微分方程应用举例

数学毕业论文 时间:2018-04-13 我要投稿

  微分方程应用举例【1】

  摘 要:通过举例给出了微分方程在实际中的应用,从而使学生易于理解和掌握微分方程概念及理论。

  关键词:微分方程 应用

  微分方程指的是,联系着自变量,未知函数及它的导数的关系式子。

  微分方程是高等数学的重要内容之一,是一门与实际联系较密切的一个内容。

  在自然科学和技术科学领域中,例如化学,生物学,自动控制,电子技术等等,都提出了大量的微分方程问题。

  在实际教学过程中应注重实际应用例子或应用背景,使学生对所学微分方程内容有具体地,形象地认识,从而激发他们强大的学习兴趣。

  1 应用问题举例

  1.1 生态系统中的弱肉强食问题

  在这里考虑两个种群的系统,一种以另一种为食,比如鲨鱼(捕食者)与食用鱼(被捕食者),这种系统称为“被食者—捕食者”系统。

  Volterra提出:记食用鱼数量为,鲨鱼数量为,因为大海的资源很丰富,可以认为如果,则将以自然生长率增长,即。

  但是鲨鱼以食用鱼为食,致使食用鱼的增长率降低,设降低程度与鲨鱼数量成正比,于是相对增长率为。

  常数,反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。

  如果没有食用鱼,鲨鱼无法生存,设鲨鱼的自然死亡率为,则。

  食用鱼为鲨鱼提供了食物,致使鲨鱼死亡率降低,即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。

  设增长率与食用鱼的数量成正比,于是鲨鱼的相对增长率为。

  常数>0,反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。

  所以最终建立的模型为:

  这就是一个非线性的微分方程。

  1.2 雪球融化问题

  有一个雪球,假设它是一个半径为r的球体,融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比,比例常数为>0,则可建立如下模型:

  1.3 冷却(加热)问题

  牛顿冷却定律具体表述是,物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。

  记T 为物体的温度,为周围环境的温度,则物体温度随时

  2 结语

  文中通过举生态系统中弱肉强食问题,雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。

  在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子,能引起学生对微分方程的学习兴趣,能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论,达到事半功倍之效。

  参考文献

  [1] 王嘉谋,石林.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2012.

  [2] 王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].2版.北京:科学出版社,2000.

  [3] 齐欢.数学建模方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1996.

  微分方程在数学建模中的应用【2】

  【摘 要】微分方程是现代数学的一个重要分支,是研究函数变化规律的有力工具,它在科技、教育、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。

  在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。

  本文主要从交通红绿灯模型和市场价格模型来论述微分方程在数学建模中的应用。

  【关键词】微分方程;数学建模;交通红绿灯模型;市场价格调整模型

  数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁,随着计算机技术的快速发展,数学的应用日益广泛,数学建模的作用越来越重要,而且已经应用到各个领域。

  用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。

  这首先要根据实际问题所提供的条件,选择确定模型的变量,再根据有关学科,如物理、化学、生物、经济等学科理论,找到这些变量遵循的规律,用微分方程的形式将其表示出来。

  一、交通红绿灯模型

  在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间的黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意,告诉他们红灯即将亮起,假如你能够停住,应当马上刹车,以免冲红灯违反交通规则。

  这里我们不妨想一下:黄灯应当亮多久才比较合适?

  停车线的确定,要确定停车线位置应当考虑到两点:一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ,在这段时间里,驾驶员尚未刹车。

  二是驾驶员刹车后,车还需要继续行驶一段距离,我们把这段距离称为刹车距离。

  驾驶员的反应时间(实际为平均反应时间) 较易得到,可以根据经验或者统计数据求出,交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试)。

  例如,不失一般性,我们可以假设它为1秒,(反应时间的长短并不影响到计算方法)。

  停车时,驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,该摩擦力使汽车减速并最终停下。

  设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f,x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离,更久刹车规律,可假设刹车制动力为fmg(g为重力加速度)。

  由牛顿第二定律,刹车过程中车辆应满足下列运动方程:

  md2xdt2=-fmg

  x(0)=0, dxdtt=0=v0

  (1)

  在方程(1)两边同除以 并积分一次,并注意到当t=0时dxdt=V0,得到

  dxdt=-fgt+v0

  (2)

  刹车时间t2可这样求得,当t=t2时,dxdt=0,故

  t2=v0fg

  将(2)再积分一次,得

  x(t)=-12fgt2+v0t

  将t2=v0fg代入,即可求得停车距离为

  x(t2)=1v202fg

  据此可知,停车线到路口的距离应为:

  L=v0t1+12v20fg

  等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程,第二项为刹车距离。

  黄灯时间的计算,现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。

  在黄灯转为红灯的这段时间里,应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口,记街道的宽度为D(D很容易测得),平均车身长度为 ,这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l,因而,为保证过线的车辆全部顺利通过,黄灯持续时间至少应当为:

  T=L+D+lv0

  二、市场价格调整模型

  对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为(静态)均衡价格。

  也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程。

  如果设某商品在时刻t的售价为P,社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P),S(P),则在时刻t的价格p(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比,即有微分方程

  dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)

  (3)

  在D(P)和S(P)确定情况下,可解出价格与t的函数关系,这就是商品的价格调整模型。

  某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。

  一般情况下,商品供给量 是价格 的单调递增函数,商品需求量Q是价格P的单调递减函数,为简单起见,分别设该商品的供给函数与需求函数分别为

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