一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用【1】
摘 要：微分方程在实际中应用广泛。简单介绍了一阶微分方程的几种应用。
关键词：微分方程;应用;研究
微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.
一、在力学中的运用
动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.
例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.
解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为
F=mg-kv2
由牛顿第二定律列出微分方程
m■=mg-kv2
因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.
求解上述微分方程的特解即得：
v=■
当t→+∞时，有
v1=■=■.
据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.
人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.
二、流体混合问题
中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.
但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.
这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.
我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有
dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.
因为c2=■，
代入上式有
dx=(c1v1-■)dt，
或■=-■x+c1v1.
这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.
例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.
解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.
于是有4050dx=360(0.05-x)dt，
即dx=■(0.05-x)dt，
初始条件为x(0)=0.2.
将方程分离变量并积分，初值解满足
■■=■■dt，
求出x有x=0.05+0.15e-■t.
t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.
即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.
三、牛顿冷却定律的应用
牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.
设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程
■=-k(T-T0)，k>0.
例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?
解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题
■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，
解得T(t)=21+13e-0.167t.
设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间
t=■・ln■≈-1.25小时.
由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.
四、医学中的应用
例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.
解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题
■=-0.4SS(0)=0.3，
通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为
S(30)=0.3-0.4×30≈0，
而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.
参考文献：
[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.
[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.
[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.
一阶高次微分方程的求解【2】
【摘 要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的.相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。主要是一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有一些解法，但由于某些方法的局限性，对于某些方程不合适，所以探讨一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有必要。
本文给出了一阶二次微分方程与一阶三次微分方程的主要定理，主要是根据方程在极坐标变换下的求解定理，提供了求解这两种微分方程的另一种解法跟途径，并且也能更好地了解一阶高次微分方程的求解。
【关键词】一阶二次微分方程 一阶三次微分方程 极坐标的变换 求解
一 引言
微分方程是常微分方程和偏微分方程的总称。数学上把联系着自变量、未知函数以及它的导数(或微分)的关系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时产生的，但它的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。
常微分方程的概念、解法以及相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，不过求出解的情况不多，在实际应用中多求满足某种指定条件的特解。