数列求和方法总结
总结是事后对某一阶段的学习或工作情况作加以回顾检查并分析评价的书面材料，它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律，因此我们需要回头归纳，写一份总结了。总结你想好怎么写了吗？下面是小编为大家收集的数列求和方法总结，欢迎阅读与收藏。
数列求和方法总结 1
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;
公差：数列中任意相邻两个数的'差，一般用d表示;
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公
式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)公差;
数列和公式：sn，=(a1+an)n2;
数列和=(首项+末项)项数2;
项数公式：n=(an+a1)d+1;
项数=(末项-首项)公差+1;
公差公式：d=(an-a1))(n-1);
公差=(末项-首项)(项数-1);
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式。
数列求和方法总结 2
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件。通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能。
②通过不完全归纳法得出等差数列的'通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量。由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点。
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．
③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应．
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点．
⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．
⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．
数列求和方法总结 3
等比数列这个名词是我们在数学中经常会用到的一个名词，我们在初中的时候就开始学习等比数列，但是在升入高中以后可能还是对这一个难题束手无策，在这里，小编就要教教大家如何用等比数列求和，攻克这一个数学难题!
一.等比数列求和的教学基础
1.知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.
2.重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 q=1和q=1两种情况.
3.学习建议
①本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论
③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣
④编拟例题时要全面，不要忽略 的情况.
⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大
⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
二、等比数列求和公式
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)， 这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2， 可写为 an=2×2^(n-1) 通项公式 an=a1×q^(n-1);
1.通项公式与推广式
推广式：an=am×q^(n-m) [^的意思为q的(n-m)次方];
2.求和公式
Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<1) (q为公比，n为项数)
3.等比数列求和公式推导
①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)
③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
④(1-q)Sn=a1-a1*q^n
⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)
⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
4性质 简介
①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列; 等比数列的性质
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2;
④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠ 0);
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零
三.学习等比数列的方法
1知识与技能目标
理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.
2.过程与方法目标
通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.
3.情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的'严谨美.
4..教学重点、难点
①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公 式推导→公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想;三是能力线：观察能力→初步解决问题能力
.②难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用. 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定;二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
数列求和方法总结 4
一、分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。一般步骤是：拆裂通项――重新分组――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。
解：当n为偶数时，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
当n为奇数时，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
综上所述，Sn=（-1）nn
三、并项求和法
一个数列an的前n项和Sn中，某些项合在一起就具有特殊的'性质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法。形如an=（-1）nf（n）的类型，就可以采用相邻两项合并求解。如例3中可用并项求和法求解。
例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、基本公式法
如果一个数列是符合以下某种形式，如等差、等比数列或通项为自然数的平方、立方的，那么可以直接利用以下数列求和的公式求和。
常用公式有
（1）等差数列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2
（2）等比数列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）
（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2
（4）1+3+5+…+2n-1=n2
（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）
（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）
（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2
例1：已知等比数列an的通项公式是an=12n-1，设Sn是数列an的前n项和，求Sn。
解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12
∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1
五、裂项相消法
如果一个数列an的通项公式能拆分成两项差的形式，并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时，这时只需求有限项的和，把这种求数列前n项和Sn的方法叫做裂项相消法。
裂项相消法中常用的拆项转化公式有：
（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]
（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。
解由题知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1
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