巧构图妙解题

时间：2022-10-26 07:13:11 学习方法我要投稿

巧构图妙解题

　　对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看：

例1. 已知a，b，c，d都是正数，并且。求证：证明：作和，使斜边，， (如图1)。

　　图1

由得：又所以又所以即

　　例2. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少?

　　解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB

　　图2

　　设AC=x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB

设BD=x+4，表示乙的行驶速度，在AB上，取，表示甲在40分钟所行的路程， ⊥AB，且 =x，连结与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点，于是由，得解得： (舍去) 于是

　　即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。

　　例3. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。

　　图3

解：如图3，画两条直线分别表示甲、乙的年龄，设乙现在的年龄为x岁，从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时，乙为4岁;当乙为x岁时，甲为岁;当乙为岁时，甲为61岁。

　　根据甲、乙的年龄差不变，可得

解得：所以

　　答：甲现在42岁，乙现在23岁。

例4. 设a，b，c都是正实数，求证：证明：时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设，这时要证的不等式转化为。

　　图4

作△ABC(如图4)，CA=CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得，由勾股定理得：又在△CBE中，即

　　综上，命题得证。

例5. 设a，b，c，d均为正数，满足，且a为最大。求证：。证明：不妨取线段，在AC上取一点B，使，则，以BC为直径作⊙O，如图5。

　　图5

设，作割线(或切线) 交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足。因为即因为，所以又在中，AO>AF 所以即有

【巧构图妙解题】相关文章：