微分方程的近似解法

时间：2022-10-07 14:25:48 数学毕业论文我要投稿

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微分方程的近似解法

　　微分方程的近似解法【1】

　　【摘要】微分方程的近似解具有很大的理论意义，而微分方程的解和解的唯一性又是进行近似计算的前提，也是求微分方程近似解的理论基础。对于有初始条件的微分方程可以选用，欧拉方法和逐次逼近的方法来求得微方程近似解。

　　【关键词】微分方程的近似解;欧拉折线法;逐次逼近法;唯一性定理

　　微分方程理论中最基本的内容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理论意义。但是，由于能求出精确的微分方程为数不多，那么，微分方程近似解法就显得十分重要，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。

　　如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要确定哪一个解却要近似地去确定它，问题也是不明确的，这样一来，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理论基础。下面我就只有已知初始值的问题，对这个问题说明欧拉方法和逐次逼近法的思想，来近似求解微分方程。

　　欧拉折线法

　　设在平面上点(x，y)上某个区域D中给定微分方程：

　　(1)

　　且该方程在区域D上定义了一个方向，(1)在D上任取一点(x0，y0)，经过这个点作直线L0。(2)在直线L0上任取一点(x1，y1)且使(x1，y1)相当接近于(x0，y0)，经过点(x1，y1)作直线L1。(3)在L1上任取一点(x2，y2)，且使(x2，y2)相当接近(x1，y1)，再作直线L2………….

　　设x0

　　我们希望通过(x0，y0)点的每一条欧拉折线，当每一段都很短时，可以作为通过点(x0，y0)的积分曲线L的某种表示，当最长的线段都趋于零时，即每段也都趋于零时，欧拉折线就接近于积分曲线。

　　当然在这里我们首先必须假定积分曲线存在是唯一的。事实上只要函数f(x，y)在区域D内连续，就可以得出无限序列的欧拉折线，其最长的直线趋近于零。则这个序列就收敛于某个积分曲线L.

　　但在此时仅是存在，一般说来还不是唯一的。可能存在不同序列的欧拉折线，它们收敛于不同的积分曲线，且均通过同一个点(x0，y0)。

　　例如：仅含有一个未知数的一阶微分方程.

　　(2)

　　为使得在区域D中任何点的斜率为f(x，y)，必须除掉平行于oy轴的方向，我们研究的曲线只是x的函数图形。因此，如果某一曲线它与垂直于于X轴的另一直线有多于一点的交点，这个函数就不是单值对应，此时，我们把(2)的求解问题加以推广，而考虑：

　　还有基于其它思想，找寻微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。

　　微分方程的数值解法【2】

　　摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。

　　关键词:常微分方程数值解法 Euler方法改进Euler法

　　1、Euler方法

　　由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点的积分曲线，并且在该曲线上任一点处的切线斜率等于函数的值。

　　根据数值解法的基本思想，我们取等距节点，其中h为步长，在点处，以为斜率作直线交直线于点。如果步长比较小，那么所作直线与曲线的偏差不会太大，所以可用的近似值，即：，再从点出发，以为斜率作直线，作为的近似值，即：

　　重复上述步骤，就能逐步求出准确解在各节点处的近似值。一般地，若为的近似值，则过点以为斜率的直线为：

　　从而的近似值为：

　　此公式就是Euler公式。因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线。举例说明：

　　解： ,

　　精确解为：

　　1.2 -0.96 -1 0.04

　　1.4 -0.84 -0.933 0.933

　　1.6 -0.64 -0.8 0.16

　　1.8 -0.36 -0.6 0.24

　　2.0 0 -0.333 0.33

　　2.2 0.44 0 0.44

　　通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。

　　2、改进Euler法

　　方法构造

　　在常微分方程初值问题 ,对其从到进行定积分得:

　　用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：

　　用和来分别代替和得计算格式:

　　这就是改进的Euler法。

　　解：

　　解得：

　　由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出

　　问题的精确解是

　　误差

　　0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140

　　0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183

　　0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411

　　2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973

　　通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。

　　3、结语

　　Euler方法是一种最简单的解决常微分方程初值问题的方法，相应的它的精度最低，在计算中如果步长h较大的话，误差将会比较大，所以使用时应注意控制步长h，并且随着步长的增多误差的不断积累，最后所得的结果误差也会较大，只有在控制步长、精度要求不高的情况下使用，主要适用于对的估值上;虽然改进Euler法在取相同步长h时它的计算量是Euler方法的二倍，但它的精度比较高，能够满足一般要求，平时使用较多。

　　参考文献

　　[1]朱思铭,王寿松,李艳会.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

　　[2]余德浩,汤华中.《微分方程数值解法》.科学出版社,北京:2002.

　　[3]李庆样等编.《数值分析》.高等教育出版社,2000.

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