不定积分的积分方法论文

数学毕业论文 时间:2018-01-19 我要投稿

  不定积分的积分方法论文【1】

  摘 要: 在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中,有三种积分方法,分别是第一类换元积分法,第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中,对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象,本文对三种积分方法加以总结,以便学生对积分方法能更好地掌握.

  关键词: 不定积分 换元积分法 分部积分法

  一、第一类换元积分法

  定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元积分公式

  f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].

  第一类换元积分公式实质上就是:f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].

  第一类换元积分公式在运用过程中,应用的关键是确定新的积分变量φ(x),那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.

  1.通过对所求不定积分中被积函数的观察,发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x),则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).

  例如:求dx

  分析:所求不定积分的被积函数为,因为(lnx)′=,所以我们可以把看做lnx,则新的积分变量φ(x)=lnx.

  解:dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C

  2.通过对所求不定积分的观察,猜测出所要运用的基本积分公式,基于这个公式确定新的积分变量φ(x).

  例如:求sin3xdx

  分析:所求不定积分为sin3xdx,观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C,但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x,我们可以把3x看做一个整体,就是新的积分变量φ(x),即φ(x)=3x.

  解:sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C

  二、第二类换元积分法

  定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调,可导,且φ′(t)≠0,f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在,则有换元积分公式

  f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt],

  其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.

  第二类换元积分公式在何时运用?我认为:重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种,分别是:;;;.

  如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可,针对以上四种情形具体替换如下:

  ① 对,设t=;

  ② 对,设x=asint;

  ③ 对,设x=atant;

  ④ 对,设x=asect.

  原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分,在求得关于t的不定积分后,必须代回原变量.在进行三角函数换元时,可由三角函数边与角的关系,作三角形,以便于回代.在使用第二类换元法的同时,应注意根据需要,随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.

  例如:求dx

  分析:所求不定积分的被积函数中含有根号,符合上述情形中的第三种,由此我们做替换x=2tant即可.

  解:dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C

  三、分部积分法

  分部积分公式:udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)

  分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型,有可能是相似的类型,我们在应用公式前,只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.

  应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′,如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序),把排在前面的那类函数选作u,而把排在后面的那类函数选作v′.

  例如:求xsinxdx

  分析:不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积,所以我们就要应用分部积分法,其中u为x,v′为sinx,则u′=1,v=-cosx把上述四项代入公式即可.

  解:xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

  小结:我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理,当然,这些积分方法在运用时往往不是单独使用,大多数情形下都是混合使用,甚至要多次使用.

  参考文献:

  [1]同济大学,天津大学,浙江大学,重庆大学编.高等数学.高等教育出版社,2004.6,第2版.

  [2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社,2009.8,第1版.

  [3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社,1983.7,第2版.

  不定积分计算方法的思考【2】

  摘 要: 本文通过分析不定积分计算教与学中的困难,提出老师和学生要注意的问题,并对几种常用方法作了分析。

  关键词: 不定积分计算 困难 分析 常用方法

  不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容,是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此,熟练掌握不定积分的计算方法与技巧,对于学好高等数学是十分必要的,然而它的计算却存在着一定的难度。

  一、不定积分计算的困难及分析

  不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的,因为从求导的逆运算引进,造成了它的计算是非构造性的一类运算,它与求导相比有着显著的不同,求导有一定的公式可套,但求不定积分并非如此。

  不定积分计算的困难还在于错误的思考方法,对于学生来说,解题往往通过“猜”的方式,猜原函数,这显然相当的困难;在老师方面,不定积分的教学也是一个难点,老师的任务是理出方法,教会学生如何理解方法,而不是凭感觉。

  现实存在的问题有两个:一是当在指定让学生用哪种方法解决时,学生可以做到,但如果把方法混在一起,学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目,时间久了,学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点,面对问题时,不知道怎么根据其特征选择适当的方法。

  二、不定积分计算的方法思考

  在介绍积分方法时,老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性,而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决,对于一个给定的f(x),要求f(x)dx,这是一个未知的问题,从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题:已知的是什么?怎么转化过去?

  课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式,它们可以作为已知的知识,那么不能直接由积分公式解决的问题,就要通过几种转化方法转化到现有的公式上,转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。

  1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的,只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去,它的特点就是多个变单个。

  2.凑微分法。顾名思义,关键在于一个“凑”字,如果能想到如何“凑”,则题目会迎刃而解,若想不到方法,则会无处入手。因此,归纳并熟记常用的凑微分公式是十分必要的。

  老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法,以形象地观察出凑微分法的本质、特点,书上给出的定理是比较抽象的,在对其证明中,可以采取比较通俗的方式,如:要验证f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立,只要验证(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

  如果成立,则证明了该定理,也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。

  有些例题要“凑”多次,老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”,总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。

  3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式,使用凑微元怎么也协同不了,在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子,告诉学生思考这个问题的方法,多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式,当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理,证明手段类似凑微元的证明。

  例1:求.

  思路一:被积函数中既有x,又含有x,所以我们想办法通过变元都协同到x上,然后再观察,再协同。

  解一:===

  =d=d

  =arctan+C

  思路二:考虑被积函数中含有根号,想办法去掉根号,使用三角代换很容易将其算出。

  观察这两种方法的各自特点,第一种思路它比较难想到,但计算起来比较简单,第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些,但指向性非常明确。

  三角换元法一般是把被积函数中含有的,分别用x=asint,x=atant,x=asect做变换去掉根式,没有太多的技巧,但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法,例如xdx,dx,被积函数中含有了比较难处理的因式,而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用,但在有些题目中只要用凑微元做就可以了,提醒学生不要犯教条。

  4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu,此方法用于求udv不易,而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取,掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导,du是一个局部求导,求导之后要方便运算才有意义。

  例2:求xedx.

  分析:被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积,用分部积分有两种方案:xedx=edx=ex-xdexde,第一种方案是对e局部求导,而我们知道对它求导还是本身,所以解决不了根本问题,所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的,这题中对x局部求导就可以去掉这个因式,所以选择第二种方案。

  这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较,分析各类积分方法的特征,达到掌握并熟练运用的目的。

  参考文献:

  [1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].高等教育出版社,1990.

  [2]仉志余.大学数学应用教程(上册)[M].北京大学出版社,2006.8.

  [3]夏磊.不定积分在高职教学中的教学浅析[J].教育研究与实践,2008,(12).

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