用量子力学计算氢原子
下面是小编整理的用量子力学计算氢原子的论文，欢迎各位物理学毕业的同学借鉴哦!
摘 要：氢原子是最简单的原子，在量子力学建立过程中有着特殊地位，有必要对其进行详细的求解。该论文用量子力学理论，通过求解氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到氢原子的能量及能量本征函数。
关键词：量子力学 氢原子 能量 本征函数
从17世纪牛顿力学出现以后，直到19世纪，电动力学，热力学和统计力学也陆续被建立，从而形成了一个完整的经典物理学体系。可是，在解决黑体辐射、光电效应等实验时，经典物理学遇到了空前的挑战，需建立全新的理论来解决面临的困难。1900年，普朗克假说在黑体辐射上有新的突破，1905年，爱因斯坦用量子化解释了光电效应，1913年，玻尔建立“玻尔理论”。但玻尔理论具有一定的局限性，十年之后，量子力学体系逐步建立起来，才完全解释了原子问题。而氢原子是最简单的原子。因此，有必要用量子力学的方法对其进行严格的求解。
1 理论计算
氢原子是最简单的原子，它是由一个电荷为的原子核与一个电荷为的电子构成的。如果取无穷远为势能的零点，则质子与电子的库仑势能为V(r)=。则根据定态薛定谔方程可求出氢原子的能量及能量本征函。在以下的计算中，采用自然单位。为方便，给出氢原子的自然单位：长度的自然单位：，能量的自然单位：。氢原子的约化质量为，质子与电子的.库仑势能为V(r)=。考虑到V(r)的球对称性，我们采用球极坐标系。而因为[]=0，所以角动量是守恒的，在球极坐标系下，薛定谔方程可表示为：
[]=E (1)
由于的各分量是守恒的，而各分量不对易，则根据简并定理可知能级有简并。是守恒量，且与的每一个分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以方便的选为()，方程(1)的解同时选为的本征态，即：
…… (2)
代入式(1)，可得出径向波函数满足方程：
=0 (3)
和满足方程：而为的本征值，待定。
对于式(3)，若令，则在自然单位下满足：
(4)
r=0，是微分方程的两个奇点。
当时，按照波函数的统计诠释，在任何体积元中找到粒子的概率都应为有限值。因此，求解径向方程(3)时，只有渐进行为是∝的解才是物理上可接受的解。
当r时，我们只限于讨论束缚态(E﹤0)，则方程(4)可化为：
(5)
该方程属合流超几何方程。方程(5)在邻域有界的解为合流超几何函数：(6)
当时，无穷级数解～不满足在无穷远处的束缚态边条件。为了得到物理上允许的解，只要等于0或负整数，可以满足这一条件。按式(6)并将其添上能量的自然单位，得出氢原子的能量本征值：(…)，其中：。与相应的径向波函数可表示为：～其中(添上长度的自然单位)，归一化的径向函数为：，
(7)
对于式(4)，在球坐标系下，可表示成：
(8)
将式(7)，(8)代入方程(4)，并成为勒让德方程得：
(9)
在-1≤≤1的区域内，有两个正则奇点，其余各点均为常数。由此可知，只当(…)时，方程就有一个多项式解，即勒让德多项式：(≤m≤)，它在-1≤≤1区域中是有界的，利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数(实)：()。满足。这样，(10)
由此可得，氢原子的束缚能量本征函数为：其中为式(8)，为式(11)。
2 结语
本文运用量子理论，求解了氢原子在库伦势场中的定态薛定谔方程，得到了氢原子的能量及能量本征函数：
(1)氢原子的能量为：，其中：…(主量子数);(2)能量本征函数为，其中：，。
参考文献
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