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数学与猜想读后感
对数学的感悟读书笔记
为了使自己对数学有更深层次的认识和理解，我看了关于数学的很多书籍来扩大自己的知识面和增长自己的专业素养.希望通过这次的总结能对以后学习数学乃至将来运用数学提供帮助.
一 数学是什么？
我以前一直有一个疑问“数学是什么？”.对于将来毕业后要做数学老师的我来说是个不小的难题，最近在网上看到了一篇文章《数学是什么》，觉得作为一名数学教师很有必要读一读！相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好像有点说不过去.但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“??对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧.
如：文中谈到“‘0’一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了”.难道数学是可以改变的吗？本学期我教十册数学就碰到了这样的问题，“0”现在是自然了，一系列的问题就出现了：比如：“0”是不是偶数？??我也无法回答了.可能也有老师有这样的疑问！“教过《三角形认识》的老师都知道，在这节课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形.为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道.反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会.数学课
上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质.对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者.”在《分数的意义》教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数??步步为营，一层一层地引导下来.如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃.我们不能老是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）.数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力.只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子.某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？100元呢？试比较以上两道题，谁的魅力更大呢？”
看了这篇文章后，我觉得作为一名数学老师，更应该关注的是每一节课，每一个内容的学习要给予学生哪些实质性的东西.我也对数学有了新的认识.数学是一门语言.数学语言具有简洁，无歧义的特点.数学符号往往内涵丰富，具有一定的抽象性.数学教科书中的语言可以说通常是文字语言、数学符号语言、图形语言的交融.数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是“内部语言转化”.即把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式.因此，数学阅读常要灵活转化阅读内容.例如把一个抽象的内容转化为具体的或不那么抽象的内容；把用符号语言或图式语言表述的关系转化为文字语言的形式，及把文字语言表述的关系转化为符号或图式语言；用自己的语言来理解定义或定理等.总之，数学阅
读通常要求大脑建起灵活的语言转化机制，而这也正是数学阅读有别于其它阅读的主要方面.
数学材料的呈现主要是归纳和演绎，具有一定的严谨性，加之数学语言的抽象性，使数学阅读需要具有较强的逻辑思维能力.
数学阅读要求认真细致.阅读一本小说或故事书时，可以不注意细节，跳过无趣味的段落.但数学阅读要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义.对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义.
二、数学中蕴含的哲理
我喜欢数学，对数学有着浓厚的兴趣，数学的一切都是那么的奥妙无穷.而我首先选择，并且看看数学的发展史，首选的书籍当然是《数学史》了，只是我大学时候一本教科书.书里的内容，我感兴趣并且能共同接受的只有一个，悖论，一个数学里面最有哲理的内容.
数学悖论最早是由一位古希腊哲学家芝诺提出来的，所以也叫做芝诺悖论.其中著名的有这么一个，兔子去追乌龟，尽管乌龟爬得很慢，但是兔子永远也追不上乌龟.因为兔子要追上乌龟，必须先到达乌龟的出发点，当兔子追到乌龟的出发点时，乌龟利用兔子追这段路的时间向前爬出了一段，此时乌龟还是在兔子前面，兔子再追，每追一段，乌龟就会多爬出一段，所以兔子永远也追不上乌龟.若从纯数学的角度去看，这只是一个简单的极限问题，就好比小数里面的循环小数，虽然无限多得可以写下去，但是只是局限在某个范围里面，这里的兔子追不上乌龟也被局限在了某个范围里面，我们可以发现乌龟领先的距离越来越短，而且兔子赶上前面那段路的时间也越来越小，就好比0.999......一直在写下一位的9，永远突破不了1，在极限中，当无限接近时就是被认为相等，所以兔子虽然要追很多段路，但花的时间很少很少，直到无限接近于乌龟时，就认为兔子已经追上了乌龟.其实0.999....也可以看作是等于1的.
古希腊的这位哲学家是不可能明白这个数学道理的，却提出一个当时只有极少数人能够解决回答，并且能够解决回答也几乎没有人能理解的数学问题，实在
有些一时口快之感，可恰恰是这些个一时口快，才著就了学术的发展，历史的前进，数学的文明.歌德巴赫只是个数学教师，可他的猜想让世界计算了一个时代.人们只晓拿破仑踏破欧洲的铁蹄，却不知他也在数学史上留名，这位皇帝曾经提出如何只用圆规将一个圆四等分，法国的数学家们由此研究得出尺规作图除了直接划出直线，全部可由圆规单独完成.所以我又得到一致的结论，古人说错了.
我们只是站在古人的肩膀上，数学史上的进步，不可忽视其中任何一个人，一个环节.设想，如果阿基米德活着的话，也许后人就能避免绕大的圈子来研究出一个个的几何图形，可能100年前就能造出现在的房子.如果牛顿没被苹果砸到，那时人们知道的他并不是物理学家，而是史上最伟大的数学家了.再看芝诺，如果他不提那几个悖论，那么，也许是别人会提，至少数学的发展推迟了一个哲学的理论的出现，发现芝诺是和和那些巨人门站在一起.
数学的精髓是其思想，我读《古今数学思想》，这本书主要讲数学置于西方的背景下加以考察，对于中国数学谈的却很少.要谈数学于西方文化及其他领域的相互关系及相互影响，谈数学精神，数学思想在数学领域的体现和应用，然而，关于古希腊和希腊时期的第六章，恰恰强调的是数学精神的独立性和创造性.
古希腊数学家鄙视手工劳动和商业劳动，柏拉图就宣称：“数学应该用于追求知识，而不应该用于贸易”，“自由人从事商业贸易是一种堕落”.即使对实用发明做出过巨大贡献的阿基米德，真正真爱的仍然是演绎性科学，他也认为：“任何于日常生活有联系的技艺都是粗俗的”.希腊人几何发达，代数落后.他们将几何学做成高度发达的演绎公理系统，这在欧几里德的《几何原本》里集了大成.而由于对“数”未能像对几何学那样建立起严密的逻辑体系，希腊人明显有厚几何薄代数的倾向.代数概念一定要转变成几何概念才算合法：解方程必须用几何作图法，二数乘积或三数乘积必须转变成图形的面积或者体积，所以四数的乘积被认为不可思议.但是几何化并不能完成数论的公理化，希腊人只得将无法表示为整数或者整数之比的数称为“无理数”，这个名称一直沿用至今.而数的理论的公理化是迟至19世纪的事了.在几何学内部，希腊人坚持尺规作图得限制，所以有“三等分角”“立方倍积”“化圆为方”所谓三大难题的成立.其实
只要允许用复杂一点的工具，难题不难解决，但是希腊人不允许，因为这样做是突破了公理的藩篱，掺杂近了感情因素，几何学的理性便荡然无存了.对于希腊人来说，维护理性的对立性和纯粹性，比什么都重要，这种独立的，纯粹的理性精神，从来不曾在也有着悠久数学历史的巴比伦、埃及、印度和中国的文化中出现.只出现在古希腊，事情似乎是，数学以及后来自然科学的理性，只能在特定的文化土壤和历史背景中产生，而这种精神本身有是普世的，超文化的.
科学理性的历史形态不拘一格.古希腊（特别是毕达哥拉斯柏拉图学派）的理性是数学本质主义，认为数学的结构既是世界的本质.而由伽利略,牛顿开启的近代物理学的理性则表现为“数学的描述现象”，仅仅是描述现象，而不问本质.牛顿用计算证明，使地球物体自由下落的力是与太阳绕行星旋转的力可以用同一个公式来表示，这就够了.至于问道“万有引力”的本质，牛顿的回答是：“我们应该当力戒假说”.近代科学的伟大创始者都信仰上帝，在他们看来是上帝把世界创造的可以用数学来描述，而他们自己不过是人中的先觉，率先领悟了上帝的旨意而已.当牛顿发现，太阳系的实际运动呈现出偏离计算的不规则性，因而稳定成为问题时，他又不得不假设是上帝的不可知力量在维持着太阳系的稳定性，将理论性能视为上帝力量的显现，归公与上帝是感恩的心情；在理性不能及处，撒手任命.只让上帝来负责是求助的心情.由于感恩的信仰和求助的信仰是应该加以区别的.18世纪的拉普拉斯算出行星运动的不规则是周期性的，因而太阳系还是稳定的，他既不感恩也不求助，所以当拿破仑问他《天体力学》一书中为什么不提上帝时，拉普拉斯回答说：“陛下，我不需要这个阶段”.正因为这一点，我们通过读这本书，从一些科学家的故事中吸取教训，更应该相信真理和科学.
三、如何运用数学处理问题
数是一个概念，数轴是一个用数来衡量距离的经典的工具.数学的符号是将束赋予一些性质.关系实际上是一种逻辑关系.用抽象语言所无法表达的事物叫抽象的抽象.数字逻辑表达的是一种信息结构，揭示了表象之外，不为人所轻易
波利亚《数学与猜想》（第1卷）读书笔记
小教122姚时湾2号
《数学与猜想》(第1卷)通过许多古(转载于:asOliveiraeSilva的工作，用了很巧妙的编程方法。因此大家在做游戏时大可不必担心会出问题。
第三讲汉诺塔问题
汉诺（Hanoi）塔问题：古代有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上（如图）
。
有一个和尚想把这64个盘子从A座移到B座，但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用B座，要求打印移动的步骤。
这个问题在盘子比较多的情况下，很难直接写出移动步骤。我们可以先分析盘子比较少的情况。假定盘子从大向小依次为：盘子1，盘子2，...，盘子64。
如果只有一个盘子，则不需要利用B座，直接将盘子从A移动到C。
如果有2个盘子，可以先将盘子1上的盘子2移动到B；将盘子1移动到c；将盘子2移动到c。这说明了：可以借助B将2个盘子从A移动到C，当然，也可以借助C将2个盘子从A移动到B。
如果有3个盘子，那么根据2个盘子的结论，可以借助c将盘子1上的两个盘子从A移动到B；将盘子1从A移动到C，A变成空座；借助A座，将B上的两个盘子移动到C。这说明：可以借助一个空座，将3个盘子从一个座移动到另一个。
如果有4个盘子，那么首先借助空座C，将盘子1上的三个盘子从A移动到B；将盘子1移动到C，A变成空座；借助空座A，将B座上的三个盘子移动到C。
上述的思路可以一直扩展到64个盘子的情况：可以借助空座C将盘子1上的63个盘子从A移动到B；将盘子1移动到C，A变成空座；借助空座A，将B座上的63个盘子移动到C。
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