《鸡兔同笼》教学方案设计与课堂实录

方案 时间:2018-07-19 我要投稿

  教学目标:

  1.了解鸡兔同笼问题,感受古代数学问题的趣味性。

  2.尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题,使学生体会假设和代数方法的一般性。

  3.在解决问题的过程中,培养学生的思维能力,并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法。

  教学重点:用假设法解决鸡兔同笼问题。

  教学具准备:课件。

  教学过程:

  一、创设情境,激情导入

  1.出示原题

  师:同学们,我们国家有着几千年的悠久文化,在我国古代更是产生了许多位数学家和许多部数学著作,《孙子算经》就是其中一部,大约产生于一千五百年前,书中记载着这样一道有名的数学趣题(课件出示《孙子算经》中的原题):今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?

  2.理解题意

  师:同学们知道这道题的意思吗?请试着说一说。

  生:这道题的意思是现在,鸡和兔在一个笼子里,从上面数有35个头,从下面数有94只脚,问鸡和兔各有多少只?

  师:这道题的意思正如同学们所想的一样,也就是:(课件出示)笼子里有若干只鸡和兔,从上面数有35个头,从下面数有94只脚,鸡和兔各有多少只?

  3.揭示课题

  师:这就是著名的鸡兔同笼问题,也正是这节课要研究的问题。

  [评析:教学即对文化的传承与弘扬,数学教学也不例外。课初,教师利用我国古代数学名著中的数学趣题直接导入新课学习,让学生感受到了数学文化的悠久与魅力,激发了探究的兴趣和动机,明确了本节课学习的目的与要求。导入新课的方式多种多样,惟有适合学生学习所需的才是最佳。]

  二、合作探索,主动构建

  1.出示例1

  师:为便于研究,我们可先从简单问题入手,把题中的35个头和94只脚分别换成8个头和26只脚,就变成了例1:笼子里有若干只鸡兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只?

  2.理解题意

  师:从上面数,有8个头;从下面数,有26只脚分别是什么意思?

  生:从上面数,有8个头是说鸡和兔一共有8只;从下面数,有26只脚是说鸡脚和兔脚数共是26只。

  3.探索策略

  (1)猜想法

  师:鸡和兔各有几只呢?我们不妨猜猜看。

  生1:3只兔,5只鸡。

  生2:6只鸡,2只兔;7只鸡,1只兔;5只兔,3只鸡。

  师:伟大的科学家牛顿曾说:有了大胆的猜想才会有伟大的发明和发现。同学们猜的对不对,不妨验证一下。

  生1:一只兔4只脚,3只兔就有12只脚;一只鸡2只脚,5只鸡就有10只脚,一共就是22只脚,看来没猜对。

  生2:6只鸡、2只兔一共20只脚,也没猜对;7只鸡、1只兔共18只脚,也不对;5只兔、3只鸡共26只脚,猜对了。

  师:在4次猜想中,只有1次猜对了,你们觉得用猜想法解决鸡兔同笼问题好不好?

  生:不是很容易猜出正确答案,而且当头和脚的只数越多时,越不容易猜出答案。

  师:看来,我们还有研究新方法的必要。

  [评析:既鼓励学生大胆猜想,又能让学生体会到猜想法的局限性,还能激发学生探索解决问题新策略的兴趣,这样的教学正是新课程所需要的高效教学。]

  (3)假设法

  ①假设全是鸡

  师:我们先从表格中右起的第一列,8和0是什么意思?

  生:就是有8只鸡和0只兔,也就是假设笼子里全是鸡,这样就有16只脚。

  师:实际脚的只数是26只,这样就笼子里就多出了10只脚,该怎么办呢?

  生: 用刚才我们发现的规律:在鸡兔总只数不变的情况下,每增加1只兔、减少1只鸡,脚的只数就会增加2只,应该增加5只兔,脚的只数才变成26只,即10里面有5个2。

  师:上面的过程能用算式表示出来吗?请同学们试试看。

  (学生试着列算式,请一个学生到黑板上去板演。)

  师:孩子们都写完了吗?多聪明啊!这是一个同学写的算式,我们来听听他是怎么想的。

  生:(对着自己写的算式说想法)假设笼子里全是鸡,就有28=16只脚,而笼子里实际有26只脚,这样就多出了26-16=10只脚,而1只兔比1只鸡多2只脚,这样就有102=5只兔,鸡的只数就是8-5=3只了。

  师:说得多好哇!为了让大家进一步理解这种方法,下面我们边看图边分析(课件演示)。

  师:算出来后,我们还要检验算的对不对,谁愿意口头检验。

  生:32+54=26(只),5+3=8(只)。

  师:看来做对了,最后写上答语。

  ②假设全是兔

  师:我们再回到表格中,看看左起第一列中的8和0是什么意思?

  生:假设笼子里全是兔。

  师:先用假设全是鸡的办法解决了这个问题,现在假设全是兔又应该怎么分析和解决这个问题呢?请同桌边讨论边写算式。

  (学生讨论写算式,然后指名板演。)

  师:这是一位同学写的算式,我们来听听他是怎么想的。

  生:假设笼子里全是兔,就有48=32只脚,这样笼子里实际的脚数就比假设的脚数少了32-26=6只脚,1只鸡比1只兔少2只脚,这样就有62=3只鸡,也就知道有8-3=5只兔了。

  课件演示:假设法 中假设全是兔的情况。

  师:在列表的基础上,我们想到了两种算术方法。回头看看这两种方法的第一步,一个假设全是鸡,另一个假设全是兔,我们给这两种方法起个名字吧。

  生:假设法。

  师:我们都认为猜想法和列表法有局限性,假设法还有局限性吗?

  生:(讨论后)用假设法应该没有局限性了。

  [评析:让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点,也是教学难点。为此,教师以表格中数据变化规律为探究基础,以小组合作、师生互动为探究方式,以课件动态演示为探究辅助手段,巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学语言,即数学算式,从而形成了解决问题的全新的一般策略,发展了学生的思维水平和推理能力。]

  (4)代数法

  师:在解决鸡兔同笼问题时,除了假设法没有局限性外,还有别的也没有局限性的一般方法吗?

  生:方程的方法。

  师:那么就请同学们用列方程的方法试一试。

  (全班尝试,一名学生板演。)

  师:我们来听听这个同学的想法。

  生:设有x只兔,鸡就有(8-x)只。列出方程4x+2(8-x)=26,解是x=5,即有5只兔,8-3=5只鸡。

  师:老师想问你,这里的 4x和2(8-x)分别表示是什么?

  生:4x是兔脚的总数,2(8-x)是鸡脚的总数。

  师:方程解完了也要注意检验,列方程的解法还有个名字也就叫代数法。

  [评析:代数法是学生在五年级已学的旧方法,但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。教师以旧知识和旧方法为基础,放手让学生大胆尝试、自主探究,并抓住其中的疑难点设问,帮助学生真正理解过程、掌握方法、提升技能。]

  4.小结方法

  师:请同学们回忆一下,在解决鸡兔同笼问题时,用到了哪些方法?

  生:猜想法,列表法,假设法和代数法。

  师:要你们解决《孙子算经》中原题,你现在会选用哪种方法呢?

  生1:我选择假设法,假设法比较简便。

  生2:我选择代数法,代数法也好理解。

  师:下面同学们就用自己喜欢的方法解决这个问题。

  [评析:在计算教学中,需要算法多样化,更需要算法的优化;同样,在解决问题教学中,需要策略多样化,更需要策略的优化。发散思维与收敛思维应该兼顾并进。但优化并不等于强加,优化也强调自主和需要过程。在这里,教师对此都恰倒好处地予以了关照。]

  三、分层练习,深化认识

  1.解决原题

  生:先独立完成《孙子算经》中的原题,后相互评议。

  师:刚才我们用自己的方法解决了这个问题,那么《孙子算经》中又是怎样解决这个问题的呢?同学们想知道吗?我们一起去看看?(课件演示抬腿法 )同学们古人的解法巧妙吗?如果大家对这种解法感兴趣,课后可以再研究。请同学们想一想,在日常生活中还有哪些情况类似于鸡兔同笼问题?

  2.举出实例

  生1:买了一些苹果和梨子,告诉苹果和梨子的单价和总数量,还有总的价钱,求苹果和梨分别买了多少千克。

  生2:自行车和汽车一共有几辆,一共有多少个轮子,求汽车和自行车分别有几辆。

  师:可见生活中类似于鸡兔同笼的问题有很多,这些问题都可用不同的数学方法来解决,课后可用我们喜欢的方法解决这些问题。

  3.课堂作业

  从第115页做一做中自选1~2道题完成。

  [评析:《孙子算经》中原题的解决,让学生排除了课初的悬念;作为特殊而巧妙的古代抬腿法的课件简介,让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力;放手让学生对生活中类似于鸡兔同笼问题的列举,让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在,进而凸显了本节课的学习价值;书面作业的当堂完成和自由选择,足以体现了教学的高效和学生解决问题技能的及时训练与提升,以及对学生学习自主性的尊重。]

  [总评:鸡兔同笼问题过去是少数精英学生学习的竞赛内容,如今是全体学生学习的一般内容。如何能较好地达成教学目标,让全体学生学得了、学得好、学得乐,广大教师都在密切关注。从本节课的教学效果来看,学生的表现还的确如此。究其原因,主要是教师特别注重了以下主要方面。

  1.注重解题策略的多样

  教学中,教师组织学生多手段、多层面、多角度地探索问题,学生先后运用猜测法、列表法、假设法、代数法等分析和解决问题,从而获得了分析问题和解决问题的基本方法和一般方法,体验了解决问题策略的多样性,发展了创新意识。在注重解决问题策略多样化的同时,教师还注重了解决问题策略的自主优化,注重了不同策略间的相互联系和影响,注重了解决问题策略的局限性和一般性。

  2.注重思维能力的培养

  让学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,用数学语言清晰地表达自己的想法是培养学生思维能力的重要途径。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想,从一般验证到表格中数据变化规律的发现,从列表法很快自然联想到假设法、代数法,学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化,学生的思维能力也随之得到了极大的提升。

  3.注重数学思想的渗透

  数学广角是人教版课程标准实验教科书中新增的教学内容之一,主要渗透一些基本的数学思想和方法。本节课作为本册教材数学广角中的唯一教学内容,也要求教师有意识的向学生渗透数学思想和方法。如:用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的替换法解决问题,渗透了转化的思想和方法;用列表法解决问题,渗透了函数的思想和方法;用算术法解决问题,渗透了假设的思想和方法;用方程法解决问题,渗透了代数的思想和方法等等。这些对于学生而言,无疑奠定了可持续发展的坚实基础。

  4.注重数学文化的传承

  鸡兔同笼问题是《孙子算经》中一道影响较大的名题,一直流传至日本等国,引起了许多国家的众多数学爱好者的广泛关注。教学中,教师把《孙子算经》、《孙子算经》中关于鸡兔同笼问题的原题和《孙子算经》中用抬腿法这种特殊而灵巧的方法解决这一问题的过程,用课件科学而生动地再现于课堂,极大地激发和调动了学生的探究兴趣,充分地传承和弘扬了经典的数学文化,较好地体现和提升了课堂的教学品味。]

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