一阶微分方程的应用

数学毕业论文 时间:2018-04-13 我要投稿

  一阶微分方程的应用【1】

  摘 要:微分方程在实际中应用广泛。简单介绍了一阶微分方程的几种应用。

  关键词:微分方程;应用;研究

  微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支,它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容,为了激发学生们学习的兴趣,让他们觉得学有所用,下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.

  一、在力学中的运用

  动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma,这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a,a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时,要特别注意问题中的定解条件,如初始条件等.

  例1.物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■),空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下,落体存在的极限速度v1.

  解:设物体质量为m,空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受到的合外力为

  F=mg-kv2

  由牛顿第二定律列出微分方程

  m■=mg-kv2

  因为是自由落体运动,所以有v(0)=0.

  求解上述微分方程的特解即得:

  v=■

  当t→+∞时,有

  v1=■=■.

  据测定,k=aρs,其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.

  人们正是根据上述公式,为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小,在落地速度v1,m,a,ρ一定时,就可定出s来.

  二、流体混合问题

  中学数学中有这样一类问题:某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后,加入浓度为c2的液体V2升,要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.

  但是在生产中还经常遇到如下的问题:容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时,流体体积为V0,物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体,而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.

  这类问题称为流体混合问题,它是不能用初等数学解决的,必须利用微分方程来计算.

  我们利用微元法来列方程.设在时刻t,容器内物质A的质量为x=x(t),浓度为c2.经过时间dt后,容器内物质A的质量增加了dx.于是有

  dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.

  因为c2=■,

  代入上式有

  dx=(c1v1-■)dt,

  或■=-■x+c1v1.

  这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.

  例2.某厂房容积为45×15×6m3,经测定,空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备,以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气,同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.

  解:设在时刻t,车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后,室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.

  于是有4050dx=360(0.05-x)dt,

  即dx=■(0.05-x)dt,

  初始条件为x(0)=0.2.

  将方程分离变量并积分,初值解满足

  ■■=■■dt,

  求出x有x=0.05+0.15e-■t.

  t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.

  即开动通风设备30分钟后,室内CO2的含量接近0.05%,基本上已是新鲜空气了.

  三、牛顿冷却定律的应用

  牛顿冷却定律:把温度为T的物体放入处于常温T0的介质中,T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.

  设物体的温度为T(t),于是可列微分方程

  ■=-k(T-T0),k>0.

  例3.某小镇发生凶杀案,法医于下午6点到达现场,测得此时尸体的温度为34度,1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度,警方经过反复排查,圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某,但二人均辩称自己无罪,并陈述了各自当日下午的活动情况:张某称,他下午一直在办公室,5点下班后离开;李某称,下午一直上班,4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实,从二人上班地点到案发现场只需要10分钟,试分析两人能否都排除嫌疑?

  解:设尸体在t时刻的温度为T(t),由牛顿冷却定律可得定解问题

  ■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32,

  解得T(t)=21+13e-0.167t.

  设死者死亡时为正常体温37度,即T=37,由上式求出死亡时间

  t=■・ln■≈-1.25小时.

  由此推断出,死者的死亡时间为6:00-1:15=4:45,即下午4:45左右,因此李某有作案时间不能排除嫌疑,张某无作案时间.

  四、医学中的应用

  例4.有一种医疗手段,是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能,正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色,30分钟后还剩下0.1克,试问此人的胰脏是否正常.

  解:正常情况下,设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量,则每分钟吸收的染色为■=-0.4S,本题可知S(0)=0.3,故得到定解问题

  ■=-0.4SS(0)=0.3,

  通过分离变量法,解得S(t)=0.3e-0.4t,则30分钟后剩余的染色量为

  S(30)=0.3-0.4×30≈0,

  而实际此人剩余0.1克,由此可知,此人的胰脏不正常,应该接受治疗.

  参考文献:

  [1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社,2001,3.

  [2]姜启源,叶金星.数学模型.高等教育出版社,2004,12.

  [3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社,2009,6.

  一阶高次微分方程的求解【2】

  【摘 要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题,来归纳讨论一阶高次微分方程的求解,并给出相关的例子进行说明。主要是一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有一些解法,但由于某些方法的局限性,对于某些方程不合适,所以探讨一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有必要。

  本文给出了一阶二次微分方程与一阶三次微分方程的主要定理,主要是根据方程在极坐标变换下的求解定理,提供了求解这两种微分方程的另一种解法跟途径,并且也能更好地了解一阶高次微分方程的求解。

  【关键词】一阶二次微分方程 一阶三次微分方程 极坐标的变换 求解

  一 引言

  微分方程是常微分方程和偏微分方程的总称。数学上把联系着自变量、未知函数以及它的导数(或微分)的关系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时产生的,但它的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。

  常微分方程的概念、解法以及相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,不过求出解的情况不多,在实际应用中多求满足某种指定条件的特解。

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