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中学数学教学中的研究性学习的方式创新论文
一、创设情境——感知数学模型
数学模型都是具有现实生活背景的,要建模首先必须对生活原型有充分的了解.
1.结合生活经验,创设学生感兴趣的情境,让学生经历生活问题转化为数学问题的过程
如在“图形的周长”一课中,王丽娟老师借助帽子的大小问题(生活中的问题)入手,引导学生说出一周的长度就是周长(数学问题),再分别让学生指一指、找一找、说一说生活中课桌面的一周、数学书皮的一周,让学生充分感知图形一周的长度具体是什么,在学生动手感知的基础上,建立了对周长表象的认识.然后通过学生的理解,逐渐将生活中的具体图形抽象成几何图形.这样,就将生活中的一周问题变成了数学上的周长,初步建立了周长的模型.
2.提供丰富的感性材料,创设问题情境,感知特征或数量关系,为数学模型的准确构建提供可能
例如,在对二年级学生教学乘减的两步运算时,学生很难根据图意自己主动列出两步算式,这就为后面建立数学模型制造了一定的困难.赵淑荣老师设计了这样的问题情境:老师想从3包筷子中拿走4支,请问是不是一定从第一包中拿走?是不是一定从第二包中拿走?第三包呢?那么一定从哪里拿走?学生立刻回答:三包里面。紧接着,教师引导学生思考:3包是多少呢?水到渠成地列出两步算式,同时为乘减的运算顺序教学奠定了基础,提供了准备.
3.经历具体的场景,创造“经验过”的情境,从直观形象的角度感知问题的特征,寻找教学的切入点和生长点
孙欣老师在教学“排队问题”时,创设了一个实际排队倒水并计时的情境.一个学生拿矿泉水瓶,另一个学生拿大口杯排队接水.先是拿矿泉水瓶的同学接水,用40秒,再是拿大口杯同学用3秒.让学生计算出两人接水总共等候的时间是43秒,同时明确了“等候的时间=自己等的时间+等别人的时间”.在此基础上,让两位同学交换位置等候接水,这时接水的等候时间是46秒.通过现场直观形象的演示,学生感受到了数学问题的实际背景,掌握了排队问题的基本特征,建模的起点找到了.
二、探究新知——体验模型思想
建立数学模型的过程要善于引导学生自主探索、合作交流,对学习过程、学习材料主动进行比较、分析、综合、归纳、操作等思维活动,将本质属性抽取出来,构成研究对象本质的关键特征,从而构建起真正的数学认识.
1.注重实际操作,体验模型思想
许多教师在教学中都注意到了学生动手操作.如李小玉老师在执教“一个数比另一个数多(少)几”一课时的教学片断.
师:苹果比桃子多了几个?
(情境图中苹果有9个,桃子有6个.其中9个苹果部分盖住)
:多了3个.
:多了4个.
师:到底多了多少呢?让我们验证一下吧.同学们可以画一画,连一连,也可以用学具代替摆一摆.
……
师:到底多了几个?你们验证出来了吗?谁来说说呀.
:我上面画9个圆圈代表苹果,下面画6个圆圈代表桃子,这样能看出苹果比桃子多3个.
师:看他画的,你发现了什么?
:上面的圆圈比下面的圆圈多.
:苹果比桃子多3个.
:桃子比苹果少3个.
师小结:他画的时候注意了,上下一个对一个,这样一眼就能看出苹果比桃子多3个.
师:谁还有不同的方法?
:我用摆圆片的方法,上面摆9个,下面摆6个.
师:你发现了什么?
:上面的圆片比下面的圆片多3个.
:苹果比桃子多3个.
:可以画隔线,一眼就能看出上面的比下面的多3个.
师小结:这个同学真有办法,用一条虚线隔开,就很容易看出苹果比桃子多3个.
师:从9里面去掉哪些就是3个了,指一指.
教师此时顺势指着相同的6个小圆片问:这一部分是怎样的?
:同样多.
:这一部分和桃子的个数同样多.
师:用剪刀去掉这个6,该怎样去掉?从谁里面去掉?
:从9个苹果里去掉.
生:从9个苹果里去掉与桃子个数同样多的部分.
生:去掉的个数和桃子的个数同样多…….
师:所以你发现苹果比桃子多多少个?
:3个.
:我发现求苹果比桃子多多少个也就是求9比6多多少.
师:看来同学们解决求谁比谁多多少的题,有自己的绝招,你愿意说说吗?
生:我发现这样的题目可以用大数减小数的方法.
生:对,大数减小数的方法更简单.
这一部分的教学,体现了“以说促思”“手口脑并用”的数学教学方法.对于低年级孩子尤其是对于一年级刚入校的小同学来说,手、口、脑并用,才能真正调动数学学习的需求.通过动手摆一摆、剪一剪,帮助学生真正理解剪掉的是苹果和桃子数最同样多的部分,从而为建立模型积累了感性经验.
再如,潍坊市滨海开发区实验小学王丽娟老师的“图形的周长”一课,在学生对周长的内涵初步感知的基础上,老师出示了几幅图形让学生找一找它们的周长(其中包含了不是封闭的图形).学生在辨析的过程中发现只有封闭的图形才有周长.在此基础上,再让学生动手用铁丝围一个有周长的图形.这一部分的设计可以说是对周长概念模型的一次重塑,促使了学生思维的螺旋式上升.先通过辨析加深学生对周长内涵的理解,再让学生动手自己围成一个有周长的封闭图形,学生经历了从“实物模型”到“抽象模型”,又到做“实物模型”的过程,在“做中学”,在“做中悟”,充分感知了周长模型.
2.注重探究过程,体验模型思想
如“图形中的规律”一课,在探究过程中,引导学生从3个点、4个点、5个点……能画出多少条线段,从中发现规律,进而掌握简单组合的计算方法.先引导学生认识和了解简单的组合问题,自主探索出简单组合问题的解答方法.在交流、比较中,学生体会到了按规律组合的必要性,掌握了简单的组合方法.在交流时,重点引导学生明确用枚举法列举时,怎样才能做到既不重复又不遗漏.即:先确定一个点,对与它不同的点进行连线;再确定另一个点,分别与不同点组合进行连线……只要是按顺序组合连线,就能不重复不遗漏.在这个环节中学生出现了无序列举到有序组合的情况,这说明学生经历了由“杂乱、具体→有序、抽象”的思维过程,学生思维的有序性和深刻性得到了培养.接着教师抛出了“点数与线数有什么关系”的问题,受知识的限制,学生在这里是不能解决的,但在课堂中,我们看到了学生质疑的表情,感受到了学生要探究规律的欲望.接着,教师再引导学生列表探索计算规律.在填写的过程中,学生观察、推理、归纳出规律,掌握了简单组合问题的基本规律.这样就使学生由浅入深,逐层深入,学习难度降低,提高了学生的学习和探究兴趣.教师及时发挥主导作用,带领学生填表、找规律,学生顺利地完成了任务.在这样一个建构、解构、重构的过程中,学生从各自的经验背景出发推出了关于组合问题的普通的规律,并能抽象出数学模型.
3.注重合作交流,体验模型思想
实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡,是数学教学的任务之一.具体生动的情境问题只是为学生数学模型的建构提供了可能,如果忽视从具体到抽象的探究过程的有效组织,那就不能称为建模.因此,本环节重点是学生在老师的鼓励和指导下自主探究解决实际问题的途径,进行自主探索学习,把实际问题转化为数学问题,即将实际问题数学化,自主构建数学模型.
如“数量关系与方程”一课,教师提问如何用数量关系式表示“男比女的2倍多3人”.学生出现了多种情况:①女×2+3=男,②男÷2-3=女,③(男-3)÷2=女,④男-女×2=3,⑤男-3=女×2.教师接着引导学生找出自己最有把握的数量关系式,学生在②④中争论,接着教师引导学生找出这句话的关键词,部分学生通过找到关键词“谁比谁多”已经明确了答案.接着教师又引导学生通过画线段图的形式帮助学生分析数量关系式,通过对照线段图来辨别几条关系式的对错.这样,教师就引领学生经历了找关键词、关键句和画线段图的不同方法,通过多轮合作交流,找到了正确的数量关系式.
三、提炼方法——建立数学模型
数学建模是一个思想与方法产生与选择的过程,数学建模重视的是探究的过程.
1.通过“转化”,提高学生自主建模能力
数学思想较之数学基础知识,有更高的层次和地位,它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中,是一种数学意识,属于思维的范畴.数学方法是数学思想的具体体现,具有模式化与可操作性的特征,可以作为解题的具体手段.只有对数学思想与方法理解、掌握了,才能在分析和解决问题时得心应手;只有领悟了数学思想与方法,书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力.
如“平行四边形面积”一课,在探究平行四边形面积时,教师先放手让学生小组合作,然后,教师将同学们的想法贴在黑板上,让全班观察、发现不同方法的相同点,学生很容易发现都是把平行四边形变成了长方形,教师追问:“为什么要把平行四边形变成长方形呢?”引导学生说出将平行四边形面积变成长方形的面积,将新知识变成旧知识,这种方法在数学上就叫做转化.转化方法的引入水到渠成.接着组织学生讨论:平行四边形和转化后的长方形有什么关系?在计算长方形的面积基础上怎样去计算平行四边形的面积?寻找求平行四边形面积的方法.学生通过思考、操作、探究、交流后,不但经历了知识的形成过程,发展了思维能力,更重要的是领悟到了“转化”这一研究数学的思想和方法,这才是学生最大的收获.通过操作,让学生既学得高兴又充分理解知识,形象直观地推导了平行四边形的公式概念,培养学生获取知识的能力、观察和操作能力.因此,重视数学思想方法的运用,才能帮助学生牢固构建数学思想方法模型.
建构主义者认为:学生的数学学习是一个连续不断的同化新知识、构建新结构的过程.尤其是中高年级学生,他们已经具备了一定的基础知识和操作技能,因此,让学生掌握“转化”的思想方法无疑是交给了学生一种解决问题的“工具”.
又如王丽娟老师执教的“图形的周长”一课,在学生有了对周长理解的基础上,让学生自己量一量图形的周长,然后给出了几个图形让学生自己去探究怎么求图形的周长.对于简单的问题(由直线围成的图形),学生很快地找到了解决问题的不同方法.但是对于由曲线围成的图形学生感到比较困惑,通过学生的小组合作,并在合作中优化了自己的操作方法.通过转化找到了解决问题的方法:化曲为直.这样学生在活动中发现、探究,在活动中互动、内化,在活动中应用、创新,最终学生体会形成了求周长的不同的方法模型:规则的(用直尺)和不规则的图形(化曲为直).
2.通过“数形结合”,提高学生自主建模能力
“数形结合”是小学数学教学中解答“问题解决”中的一种常用的方法.通过画图形可以把抽象的数量关系直观形象地表示出来,帮助学生分析问题,理清思路,找到解决问题的方法.更重要的是,在教与学的过程中,不仅促进了学生的形象思维与抽象思维的协调发展,而且还培养了学生建构“数学模型”的兴趣和能力,由于所构建的“数学模型”多样化,使他们的思维更加灵活,更有创造性,从而提高了他们的数学意识.这正是新课程标准对学生能力发展的要求.
例如,安丘市青云山小学赵淑荣老师执教的“混合运算”一课:师出示糖葫芦图(其中4串糖葫芦每串有5个,还有2个单独的糖葫芦)
师:要算一共有几个糖葫芦,应怎么求?
生:把2部分合起来.
你能填一填分别是多少吗?
师:能解释一下你这样填的意思吗?
生:先算4×5=20,再算20+2=22.
师:你发现同学们列的算式和以前我们学过的算式有什么区别?
生:算式当中既有乘法,又有加法.
生:只列了一个算式.
师:我们一起来画出它的样子吧!
课例中,教师充分应用了数形结合思想,借助方块模型,帮助学生构建起直观的混合运算的数学模型,学生借助“形”感悟混合运算的结构,在填数建模的过程中初步发展了模型思想.
3.通过模型归类,提高学生自主建模能力
教师要注重模型的归类,特别是学业考试复习,更应根据不同模型进行分类复习.使学生能根据某种规律建立变量和参数间的一个明确数学关系,正确运用方程思想、函数思想,解决不同的实际问题.在同一个生活背景下,让学生灵活应用方程、不等式、函数等来解决不同的实际问题,使学生体会到数学的应用价值,并提高学生数学建模的能力.
例如,“一个数比另一个数多几”课例中,教师进行了如下的模型归类:
首先是个别归类:
①苹果比桃子多多少个?总结为一个数比另一个数多几.
②桃子比梨多多少个?总结为一个数比另一个数多几.
③桃子比苹果少多少个?总结为一个数比另一个数少几.
在经历了个别归类后,教师又从总体上进行模型归类:刚才的三个问题都归为一类是:一个数比另一个数多(少)几.
这样,学生经历了两次模型归类的过程,对归类方法和建模过程有了更深刻的理解,自然而然地提高了建模能力.
四、解释应用——拓展数学模型
数学课程标准倡导以“问题情境一建立模型一解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式,这是数学新课程体系直接体现“问题解决”教学模式的反映.因此,在数学模型建立起来之后,要创造机会,让学生去应用方法进一步解释、应用与拓展所建立起来的模型,在此基础上回顾反思解决问题的过程.这样学生才能有效地经历解决问题的全过程,提高解决问题的能力.
1.解决实际问题,应用数学模型
新的模型通过解释、评价自然地纳入学生已有的知识体系中,并化作自己的解题经验,这是学生认识上的飞跃.让学生将求得的数学模型放到实际情境中去检验,用所建立的数学模型来解答生活实际问题,能体会到数学模型的实际应用价值,体验到所学知识的用途和益处,体验到成功的喜悦,这也是建模的根本目的.
如“混合运算”一课,在课前高玲老师亲切地与学生谈论旅游的相关话题,给学生们播放崂山的旅游纪录片,激发了学生的学习热情,顺势引入信息图,让学生们在崂山入口处找信息,提问题.学生对老师本来就有好奇心,对老师家乡的名山更是有极大的兴趣,由此自然而然地创设了学生喜闻乐见的与生活紧密相连的情境,自然呈现给学生数学模型的原型,从而激发了学生探究的欲望,为数学模型的应用奠定了基础.
2.回归生活情境,拓展模型外延
人的认识过程是由感性到理性再到感性的循环往复、螺旋上升的过程.从具体的问题经历抽象提炼初步构建起相应的数学模型,并不是学生认识的终结,还要组织学生将数学模型进行适度的生成、拓展和重塑,派生出新的数学模型.例如“图形的周长”课例中,在学生有了对求周长的方法的理解和掌握的基础上,教师设计了小花园里青蛙和小猪在长方形花园中散步的问题,让学生先猜一猜小猪和青蛙谁走的长一些?学生在情境中猜的答案各不相同.在学生遇到问题有解决问题的需要时,教师适时抽象出长方形模型让学生再观察.通过路线演示,学生很容易地看出两只小动物走的一样长.整个教学设计让学生经历了将生活问题抽象成数学问题的过程,并且在猜一猜和检验活动中充分地理解周长的大小和不规则形状的物体的大小无关,虽然从表面上看青蛙走的区域大一点,但是并不意味着青蛙走的路程(周长)就多,而是只与所走的路径(周长)有关,从而深化了学生对模型的理解,使模型的内涵丰富起来.
3.重视解题回顾,建立同类问题模型
在数学解题过程中,解决问题以后,再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究,是非常必要的一个重要环节.这是数学解题过程的最后阶段,也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段.
如“图形中的规律”一课,教师引导学生在找到点数与线段数的关系之后引导学生找到射线数和组成的角数的关系,将线段问题和角的问题进行类比归纳,找到不同类型问题的同种规律.
再如,“数量关系与方程”一课,教师帮学生总结出在寻找等量关系的方法有:从关键句、关键词中找等量关系,从常见的数量关系中找等量关系,从事情变化的过程找等量关系,从公式中找等量关系,从隐蔽条件中找等量关系,通过画线段图找等量关系.通过不同的方法,帮助学生建立解决同种问题的数学模型.
解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果,真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力,培养学生的创造精神,而这一教学目的主要是通过回顾解题的教学来实现.所以,在数学教学中要十分重视解题的回顾,与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析,对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括,可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握,建立起同一类题型的解决模式,并将它们用到新的问题中去,成为以后分析和解决问题的有力武器。
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