微分方程数值解法
微分方程数值解法【1】
摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。
关键词:常微分方程 数值解法 Euler方法 改进Euler法
1、Euler方法
由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点 的积分曲线 ，并且在该曲线上任一点 处的切线斜率等于函数 的值。
根据数值解法的基本思想，我们取等距节点 ，其中h为步长，在点 处，以 为斜率作直线 交直线 于点 。
如果步长 比较小，那么所作直线 与曲线 的偏差不会太大，所以可用 的近似值，即： ，再从点 出发，以 为斜率作直线 ，作为 的近似值，即：
重复上述步骤，就能逐步求出准确解 在各节点 处的近似值。
一般地，若 为 的近似值，则过点 以 为斜率的直线为：
从而 的近似值为：
此公式就是Euler公式。
因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。
Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线 。
举例说明：
解： ,
精确解为：
1.2 -0.96 -1 0.04
1.4 -0.84 -0.933 0.933
1.6 -0.64 -0.8 0.16
1.8 -0.36 -0.6 0.24
2.0 0 -0.333 0.33
2.2 0.44 0 0.44
通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。
2、改进Euler法
方法构造
在常微分方程初值问题 ,对其从 到 进行定积分得:
用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：
用 和 来分别代替 和 得计算格式:
这就是改进的Euler法。
解：
解得：
由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出
问题的精确解是
误差
0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140
0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183
0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411
2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973
通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。
3、结语
Euler方法是一种最简单的解决常微分方程初值问题的方法，相应的它的精度最低，在计算中如果步长h较大的话，误差将会比较大，所以使用时应注意控制步长h，并且随着步长的增多误差的不断积累，最后所得的结果误差也会较大，只有在控制步长、精度要求不高的情况下使用，主要适用于对 的估值上;虽然改进Euler法在取相同步长h时它的计算量是Euler方法的二倍，但它的精度比较高，能够满足一般要求，平时使用较多。
参考文献
[1]朱思铭,王寿松,李艳会.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[2]余德浩,汤华中.《微分方程数值解法》.科学出版社,北京:2002.
[3]李庆样等编.《数值分析》.高等教育出版社,2000.
微分方程数值解法双语教学模式【2】
摘 要：微分方程数值解是高等院校信息与计算科学专业的一门重要专业基础课。
本课程既有数学上的严密性、逻辑性，又有数值计算的科学性，在数值分析中占有极其重要的地位。
双语教学是教育部积极倡导的一种教学模式，主要采用汉语和英语相结合的方式进行授课。
本文主要探讨该课程的双语教学模式，并对教学过程中出现的一些问题进行了思考。
关键词：微分方程 数值解法 双语教学 有限差分法
微分方程数值解法就主要研究如何通过离散算法将连续形式的微分方程转化为有限维问题，如代数方程组，进而来求解其近似解[1]。
它以逼近论、数值代数等学科为基础，探讨有效的微分方程数值解法。
主要包括求解区域网格划分、离散方程的建立、方程性能分析、近似解收敛性分析等环节。
探索微分方程数值解法是有积极而重要的科学意义的，这是因为：(1)在实际应用中，我们只关心方程在某个范围内对应于某些特定的自变量的解的取值或近似值;(2)绝大多数情况下，无法找到方程的解析解，即使解析解存在也不一定能表示为显式解。
微分方程数值解法在计算物理、化学、流体力学航空航天等很多工程领域具有广泛的应用。
目前已发展成为一门计算技术学科，其核心理论内容也成为高校计算数学和应用数学等专业的核心基础专业课程之一[2]。
1 双语教学的必要性
现代社会的高素质专业人才不仅要具备扎实的专业知识，还须具备流利地应用英语进行沟通和交流的能力。
双语教学是教育部积极倡导的一种课堂教学模式，在2001年公布的《关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的若干意见》中指出要“积极推动使用英语等外语进行教学”[3]，主要是在课堂教学过程中采用母语和以英文为代表的多种语言教学。
其目的就是为了跟上经济全球化的步伐和迎接科技革命的挑战。
对高新技术领域中的诸如信息技术、生物技术、金融、法律等专业，力争三年内，外语教学课程达到所开课程的5%～10%[3]。
2005年，在教育部颁布的《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中进一步要求高校要“以大学英语教学改革为突破口，提高大学生的国际交流与合作能力”，进一步明确了要“提高双语教学课程的质量并扩大双语教学的课堂数量”[4]。
可见，国家教育部门对高校采用双语教学给予了相当的重视和期望。
微分方程数值解法既有数学上严密的逻辑性、独特的理论结构体系，又在各种工程计算中有着重要的应用，因此是联系纯数学理论和工程应用的桥梁和纽带。
另一方面，很多数值计算软件开发平台和帮助文件都是用英文开发的，而数值微分各种理论算法又可以直接用伪代码表示，如何对数学专业英语很娴熟，那么应用这些数值计算软件就得心应手，亦可以熟练与国际同行交流。
再者，该课程一般在高年级开设，通过大学两年的英语教学积累，大部分同学已经达到了大学英语四级水平，可以较容易的阅读数学专业文献。
同时，高年级的同学对数学基础理论知识，如数学分析、高等代数、数值分析、常微分方程、偏微分方程等有了较好的掌握，继续接受方程的数值解的概念和理论是顺理成章的事情。
因此，无论是实际工程需要还是学生自身素质，对微分方程数值解进行双语教学都是可行的、必须的。
本文拟结合重庆理工大学信息与计算科学专业课程的设置，对微分方程数值解法的双语教学模式进行探讨，以寻求适合我校数学专业课程的双语教学模式。
2 课堂教学模式探讨和上机实验
课堂理论教学是学习《微分方程数值解法》的主要方式，务必引起足够重视。
大学教育离不开课堂教学，而课堂教学离不开讲授。
理论是科学的基础，理论是创新的基石，只有掌握了理论结果和相关概念，才能进一步有所创新。
在教材选取上面，我们选取了李荣华、刘播等主编的《微分方程数值解法》[1]作为主要参考教材。
选用Arieh Iserles主编的《A first course in the numerical analysis of differential equations》为主要辅助教材(网站下载)[5]。
该英文版教材作者英文功底深厚，相应的概念、定理、定义表达简洁容易理解，阅读该教材有种阅读英文科技小品的感受，对提高学生的英文水平非常有帮助。
授课采用计算机多媒体辅助教学。
首先让学生阅读中文教材以熟悉所学概念定理等内容，同时对所学的算法知识、理论知识也有一定的了解。
上课PPT采用全英文书写，采用中文授课。
当用英文表示所学概念时，老师给出其相应的中文含义，由于学生先期对该概念有了一定的预习，那么接受英文概念则不是太困难。
只要教师及时对这个英文专业词汇进行解释，学习过程中则不会存在太大的困难。
英文概念词汇有助于学生获悉如何用英语表达我们常见的数学概念和定义定理等内容。
同时也有助于学生进一步理解数学概念内涵和激发学生学习英语的热情。
例如，第一章中对于常微分方程的向量场的概念，如果采用英文Vector field则更容易理解。
对于Euler 法的重要基础地位，英文教材描述颇有味道：In a deep and profound sense， all the fancy multi-step and Runge-Kutta schemes are nothing but a generalization of the basic paradigm (yn+1=yn+hf(tn，yn)，n=0，1，…)[5]。
这句话既强调了Euler迭代公式的基础地位，进一步说明多步法(multi-step)和龙格-库塔法(Runge-Kutta)的新奇性和实用性。
虽然Runge-Kutta法是Euler法的推广，但是其理论推导在短时间内不容易弄清楚，主要困难在于需要学生了解数值积分的代数精度概念、误差收敛阶，多元函数的Taylor展开，即如何灵活应用未知函数y(t)的各阶导数与右端函数f(t，y)的偏导数之间关系来对参数ki进行Taylor级数展开。
在实践教学方面，教育部对高校本科教学工作的若干意见中重点强调了要进一步加强实践教学，注重学生创新精神和实践能力的培养，切实提高大学生的实践能力，切实加强实验等实践教学环节[3～4]。
所以，微分方程数值解法的计算式实验环节也需引起足够重视。
通过计算机编程，有助于学生更好的理清各种算法的运算步骤，深入理解算法内涵，对掌握微分方程数值解法的学习方法能起到重要的作用。
3 存在的问题和总结
在教学伊始，学生的学习积极性并不高涨。
主要是因为同学们接受新鲜事物有一个过程，心底里认为使用英语教学没有必要，课前预习不充分，不愿意花精力去记忆消化英文概念和理解英文句法。
为达到较理想的教学效果，还需要学生在思想上高度重视。
国外原版英文教材价格太贵，并且教材内容比我们教学大纲要多，我们必须有针对性地选择重点章节讲解，并不能面面俱到。
受师资水平和学生英文水平限制，我们目前上课还无法使用英语口语教学。
一是授课教师没有在国外高校进行过改门课程的讲授，口语不纯正;二是学生的专业数学概念词汇少和听力理解。
这就要求在平时教学过程中，师生都要有目的的加强练习，及时发现问题并提出可行的解决方案并不断积累经验。
参考文献
[1] 黄振侃.数值计算-微分方程数值解[M].北京工业大学出版社，2006.
[2] 李荣华，刘播.微分方程数值解法[M]. 高等教育出版社，2009.
[3] 教育部.关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的若干意见[Z].2001.
[4] 教育部.关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见[Z].2005.
[5] Arieh Iserles， A first course in the numerical analysis of differential equations[M].Cambridge University Press，2008.
微分方程的近似解【3】
【摘要】微分方程的近似解具有很大的理论意义，而微分方程的解和解的唯一性又是进行近似计算的前提，也是求微分方程近似解的理论基础。
对于有初始条件的微分方程可以选用，欧拉方法和逐次逼近的方法来求得微方程近似解。
【关键词】微分方程的近似解;欧拉折线法;逐次逼近法;唯一性定理
微分方程理论中最基本的内容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理论意义。
但是，由于能求出精确的微分方程为数不多，那么，微分方程近似解法就显得十分重要，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。
如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要确定哪一个解却要近似地去确定它，问题也是不明确的，这样一来，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理论基础。
下面我就只有已知初始值的问题，对这个问题说明欧拉方法和逐次逼近法的思想，来近似求解微分方程。
欧拉折线法
设在平面上点(x，y)上某个区域D中给定微分方程：(1)
且该方程在区域D上定义了一个方向，(1)在D上任取一点(x0，y0)，经过这个点作直线L0。
(2)在直线L0上任取一点(x1，y1)且使(x1，y1)相当接近于(x0，y0)，经过点(x1，y1)作直线L1。
(3)在L1上任取一点(x2，y2)，且使(x2，y2)相当接近(x1，y1)，再作直线L2………….
设x0 我们希望通过(x0，y0)点的每一条欧拉折线，当每一段都很短时，可以作为通过点(x0，y0)的积分曲线L的某种表示，当最长的线段都趋于零时，即每段也都趋于零时，欧拉折线就接近于积分曲线。
当然在这里我们首先必须假定积分曲线存在是唯一的。
事实上只要函数f(x，y)在区域D内连续，就可以得出无限序列的欧拉折线，其最长的直线趋近于零。
则这个序列就收敛于某个积分曲线L.
但在此时仅是存在，一般说来还不是唯一的。
可能存在不同序列的欧拉折线，它们收敛于不同的积分曲线，且均通过同一个点(x0，y0)。
例如：仅含有一个未知数的一阶微分方程.(2)
为使得在区域D中任何点的斜率为f(x，y)，必须除掉平行于oy轴的方向，我们研究的曲线只是x的函数图形。
因此，如果某一曲线它与垂直于于X轴的另一直线有多于一点的交点，这个函数就不是单值对应，此时，我们把(2)的求解问题加以推广，而考虑：
还有基于其它思想，找寻微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。
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