求轨迹方程问题中的数学思想论文

求轨迹方程问题中的数学思想论文

　　摘 要：数学高考试题十分重视对学生解题方法的考查，尤其是突出考查能力的试题，其解答过程都总是蕴含着重要的数学思想方法。学生只有有意识地应用数学解题方法，有目的、有步骤的去分析问题、解决问题，才能在大脑中构建数学情境，形成数学能力，提高数学素质。

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　　数学高考试题十分重视对学生解题方法的考查，尤其是突出考查能力的试题，其解答过程都总是蕴含着重要的数学思想方法。学生只有有意识地应用数学解题方法，有目的、有步骤的去分析问题、解决问题，才能在大脑中构建数学情境，形成数学能力，提高数学素质。

　　数学解题的基本方法是数学思想的体现，具有模式化和可操作性的特征，一般都能解决莫一类具体的提醒，可以选用作为解题教学的具体手段。可以说，在高中数学中，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，而提高学生数学素质的核心就是要提高学生对数学方法和数学思想的认识和运用，也就是我们常说的解题能力。

　　这里介绍高考中常见的求轨迹方程这一类提醒的解题方法和解题步骤。求轨迹方程的问题常见于选择题与解答题中，本考点单独命题的可能性不大，但结合直线、向量、和圆锥曲线等相关知识综合命题的可能性很大，所占分值一般较多，此类体型共有三种情况：

　　一、轨迹上的点满足所学曲线的某种定义，可直接写出方程

　　我们可先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再根据已知曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。而高中阶段已知的轨迹无非是直线、圆和圆锥曲线，在解题时要注意思考，看有无这三种图形的性质。

　　如2012年杭州模拟题：△ABC的顶点A(-5，0)B(5,0), △ABC的内切圆心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。

　　此题的A(-5，0)B(5,0)就隐含告诉了大家，轨迹很有可能是个圆锥曲线，果然对此题进行分析，通过切线长定理可得，C点轨迹为以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线，可直接写出方程。

　　这类题告诉我们，在求轨迹方程时，首先要注意条件是否满足某种已知曲线的定义，时刻注意题目隐含条件，这个曲线可能是什么图形，找到方向再进行分析。

　　二、已知轨迹形状，但却无法直接写出方程

　　在很多题目中，会明确告诉我们，求直线方程、或是圆方程、或者椭圆、双曲线、抛物线方程等，但因有些系数未知，不能直接写出轨迹方程。

　　在这种情况下，我们的解题步骤为：首先用待定系数设出轨迹方程，在设待定系数时，要把握让待定系数越少越好的原则。如，若已知直线上一点求直线方程，就用点斜式来设，已知斜率或者截距就用斜截式来设，已知横纵截距的关系就用截距式来设，什么都不知道就用斜截式来设待定系数。设出方程后，根据已知条件，解出待定系数即可。

　　如2013年江西高考题：直线在y轴上截距为3，在圆(x-2)2+(y-2) 2=25上截得的弦长为6.求直线的轨迹方程.

　　此题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、重点考察数形结合的思想方法的应用。在讲解直线和圆的位置关系时。教师应明确指出：提到直线和圆相切，就要先考虑圆心到直线的距离等于半径，其次考虑半径与切线垂直;提到直线和圆相交，就要考虑半径、割线、圆心到弦中点的连线所构成的直角三角形。此题显然属于后一种情况，只要画出直角三角形，就可根据勾股定律求出圆心到直线的距离为4.

　　设直线方程为y=kx+3,带入点到直线的距离即可求出k.

　　三、不知轨迹形状，求轨迹方程

　　不知道轨迹性质的提醒更为多见，我们应用直接法求解，即利用条件建立x,y之间的关系F(x，y)=0.

　　首先设M(x，y)为所求轨迹上一点。此时注意M点必须是一般化的点，没有特殊的性质，与轨迹上其他所有点没有任何不同;然后根据已知条件把x，y放入等式，写出F(x，y)=0的式子，这就是轨迹方程。此时需要注意的是x和y是作为M点的坐标存在，而非未知数。

　　如2014年四川高考题：动点M与两定点A(-1，1)、B(1，0)构成△MBC，且直线MA、MB的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程。

　　这就是典型的不知轨迹形状，求轨迹方程的例子。我们首先设M(x，y)在所求轨迹上，然后写出MA、MB的斜率，其乘积等于4，即可得到一个关于x，y的等式F(x，y)=0，这个等式就是轨迹方程。

　　在这种类型中，还有一种特殊的情况，即动点M(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y便是代数式x0，y0，然后将x0，y0带入已知曲线即可得所要求的轨迹方程。

　　如2013年海宁模拟题，△ABC的两个顶点B(-2，0)C(2,0),顶点A在抛物线y=x2+1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程。

　　此题为典型的代入法求轨迹方程，设G(x，y)在所求轨迹上，设A坐标为(x0，y0)，找到x，y 与x0，y0的关系x0=3x ，y0 =3y，然后把x0，y0带入抛物线方程即可得到F(x，y)=0的式子，也就是轨迹方程。

　　总之，求轨迹方程

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