学习的“数学知识单元”等有限的范围，而同时考虑可能的更大范围的整体结构。譬如，在小学阶段讲方程概念时，就我们所了解的情况而言，几乎没有一个数学教师不是用“天平的平衡”来联系实际以帮助学生去发现“方程的结构”的，但这个“平衡结构”却存在着为后续学习（如解方程）埋下“地雷”的可能--如何理解“尤+5=0”、“工2=9”和“工2-4尤=5”等方程中的“等号两边的”平衡呢？第二种水平的教师由于强调“好学生”的重要性，而且不愿也无法教学所谓的“数学差生”，其中有些教师可能在态度上比较“傲慢”，排挤“差生”。因为他们在某种程度上就是学校升学率的保障，学校和家长都得罪不起。因此，他们所需要的“只是”改变态度（尽管也不容易），并不断地向第三种水平的教师学习。第三种水平的教师，应该说，是数学文化教学论所应追寻的目标。
所谓“整体”不仅仅是指幼小衔接、小初衔接、初高衔接和大中衔接的问题，也不仅仅是指-节课、一个单元、一个章节或一学期的数学内容之间的整体性问题，更不仅仅是指现行数学课程标准中所提倡的“三种联系”--联系学生的生活经验与实际、注重数学各学科之间的联系、数学与其他学科之间的联系等，它更多的是指，数学教师应该追求用一种“无待的”整体观来看待各种“有待的”数学学习，以使数学学习成为融“游戏性”、“流变性”和“融贯性”于一体的师生共同创造的“自由天地”。
而所谓“联系与转换”则是在上述“整体”意义上内在于其中的要求，否则，整体将不成其为整体。整体只有通过这“联系与转换”才能够形成、变化和发展，成为一个可能的更大的整体的一个要素或局部或“联系与转换”本身。
譬如，如果我们拥有了这样的整体观念并“深熟”数学文化的内涵，那么我们在进行“数”的教学时就不会局限于“数”的“逻辑发展”(即N-Z-Q-R-Z)或“四则运算”，而置“数”的其他特性（比如，区分性、顺序性和拓扑结构性等，其实复数也可以在有理数之后或实数之前学习）于不顾，更不会出现像“‘，是不是（第一个）自然数？’这样一类问题，也不会出现“对数学归纳法的证明”这类“同语反复”，而且有助于我们理解“为什么有些国家把一楼不称为‘一楼’，而把二楼叫做‘一楼等“数字文化”的约定性。而所谓的“九五之尊”、“三教九流”等也不过是“数字文化”历史流传下来的习俗而已。这里既没有什么神秘感，也没有什么令人费解的难题，倒是文化历史为何选择了这“数字”而不是其他“数字”，却很是令人费解和迷惑的，但这已不是数学文化教学论的问题，而是历史学家和历史学工作者的研究课题了。
再譬如，“计算”或“运算”早已不再是各种“数”的“特权”了，它甚至还被视为“生命的本质”。如何能够通过数学学习来获得这种“哲学的”意义呢？这就要求我们既要洞悉“计算”意义的文化发展：数的运算、字母的运算、函数运算、各种具体数学对象的关系、抽象集合中元素的一般关系、计算就是有限规则的迭代、计算就是适应、适应就是计算……，又要善用“联系与转换”而不把我们现学或已学的“计算”之含义视为“唯一的”逻辑必然。因为演绎证明本身是以演绎为前提的，它属于循环论证；而归纳也是在以“归纳有效”这个事实为其前提的情况下心照不宣地进行归纳的。[1]所以，在数学中，如同在其他领域中一样，不存在最后的和绝对的真理，存在的只是大量的“有限规则内的”相对真理或“语言游戏”。这样一来，我们不仅可以看到整数计算、有理数计算、实数计算、复数计算等之间的一致性，算术计算与代数运算之间的一致性，还可以见到算术与代数中的计算、函数运算与几何中的变换等之间的一致性，甚至“生命的计算本质”，即“符号的排列组合”。
二、数学教学中的“留有余地”
由于数学文化的“整体性”及其指导下的数学文化教学的“整体、联系与转换”之特征，和任何具体数学教学活动的“局部性”特性的同时存在，为培养学生的“数学的”反思性、批判性、创造性和超越性，我们认为，数学文化的教学就必须要“留有余地”。不过，这里的“留有余地”并不是指在课堂上“留有一手”，以待“课后”对学生进行“辅导”、“提升”或“拔高”；而是指，在任何数学教学活动中，数学教师都不应该“把数学教死”，即不应该把数学知识教成“一串无意义的”符号，而应该把数学知识教成“数学思想流变”的凝结；不应该把数学活动教成“小和尚念经，有口无心”的“步骤发现”，而应该把数学活动教成“数学方法游戏的”“再发现”；不应该把数学的“社会建制”隐藏起来，并独独倾心于“数学的绝对性”，而应该把数学的“社会建制”作为“数学精神”的不竭追求的体现，数学学习的“融贯性”只有在这种不竭的追求中才可能达到。
由于数学文化那令人目眩，同时也令人神伤和令人向往的奇妙的力量和意义，数学文化，可以说从幼儿园开始，几乎就成为了一门主要的课程。但数学文化在幼儿园的传播却着实令人伤感(譬如，印刷体数字的书写及其练习）。这里还有-“几何的”例子，即幼儿园的“数学教师”为了让孩子能够更多更准确地从形体上“识别”事物，而专注于各种物体的形状（如正方形与长方形、正方体与长方体）之间的差异，却“视而不见”其内在的一致性，结果就造成了小学数学学习的“先天性”障碍：“五四制”中的小学四年级学生就很难认同“正方形也是长方形”或“正方体是一种特殊的长方体”这一“求同存异”式的数学（概念）的概括方式（我想，这可能也不仅仅局限于“五四制”，只是我们的结论来自“五四制”中的课堂观察）。在我们看来，这至少说明，从幼儿园就已开始的“数学文化”传播或教学就应该“留有余地”。也就是说，这里“绝对地”需要“模糊”而不是“精确”或“准确”或“清晰”。
下面仍然是“五四制”中的一个课堂观察案例。初一数学课上，教师为帮助学生形成“代数的”整体转化的思想，设计了这样一个例题（其实来自相应的某个版本的数学教学参考书）：
教师的意图（也是数学教学参考书编者的意图）是“不战而屈人之兵”，即通过“整体一联系一转化”的方式来“直接”得到答案，这与我们在算术中所强调的“准变量（表达式）’’是一致的。下面仅是其中的一种“转化”方式：
但是，却有一个“笨”学生在黑板上写下了如下所示的“笨”办法，即“战而屈人之兵”的直接方法：
“教材安排在高中的内容就非得要等到学生上高中时才可以教”？这种被安排的顺序逻辑是谁家的逻辑？是学生学习数学的逻辑还是教师教数学的逻辑？……当然，教材的内容安排和顺序在每个历史时期都有其一定的“科学的”理由和根据。我们不可否认这一点。但这其中还应该包含无穷的变化和可能才“更科学”，教师教和学生学的创造性都需要这“无穷的变化和可能”。否则，科学的东西就有可能变成机械的“按设计图纸”的模仿，“程序教学”和“网络教学”也就有可能成为解决一切教学问题的“灵丹妙药”。假如我们就是按照“现在被安排好的顺序”来看待这一问题，那么，像这类旨在培养学生“数学思想方法”的问题中也都有可能会隐藏着“内在的不可能”就这里的例子而言，不管是教师的“意图”还是“笨”学生的解法，都隐藏着“a是虚数”这一前提认定，而这一前提认定必然与“任何数的平方都不可能是负数”相矛盾。
其实，“笨”学生的“创造”隐藏着“发明复数”的契机--与历史惊人地相似！如果我们从数学文化发展的历史来看，尽管“无理数的发现”早于复数，但“复数的完善”却早于实数，而且复数的“历史发现”恰恰就产生于类似那个“笨”学生所运用的“解方程方法”。这至少再一次说明，数学知识理论的逻辑结构与人们对它的认识的逻辑结构是不同构的，甚至有时是相反的。总之，综合的数学文化观下的数学教学应该留有余地。这既是教师创造性地教，也是学生创造性地学所必需的。
三、数学教学中的“备而不‘课，”
数学（文化）教学如何贯彻“整体、联系与转换”而体现“留有余地”呢？根据“备好课是提高课堂教学质量的根本保证”[2]这_普遍认识，我们认为，“备而不‘课'是解决这一问题的根本保障，也是数学文化教学（论）所应追求的艺术境界和创造精神。
曾记否？当我们初为人师的时候，“老”教师们往往会教诲我们：当学生问你问题而你一时又答不上来的时候，千万不要说自己不会，应该说，你现在很忙，并约定一个时间给学生讲解(这一点很重要，否则你就会被认为是一个没有责任心的老师），否则，学生就会瞧不起你。
我们暂且不说这些“老”教师们对初为人师的我们的关爱之心应该受到感激，单就这种“思维方式”反映在备课上就是，数学教师要找出一个被“自己”或“数学教师们”认为最好的教学设计或方案，以在课堂上展示数学或数学教师的“逻辑魅力”。当课堂上学生的思维与教师“事先设计好的”教学思维进程不一致的时候，教师一般会本能地来对学生的思维进行“改正”或“扭转”，以使得课堂教学保持一种“和谐、有序的”“高度集中的”“简单”之美和“计划性”。但是，这种情况出现得多了，教师就会越来越感觉到：学生上课配合得很好，问题也都能一一解答，而课后却又不会做题。用现在流行的话来说就是“我都教了你们N遍，你们居然还不会”。于是，教师对备课也就越来越“不重视”了，只是把备课看作是“例行公事”--为备课组检查、教研组备案、教导处抽查等而“准备”甚至“复制”的“纸质文本”。课堂教学开始脱离教案而行“自由之事”。慢慢地，“纸质文本”和课堂上的“教学活动”之间的关系就会变得如同“陌路之伙伴”，但为了诸多“例行公事”的需要，教师还很有可能更多地把精力放在教案的“美化”方面。譬如，每一节数学课的教案上都要求在“教学目的”一栏中写上“德目”（即德育目的）就是显而易见的这种“美化”现象，“备好课是提高课堂教学质量的根本保证”早已不知去向。
上述情况是现实的状况，而不是理论的思辨。但是，为了解决这现实状况中所存在的问题却需要理论的思辨。所谓“备而不‘课'不是说不需要备课，而是指在课前、课中尤其是课后都需要精心地去思考、设计和准备。这里的“备”就是准备，而且它还应该是全方位的、“整体一联系一转换”的无时无刻不存在的准备；而这里的“不课”则是指，不因一时一课而形成通常意义上的“教案”。在综合的“数学文化”观的意义上，“备而不‘课'就是要求我们对所教数学内容都要有一个丰富的“纵横交错”的理解与运用，并使得这些“纵横交错”的丰富关系成为教师个人的“血肉”、烂熟于心，而不是仅此“自留地”一块。因为，只有这样，我们的数学教学才有可能使数学学习充满游戏性、流变性和融贯性；也只有这样，我们的数学教学才有可能既体现数学文化的科学性，又体现其人文性。因此，数学文化教学论中所追求的数学教学既要做到“备而‘不课'，又要体现其“整体、联系与转换”和“留有余地”等新特征。因此，我们应该从以下几方面为数学教学作准备。
首先，要对自己所教授的内容有一种综合的理解与“整体一联系一转换”式的把握。譬如，就小学1?3年级的四块内容而言，不仅要搞清楚“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践活动”各自的内在联系与转换，（其实，根据我们上面所作的分析便已知道，仅就这一点而言，它也不是轻而易举的事情），而且还要贯穿它们之间的联系与转换。
其次，还要对自己所教授的内容有一种“位置感”，即它在整个“学校数学”中所处的地位和所具有的意义。譬如，就小学数学教师而言，他们不仅要对小学数学的四块内容（其中4?6年级的第四块内容为“综合应用”有一种综合的“整体一联系一转换”式的把握，而且要沟通其与“幼儿园数学学习”以及初中即7?9年级的数学学习（第四块内容为“课题学习”）之间的关系与转换。不过，这里要注意的是，这“位置感”中的“位置”不是固定不变的一个次序，而是我们进行数学教学的一种“左右逢源”、“上下贯通”和“游刃有余”的节奏或步调。如果没有这种“游刃有余的位置感”，数学教学就会要么被学生“牵着鼻子走”，要么被自己设计好的“教学顺序”所限制。
第三，在做到上述两点的基础上，就每次数学教学而言，我们都不应该把数学知识、技能、思想和方法等看作是一个不变的知识体系结构，而应该把它们视为“数学文化传统约定下的”一种安排或选择一一“有规则的游戏”，数学学习就是这“游戏规则”的“再发现”或“再命名”，而在这“游戏规则”的“再发现”或“再命名”过程当中，可能还会出现新的非“数学文化传统约定下的”新规则，这也就是所谓综合的“数学文化”中的数学的创新与发明一一“数学文化”发展的一种方式，而非专门的“数学文化”发展的研究方式，即数学家和数学工作者们专门从事的事业。
第四，至于如何指导“规则的再发现”，新课程标准所倡导的“三重联系”（即联系学生的生活与实际、联系数学各学科、联系数学与其他学科等）都很值得重视（可以说这些都是深受荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔思想的影响）。但是，千万不要以为，只要这样做了，学生就一定能够学好数学（文化）。其实，这仅仅是一个“规则发现”的“有待”。数学文化的教学并不仅仅满足于这些已有“数学文化传统约定下的规则”的“再发现”或“再命名”，而是要追求对这些“有待规则”的超越，以获得一种“无待”的自由意识。
第五，现今所做的各种数学教学案例及其研究，可以说都是这种“规则发现”的“有待”设计。譬如，《全曰制义务教育数学课程标准（实验稿）》中“第三学段”（即7?9年级）教学建议中的一个例子便是如此:
完成下列计算：
根据计算结果，探索规律。
教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。教学中，不要仅注意学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。如果学生-时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：
但是，这种“有待”的设计其实就是一个装好的套子，里面藏着一个“谜底”（即规律），所谓“发现规律”就是找出“谜底”。由此可见，教学成了“制作的”学习，而不是学习的“制作”。参照我们前面对数学教学水平所作的三种划分，这类“设计教学”最多就是第二或第一种水平的数学教学，还远远没有达到第三种水平的教学。
我们曾经做过两个“备而不课”式的数学教学设想，但由于各种原因，主要是数学教师本身的“知识结构”和数学思想观念有待改进，而最终都未能在课堂上进行尝试。是否这样的设想太“高远”了？其实不是。因为在和一些数学骨干教师和教育硕士的交流过程中，他们大都也有这方面的一些想法，只是苦于没有“理论指导”，不敢妄为。由此看来，“备而不‘课'的数学教学追求应该是数学文化教学论的努力方向。第一个“备而不‘课'式的数学教学设想是“记数：除了十进制，还可以有什么？’；第二个“备而不‘课'式的数学教学设想则是“数：有理数之后，可能是什么？’。
真诚期待有志于数学文化教育教学实践尝试与理论研究的同仁们的批评指正。
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