微积分中的反例论文

数学毕业论文 时间:2018-01-05 我要投稿

  微积分中的反例论文列举了微积分中常见的典型反例,并论述了反例在微积分教学中的作用:一方面可以强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透彻理解定理的条件;另一方面有助于培养学生的逆向思维能力,更有助于培养学生的数学技能.

  微积分中的反例论文【1】

  【关键词】 反例;微积分;函数;微分;积分

  用命题形式给出的一个数学问题,要判断它是错误的,利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证,就足以否定这个命题,这就是反例.通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法.反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.

  在微积分中存在大量的反例,其意义远远超过了它的具体内容,除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外,还促进了学生的辩证思维方式的形成.

  1.连续、可导、可微问题

  微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系,可以通过运用适当的反例进行准确理解把握.同时也能培养与提高学生的辩证思维能力.

  情形1 若函数y=f(x)在a点处连续,则函数y= f(x) 在a点处也连续.但其逆命题不成立.

  反例:函数f(x)= 1,x>0-1,x<0 ,

  虽然 f(x) =1在x=0处连续,但f(x)在x=0处不连续.

  情形2 若函数y=f(x)在点x处可导,则函数y=f(x)在x点处连续.但其逆命题不成立.

  反例:函数f(x)= x = x,x≥0-x,x<0 ,

  虽然函数f(x)= x 在x=0处连续,但函数f(x)= x 在x=0处不可导.

  情形3 函数y=f(x)在x=x0处可导,则函数f(x)在x=x0的邻域内不一定连续.

  反例:函数f(x)= x2,x为有理数0,x为无理数 ,

  在x=0处可导,但在0点的任何邻域,除0点外都不连续.

  情形4 函数f(x)在x=x0处可导,则f(x)在x=x0处是否有连续导数?

  反例:函数f(x)= x2sin 1 x +1, x≠0,0, x=0.

  在x=0处可导,但导数不连续.

  事实上,f′(0)=lim x→0 f(x)-f(0) x-0 =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0,即函数f(x)在x=0处可导.但当x≠0时,f′(x)=2xsin 1 x +x2cos 1 x - 1 x2 =2xsin 1 x -cos 1 x

  极限lim x→0 f′(x)=lim x→0 2xsin 1 x -cos 1 x 不存在,即函数f(x)的导数不连续.

  综上归结,对一元函数f(x)在点x0可有:可微可导连续有极限.通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系.

  情形5 当f(x0)≠0时,由 f(x) 在x0可导不一定能推出f(x)在x0可导.

  反例 :函数f(x)= x,x∈ 0,1 ,-x,x∈ 1,2 .

  而 f(x) =x,x∈ 0,2 ,显然 f(x) 在x0=1处可导,但f(x)在x0=1处不可导.

  2.无穷大量与无界量问题

  情形6 无穷大量必为无界量,但无界量不一定是无穷大量.

  反例:函数f(x)=3xcos2x+1,

  在U +∞ 上无界,但lim x→+∞ f(x)≠∞,若取数列xn=nπ+ π 4 n=1,2,… ,则xn→+∞ n→∞ ,而lim n→∞ f xn =lim n→∞ 3 nπ+ π 4 ・cos 2nπ+ π 2 +1=1,即f(x)并不趋于∞,f(x)不是无穷大量.

  3.函数的极大(小)值与最大(小)值问题

  情形7 可导函数的极值点一定是函数的驻点,但驻点不一定是函数的极值点.

  反例:x=0是函数f(x)=x3的驻点,但不是其极值点.

  情形8 函数f(x)的极大(小)值不一定就是最大(小)值.

  反例:函数f(x)= 4 3 x3-4x2+3x+1,x∈ -1,3 ,

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