线性代数课堂教学论文

数学毕业论文 时间:2018-01-19 我要投稿

  线性代数课堂教学论文【1】

  【摘要】本文从线性代数课程的特征出发,研究了在保持课程内容体系不变的前提下,通过把握主线、引入几何观点、结合代数发展史三个方面,来改进传统的线性代数课堂教学.结论表明,以上的改进不仅能减轻由于代数的抽象性带来的学习困难,达到更好的教学效果,同时能在课堂中提高学生的数学能力及数学素质,培养学生的创造性思维能力.

  【关键词】线性代数;课堂教学;教学主线;几何观点;代数史

  线性代数及微积分(常称为高等数学)、概率论与数理统计是当今大学生三门必修数学课.由于中学数学教材改革和新课标的实施,微积分和概率论与数理统计课程中的部分知识点已经在学生的高中阶段都有所接触,而且这两门课的大部分知识都有较为丰富的背景和应用范围.相比而言,线性代数中的行列式、矩阵概念对学生是全新的,没有在中学接触过的,就现行的大量教材来看,线性代数在内容安排上,显得逻辑性、抽象性有余,而背景性和应用性不足.

  加上线性代数一般都安排课时较少,所以使得学生对线性代数课程的学习更加吃力,达到的教学效果也不尽理想.本文探讨在不改变线性代数课程内容体系的前提下,如何改进课堂教学方法,以达到更好的教学效果.

  一、教学中必须把握两条主线

  如前所述,与其他两门数学课程相比较,线性代数的教材编得更为抽象,更加远离现实.学生通常会觉得概念、定义多,而且由于缺乏背景,一般会显得零散,各种概念之间的联系也较难把握.在课堂教学中,必须把握线性代数课程的两条主线,才能把这些大量的概念连起来,形成一个整体.

  1.第一条主线是线性方程组

  求解线性方程组是线性代数课程的一个主要任务,将中学的消元法经过一次抽象,就是线性代数中矩阵的初等变换概念.根据各种方程组的特点,形成了线性代数课程中一系列概念和方法.当未知数个数与方程的个数相等的时候,行列式可以派上用场,于是引出了行列式的初等变换、求值、克莱姆法则等相关概念.对一般的线性方程组,我们用秩来描述“真正起作用的方程的个数”,方程组的有解无解,有唯一解还是无穷多解,自由未知量的个数,都可以用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来理解了.

  为了对无穷多解有更深入的认识,把方程组的解看成向量,对齐次线性方程组,就需要引入向量空间的概念,这样就不难理解线性相关与线性无关、最大线性无关组这一连串的概念了.可见,抓住了线性方程组这条主线,就可以把行列式、矩阵、向量组这些概念合理地联系起来了.

  2.第二条主线是二次型的标准化

  解析几何中很重要的一个主题就是要把一些二次曲线方程化为只含有平方项的二次型,以便研究曲线的类型,这就是我们所谓的二次型化为标准二次型.利用矩阵这一工具来完成这个过程,需要从矩阵的特征值和特征向量出发,来讨论实对称矩阵的对角化问题.线性代数课程一般给出了三种化二次型为标准二次型的方法,着重讨论的是用正交变换的方法.

  在课堂上,抓住这样两条主线,不但可以避免概念的零碎,而且对学生掌握线性代数整个课程体系也是非常有帮助的.

  二、在课堂上引入几何的观点来介绍代数知识

  大部分线性代数教材都从知识结构的逻辑性来安排内容,使得代数知识以抽象的面孔出现在学生面前.事实上,在中学阶段,学生学习初等代数时,是非常注重代数与几何之间的结合的.数形结合不仅有利于降低学生的理解难度,也是掌握代数思想的一个必然要求.如何用几何的观点来学习代数,是一个在线性代数的课堂教学中值得思考的问题.

  (5)的解即为方程组(2)的满足整体误差最小的近似解,这就是最小二乘法求最优近似解的结果.从上面的例子可以看出,直观的几何意义使得很多推算得到了简化,更能让学生加深对概念和方法的理解.

  三、从代数发展历史的角度来讲线性代数课程

  前面提到,大部分教材的编排由于注重严格系统化的形式推理,都不可避免地使线性代数抽象性特征明显,我们在课堂教学中,不妨灵活处理知识的来龙去脉,站在从知识发展的历史的角度来认识这门课程,这也是引起国外越来越多大学重视的一种教学方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大学数学教材,就是基于这一观点来编写的.

  2008年,普林斯顿大学出版社出版了《普林斯顿数学指南》(the Princeton Companion to Mathematics),这是一本数学综合类的普及读物,全书共有一千多页,尽量用浅显的语言,把现代数学知识的来龙去脉解释清楚.在线性代数的课堂教学中,如果能借鉴这种从知识产生历史角度来讲授知识,不仅能让学生理解知识之间的内在联系,更为可贵的是,能把很多数学大家当时对这些数学问题的思考过程呈现在学生面前,对学生创造性思维的形成过程大有益处.

  四、结 语

  线性代数课程由于其自身的特征给教学带来一定的难点,如何在不改变课程知识体系的前提下,达到较好的教学效果,让学生能在抽象的代数学习中,接受知识,形成创造性思维方式,提高数学能力和素养,是每个大学数学教师面临的一个重要课题.本文从教学实践中,结合国内外相关的数学教育理论,提出了几条相应的措施.要提高教学质量,需要长时间在实践不断去完善教学手段和教学方法,唯有高质量的课堂教学,才能保证线性代数课程较好的教学效果.

  【参考文献】

  [1]同济大学数学系编.线性代数[M](第六版).北京:高等教育出版社.

  [2]杨小远,李尚志.大学一年级学生创新能力培养探索与实践[J].大学数学,2012(4):13-21.

  [3]李大潜 漫谈大学数学教学的目标与方法[J].中国大学教学,2009(1):7-10.

  [4]刘春林,李宝娣.线性代数教学方法探索[J].衡阳师范学院学报,2012(3):153-155.

  [5]李尚志 线性代数新教材之精彩案例(之二)[J].大学数学,2012(4):5-12.

  线性代数课堂教学方法【2】

  [摘要]在大类招生背景下,线性代数是浙江大学大类课。

  它的教学效果对学生今后的学习是至关重要的。

  本文是作者在浙江大学教学中总结出课堂教学的一些策略和方法。

  [关键词]线性代数;课堂教学;方法

  一. 浙江大学线性代数现状

  大学基础数学课程(主要指微积分、线性代数、概率论与数理统计),是重要的大学基础课之一。

  基础知识的学习可以受用终身。

  如果没有打下良好的基础,学生很难真正理解高深的应用技术。

  这是因为数学的理论与方法已被广泛应用于自然科学、工程技术及工农业生产的各个领域,数学技术已成为高技术的突出标志和重要组成部分,数学的影响和作用已深入到各个行业,可以说是无处不在。

  线性代数是让学生通过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练,逐步形成运用线性代数的原理和方法解决实际问题的思维模式和思维习惯,提供进一步学习所必备的代数知识.公理化演绎的思想(如:线性空间等各类代数系统),分类的思想(如:矩阵的相似等等各种等价关系),相互关联的思想(如:同态等各种形式的映射),矩阵的方法,初等变换的方法,抽象推理的方法…等等,是以后进一步学习和研究的基本思想。

  浙江大学在四校合并以后,经过多年的调整,承担课程教学的主要队伍已经稳定。

  在相对稳定的11人教学队伍中有教授4名,副教授6名。

  获博士学位的有8位,承担课程的老师均为中青年教师,教学效果良好。

  现有的教学队伍基本上能够以科研来带动教学的改革,把课程的前沿知识、研究现状和发展趋势,及时贯彻到教学过程中,常讲常新。

  这为新的课程建设和课堂教学改革的开展提供了良好的队伍基础。

  在每学期开学之时,我们按时确定学期的教学内容安排,制定教学日历,并

  按照规定把教学资料上传网络。

  教学期间,严格按照制定的教学安排实施教学,每周安排两位教师答疑;期中时举行教学研讨会交流经验,开展为青年教师的集体备课等活动;期末时,集体讨论评分标准,集体改卷。

  这些规范化的管理,为我们实施课程教学改革提供了良好的保证。

  线性代数是浙江大学的校精品课程,得到学校的大力支持。

  目前,浙江大学的线性代数正着手推进省精品课程,在推进过程中,我们不断锐意改革,总结了一套很好的课堂教学方法。

  针对浙江大学理学院大类招生制度的建立,由于培养模式的改变,为了使教学内容更大范围覆盖学生类别,我们编写了适合大类招生需求的《高等代数》 教材,增加小字部分的内容提高难度,以适应对数学有较高要求的学生。

  原先教师都采用陈维新编的线性代数教材。

  由于新教材的采用,如何适应新教材的教学,特别是组织课堂教学,成为一个重要的课题。

  二.课堂教学改革

  1.传统教学手段与现代教学手段灵活运用

  传统的教学一般采用前苏联教育家凯洛夫的“五段式教学”,即组织教学、检查旧课、讲授新课、巩固新课和布置作业。

  由于数学学科的特点,传统的利用黑板板书的教学模式,在线性代数教学中有着现代教育技术所不具备的优势。

  线性代数涉及很多数学符号和复杂的计算,所以现代教育技术有着克服不了的困难。

  在教学过程中,我们采用由单纯的PPT课件的教学以及单纯的板书教学,过渡到把两种授课方式结合在一起的教学模式中,并积累了一定的经验取得了良好的教学效果,提高授课的质量。

  2.强调把建模思想融入线性代数教学

  以线性方程组为主线,矩阵为工具,介绍线性代数的基本知识、基本理论和

  线性规划模型以及整数规划模型,突出学生应用数学方法和现代化计算工具解决

  各种实际问题的能力培养,注重于建立模型方法的介绍和实际应用。

  例如教师

  在教学过程中可以介绍一些网络流模型。

  网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。

  通过这些模型的介绍,可以激发学生学习兴趣,以模型带动理论教学有意想不到的效果。

  浙江大学在这方面有过成功经验,并且在期末考题融入建模试题。

  3.从实际出发,注重概念与定理的直观描述和实际背景,再讲逻辑推理。

  本课程是理论型的课程,没有实验部分。

  我们提出在数学教学中要返璞归真,从源头讲起,讲清楚问题产生和发展的过程,讲明道理,再讲推理,然后再抽象化和形式化.通过习题的练习,使学生掌握、熟悉基本内容和基本技巧,以附录的形式在学习到相关章节的时候,向学生提供具有实际意义的背景资料,拓宽学生的知识面,这在以前的教学活动中并不常见。

  由于教学课时的限制,这部分背景资料的学习,并不占用课堂时间。

  在教学内容上,在保留我国传统的重归纳、演绎、推理的基础上,更注重分析、综合的思想。

  对一些重要的概念的引入,注重概念实际背景的分析与教学。

  许多定理的结论与条件用发现探索的方式引出并用分析、综合的方法给予证明,激发学生的探索精神并对定理深入理解。

  4.基于问题的探究式教学

  根据不同情况学生的不同特点,参照在教学过程中积累的经验,教师在课堂有

  导向性向各个由学生组成的小组提出一些问题,要求学生理解并作适当的回答。

  对于学生而言,他们需要在小组中讨论这些问题,并对这些问题的定义,性质以及如何应用等等做出解释。

  在问题的构思上必须精心设计,做到既要使学生以现有的知识水平无法轻易回答问题,又对课堂教学有实际意义。

  这样,在小组讨论中,学生容易会对讨论的主题抱有种种疑惑。

  而为了解决这些疑惑,学生就要通过各种渠道进行自主学习,从而最终得到问题的答案。

  5.开通微博微信答疑:

  利用学校提供的先进的技术教学平台,助教把批改作业时发现的典型错误公布

  在网上,学生思考,找出错误原因。

  学生有问题可以发布在网络课程中的问题集锦里,由教师、助教,也可以是学生来回答,共同讨论。

  教师、助教在网络虚拟课堂与学生进行交流,使学生对教学内容有了深刻理解,提高了学习质量。

  课堂上,讲重点,讲知识的背景与形成过程,揭示知识的内在联系,充分调动学生的积极性、主动性;自学是指有些教材内容则采用学生自学为主,教师给出思考题,课后下班辅导及答疑.去年开始,开通我们开通微博微信答疑,笔者可以通过移动网络随时与学生互动答疑,效果非常好。

  三.课堂教学改革的亮点

  强调团队合作精神,提倡自主学习,互相讨论、团队讨论、问题发现、师生探讨法。

  将数学建模思想和方法融入到线性代数的教学,将数学建模教学中的教学理念、教学内容、模块化教学、案例教学等方法引入线性代数教学,推进线性代数教学改革。

  首次提出开通微博微信答疑,学生有问题老师可以通过网络、手机等及时解答学生问题。

  参考文献:

  [1]黄正达,李方,温道伟,汪国军.高等代数(上册)[M].浙江:浙江大学出版社,2011.

  [2]李方,黄正达,温道伟,汪国军.高等代数(下册)[M].浙江:浙江大学出版社,2013.

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