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高中数学恒成立问题的解题策略
论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。
关键词：恒成立问题;函数图像;数学
在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等……
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。
一、利用函数图像与性质
例1：对任意恒成立，求的取值范围。
解：令，
本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。
若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。
我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。
变式1：对任意恒成立，求的取值范围。
解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像，
，得
变式2：若时，恒成立，求的取值范围。
分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有，
利用的函数图像可知，
变式3：对任意及时，恒成立，求的取值
范围。
分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。
方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即，
在上恒成立，(如变式1)
令，，
方法二：若先把看成关于的一次函数，则在上恒成立(如变式2)，，则，所以此不等式在上恒成立，
二、变量分离
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有恒成立，则;若对于取值范围内的任何一个数，都有恒成立，则。(其中和分别为的最大值和最小值)
例2：已知函数在是增函数，在为减函数，(1)求的表达式;当时，若在内恒成立，求的取值范围。
解：(1)函数在是增函数，
在上恒成立，
，在上恒成立， ①
函数在是减函数，在上恒成立。
在上恒成立， ②
由①②可得，，，
方法一：，
令在上恒成立，
在上单调递减，，
，
方法二：方法一是采用恒成立，则来解决，也可以利用恒成立;恒成立，
，
令
，，，，，
在上恒成立，，
例3：已知函数对于总有成立，求实数的值。
方法一：(同例2的方法二)
①当时，不符题意;
②当，在上恒成立，在上单调递减.，不符题意;
③当，在单调递增;在上单调递减。
在的最小值可能是
，也可能是，
，且，且，
④当，在上恒成立，在上单调递减，，所以不符题意。
综上所述，。
方法二：(同例2的方法一)
，
① 当时，;
② 当时， 令
在单调递增，在
在上恒成立，在上单调递减，。
③当时，令
在单调递增，。
综上所述，。
三、存在性问题和恒成立问题的区别和联系
1.存在性问题和恒成立问题的区别
例4：若对于，有解，求
的范围。
分析：原不等式可整理成，则存在，有解，是一个存在性问题。存在性问题有如下解法：①在定义域上有解;②在定义域上有解。
解：令，在上恒大于零，在上单调递增，，。
变式：任意，恒成立，求的范围。
解：(由例4可得)因为在上恒成立，所以=。
2.存在性问题和恒成立问题的联系
如例4：令：存在， 有解，所以命题是一个存在性问题;
而：任意，恒成立，它是一个恒成立问题. 所以求满足条件的的范围，先可以求满足条件的的范围，再求其补集。
因为：任意，恒成立，所以，，所以满足条件的的范围为。
存在性问题可以与恒成立问题相互转化，存在性问题的反面是恒成立问题，恒成立问题的反面是存在性问题。
综上，恒成立问题的解决主要是以上几种方法，恒成立问题解决有利于函数方面知识的掌握，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
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