微积分中的反例论文

时间：2022-10-09 04:24:31 数学毕业论文我要投稿

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微积分中的反例论文

　　微积分中的反例论文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件;另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能.

微积分中的反例论文

　　微积分中的反例论文【1】

　　【关键词】反例;微积分;函数;微分;积分

　　用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例.通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法.反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.

　　在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辩证思维方式的形成.

　　1.连续、可导、可微问题

　　微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握.同时也能培养与提高学生的辩证思维能力.

　　情形1 若函数y=f(x)在a点处连续，则函数y= f(x) 在a点处也连续.但其逆命题不成立.

　　反例：函数f(x)= 1，x>0-1，x<0 ，

　　虽然 f(x) =1在x=0处连续，但f(x)在x=0处不连续.

　　情形2 若函数y=f(x)在点x处可导，则函数y=f(x)在x点处连续.但其逆命题不成立.

　　反例：函数f(x)= x = x，x≥0-x，x<0 ，

　　虽然函数f(x)= x 在x=0处连续，但函数f(x)= x 在x=0处不可导.

　　情形3 函数y=f(x)在x=x0处可导，则函数f(x)在x=x0的邻域内不一定连续.

　　反例：函数f(x)= x2，x为有理数0，x为无理数，

　　在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续.

　　情形4 函数f(x)在x=x0处可导，则f(x)在x=x0处是否有连续导数?

　　反例：函数f(x)= x2sin 1 x +1， x≠0，0， x=0.

　　在x=0处可导，但导数不连续.

　　事实上，f′(0)=lim x→0 f(x)-f(0) x-0 =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0，即函数f(x)在x=0处可导.但当x≠0时，f′(x)=2xsin 1 x +x2cos 1 x - 1 x2 =2xsin 1 x -cos 1 x

　　极限lim x→0 f′(x)=lim x→0 2xsin 1 x -cos 1 x 不存在，即函数f(x)的导数不连续.

　　综上归结，对一元函数f(x)在点x0可有：可微可导连续有极限.通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系.

　　情形5 当f(x0)≠0时，由 f(x) 在x0可导不一定能推出f(x)在x0可导.

　　反例：函数f(x)= x，x∈ 0，1 ，-x，x∈ 1，2 .

　　而 f(x) =x，x∈ 0，2 ，显然 f(x) 在x0=1处可导，但f(x)在x0=1处不可导.

　　2.无穷大量与无界量问题

　　情形6 无穷大量必为无界量，但无界量不一定是无穷大量.

　　反例：函数f(x)=3xcos2x+1，

　　在U +∞ 上无界，但lim x→+∞ f(x)≠∞，若取数列xn=nπ+ π 4 n=1，2，… ，则xn→+∞ n→∞ ，而lim n→∞ f xn =lim n→∞ 3 nπ+ π 4 ・cos 2nπ+ π 2 +1=1，即f(x)并不趋于∞，f(x)不是无穷大量.

　　3.函数的极大(小)值与最大(小)值问题

　　情形7 可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点.

　　反例：x=0是函数f(x)=x3的驻点，但不是其极值点.

　　情形8 函数f(x)的极大(小)值不一定就是最大(小)值.

　　反例：函数f(x)= 4 3 x3-4x2+3x+1，x∈ -1，3 ，

　　由于f′(x)=4x2-8x+3=4 x-1 2-1，易见x= 1 2 或x= 3 2 为f(x)的稳定点，列表如下：

　　微积分教学中反例的应用【2】

　　摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。

　　关键词：应用反例微积分高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力。

　　我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导。

　　在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论。

　　但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。

　　一、两个无穷小的商一定是无穷小吗?

　　在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗?对于这一结论大部分同学认为是正确的。不妨举一个反例：

　　如： =0， =0都是无穷小量，而 (第一个重要极限)，显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。

　　二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗?

　　最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值(据团区间上的连续函数的性质)。

　　1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间(a，b)，那么结论不一定成立。

　　如求f(x)=x在区间(2，4)上的最大值与最小值。

　　显然函数f(x)=x在开区间(2，4)上连续，且在该区间内单调增加，所以函数的最大值与最小值应在区间的两端点处取得，而函数在两端点处无定义，所以f(x)=x在开区间(2，4)上不能取得最大值与最小值。

　　2、在定理中，如果闭区间[a，b]内存在间断点，结论不一定成立

　　如f(x)=

　　考虑函数f(x)在闭区间[0，2]上的最大值与最小值

　　因为

　　即不存在，即在闭区间[0，2]上有间断点且x=1是第一类跳跃间断点，所以f(x)在[0，2]上不能取得最大值与最小值。

　　三、函数在闭区间上有原函数一定可积吗?

　　在积分学中，微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式是个十分重要的公式，它将不定积分与定积分巧妙的结合起来，它揭示了定积分被积函数的原函数(不定积分)之间的联系。给定积分的计算提供了一个很好的计算方法，简化了定积分的计算。

　　上述公式是学生记忆中的公式，F(x)是连续函数f(x)在[a，b]上的一个原函数，这样使定积分的计算转化成了求被积函数一个原函数的问题。因学生容易忽视f(x)连续的条件，认为在应用此公式时f(x)连续的条件是多余的。

　　定义函数如下：

　　首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：

　　为此目的，只需证明对任何x∈[0，1]成立，而0　　现在来考虑的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间[0，1]无界，因为任意，函数在区间(0， )无界，在这个区间上，是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量。

　　但这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取，则其值为，但若取，则其值为，只要n充分大，便可使，同时却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意，函数在区间(0， )无界，从而在闭区间[0，1]无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以的定积分不存在。

　　综合上面的结果，函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。

　　在微积分教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要一环。它对培养学生的数学思维能力方面的作用是非常显著的，它不仅是有助于学生纵向思维的培养，尤其对培养和发展横向的思维能力具有不可缺少的作用。

　　“反例教学”要求学生开放式思考问题，激发他们的想象与联想，让他们学会从不同的角度不同的层次上多方位地洞察具体问题，鼓励他们敢于大胆地想出新的观点，新的思路，新的问题。这对于培养他们分析和解决问题的能力是十分有益的。

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