工科研究生现代数学教学方法的若干体会论文
摘要：文章从现代数学的演变趋势和特征出发，结合其对工科研究生数学课堂教学带来的挑战以及目前现代数学课堂教学中存在的主要问题，指出了未来工科研究生现代数学课堂教改的基本方向，并就如何更好地开展该课程教学提出了一些心得体会。
关键词：现代数学；课堂教学；工科研究生
一、现代数学的演变趋势和特征
多年来，伴随着数学的不断发展，人们难以給数学下一个确切的定义，包括其特征刻画。恩格斯在《反杜林论》中，将数学定义为“纯数学的研究对象是客观世界的空间形式与数量关系”。空间形式即为几何学，这在客观上完整地概括了19世纪以前数学的对象和本质，因而被誉为“经典定义”。但是20世纪数学的大发展衍生出的许多新特征，已经不能为经典的数学定义所概括。因为现代形式的数学已成为非常抽象的学问，并且完全演变成一种无物质内容的符号系统和一定公理规则下的推演技术。数学的这种离开物质内容的特有空洞性，加上它那曲折而奥妙的逻辑推演技术，造成了数学特殊的认知难度。
然而，现代数学在科学技术发展中越来越展示出巨大的力量。众所周知，它已成为物理科学的语言和设计模型以及探索自然机理的手段。同时它又是其他自然科学、工程科学、经济科学、管理科学甚至一切应用科学与技术的不可或缺的重要工具。现代数学的这种无比广延的普适性，也正充分地说明了它对现实物质世界无限高远的概括性和抽象性。这种抽象性越高，越与人的感官能及的直接经验相去甚远，同时导致在认知上就更难，但是人们又不得不接触它、接受它，因为它已经渗入到人类生活的一切领域。
二、工科研究生现代数学教学现状、问题和挑战
工科研究生现代数学教育是工科研究生教育必不可少的重要组成部分。对工科研究生的教育，必须培养其独立解决科学技术发展中出现的理论和实际问题的能力。由于数学的应用已经直接或间接地触及到了人类社会生活的几乎一切领域，因此大多数工科院校的研究生课程设置里，还包括多门现代数学课程，以便学生掌握和运用数学技术。这同时也说明要培养属于高级专门技术人才的硕士和博士，必须具备较高的数学修养和较丰富的数学知识，否则就难于在当代科技的发展中作出开创性的成果。
但是工科研究生现代数学课程教学效果很不理想。目前工科研究生的主要来源是工科院校本科应届毕业生。大多数院校工科本科生的数学课程主要有“高等数学”、“线性代数”、“概率统计”，而其他的数学课程如“复变函数与积分变换”、“离散数学”等一般只作为选修课程。也就是大多数入学研究生具备的这些数学知识多数还是属于较古典的内容，近、现代数学知识特别是接近实际应用的数学知识储备尤为不足。在研究生阶段，大部分工科院校考虑到实际的需求，給研究生开设现代数学课程呈现多样化的趋势，以加强他们的数学素质和修养，包括抽象思维能力和逻辑思维能力以及运用数学解决实际问题的能力，但效果并不理想。因为其中涉及的必修现代数学课程包括“矩阵论”、“泛函分析”以及“数值分析”等课程总体上仍属于基础理论课，其高度的抽象性和实际的应用存在较大的差距。一方面，当学生学习理论性较强的现代数学课包括分支领域时，他们往往缺乏兴趣，逃课、开小差、打瞌睡的现象比较普遍；另一方面，学生不愿意学，老师也就很难提起精神认真教授对工科研究生来说非常重要的数学课了。
三、工科研究生现代数学课堂教学改革势在必行
工科研究生的数学课堂教学是研究生直接学习和吸收数学知识的最重要的途径。那么如何通过课堂教学使研究生更好地吸收现代数学思想和方法、提高其数学素养和运用数学工具解决问题的能力呢？笔者认为应该对现有的现代数学课堂教学方式进行改革。
从管理的角度来讲，需要充分认识到研究生现代数学教育的重要性。一方面，在课程的设置上，既要重视培养和提高研究生的数学抽象思维能力和逻辑思维能力这一现代数学教学的基本任务，又要重视加强数学的实际应用，提高学生运用数学工具解决实际问题的能力；另一方面，要通过宣传和思想教育，让研究生认识到现代数学教育的重要性，使其更加积极地投入到现代数学的学习中。 对于教师而言，要不断地创新现有的教学方法。就职业道德而言，每一位給研究生教授现代数学的教师都要认真对待每一次的课堂教学；充分发挥其主导作用，尽力安排好课堂教学内容；细心研究如何教好每一堂课，不能照本宣科，力求授课内容浅显易懂，吸引学生的听课兴趣；特别是可以从本学科的起源、发展和走向即应用于何处来讲，使学生对所学的现代数学分支领域有一个总体上的了解和把握。
要注重加强学生和老师之间的良性互动。一方面，鼓励和引导学生主动提出其在专业学习过程中遇到的需要借助数学手段才能解决的实际问题，授课教师可以为其提供数学思路和方法，帮助其解决实际问题；另一方面，教师可以结合所讲授的课程内容和方法为学生多搜集一些实际的应用案例，以提高学生学习的兴趣、主动性和积极性。比如在学习“泛函”这个抽象的概念时，由于其原型是函数，学生接受起来相对容易。为了将该概念和实际应用结合起来，可以让学生严格按照该概念，结合自己专业构造一个泛函出来。这个习题看似简单，但学生在构造过程中，需要结合自己专业概念，先要构造一个线性空间来，然后才能在该线性空间上构造出泛函。这种方法既可以锻炼学生思考问题的能力而且也有助于这个概念的`消化和吸收。
四、工科研究生现代数学课堂教学的心得体会
前已述及，现代数学呈现出向更高级理性化方向演化的趋势，并且更为概括和抽象，距离经验也更远。为了理解现代数学的本质和特征，在教学方法上应该提倡反璞归真，不仅要了解数学的物质源泉，了解昨日的数学，还更应了解它们的演化、发展和应用。比如在讲“群”这个非常抽象的代数概念时，如果直接把群的定义讲給学生，学生肯定难以接受。教师可以先从学生知道的最简单的“整数群加群”讲起。首先，写出整数加法满足的结合律，由这里引出半群的概念；再給出整数“0”与任意整数相加都得任意整数的等式和任意整数和其相反数之和都等于“0”的等式，由此引出群的概念。通过该讲解过程，学生就能了解群这个概念是一个高度抽象的概念，其原型原来就是从中小学就知道的整数集合带上加法运算。在学生了解“群”这个概念后，可以让他们结合自己专业构造一个群和半群的例子进一步加深对“群”的理解。
再如讲解其他的一些抽象概念时，教师均可以从这个概念的原型或引入背景出发来讲解。比如学习微分流形时，可以先讲解多元映射的概念。由于多元映射的最简单情形就是一元函数，不妨启发学生回忆一元函数微积分的内容，并且告诉学生关于多元映射也有类似于一元函数的微积分学，而且这些微积分学在学习微分流形时也会用到。其他内容不用讲，学生就明白了关于多元映射主要有哪些基本内容，可以用到哪里等等。这样学生就理解了所学学科的发展过程，并且在这个过程中吸收了相应的数学思想及方法。这需要授课教师有很高的数学素养和专业知识，对所讲学科的发展演化过程了如指掌，否则难以产生良好的效果。
由于数学学科的特殊性，在教法上不可能有什么“窍门”而言，只能运用和依靠专业知识和专业素养，对学生做到“细教精练”。现代数学接触的新理论新概念特别多，这不仅要求教师在很短的几十课时的教学中，把大量的信息和数学思想方法传授給学生，同时还要求教师自身具有高度的概括精练能力，能够对某个新概念的要点一语中的。比如在学习“小波分析”时，学生的数学基础有限，泛函分析知识储备不足，不能一上课就讲小波分析的概念，可以从Fourier变换中的Fourier级数讲起，因为研究生对Fourier级数应该有印象，问题是虽然学生知道Fourier级数，但也不一定知道它的真正物理含义所以必须給学生讲清楚这一点，也就是Fourier级数（或Fourier变换）的“滤波”作用的实质。就“滤波”而言，教师可以从多个角度如几何的角度、分析的角度讲述，直到学生明白为止。在此基础上，再学习小波分析原理时，就非常容易了，因此在这里花费时间讲解是值得的。沿着这个要点展开，就可以自然而然地引入到小波分析上了。
总之，现代数学课堂教学改革势在必行。课程的设置既要符合现代数学的发展趋势，又要兼顾现实的发展需求；既要培养和提高学生的抽象思维和逻辑思维能力，又要加强学生运用数学工具解决实际问题的能力。在课堂教学中，应该提倡反璞归真，不仅要了解所讲学科的起源，更要了解其演化、发展和应用方向，同时加强老师自身的修养和课堂上师生间的良性互动。
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