不等式的性质教案

时间：2024-01-23 12:35:05 教案我要投稿

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不等式的性质教案

　　作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常需要用到教案，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编为大家整理的不等式的性质教案，欢迎大家分享。

不等式的性质教案

不等式的性质教案1

　　教学目的

　　掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

　　教学过程

　　师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

　　第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。

　　第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。

　　生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

　　师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

　　生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

　　师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

　　前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

　　生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

　　师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。

　　练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。

　　（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2；（4）- 4_____-6

　　练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

　　（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

　　（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

　　（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

　　生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

　　师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

　　生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

　　师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

　　练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

　　7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

　　师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：

　　性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向。

　　（让同学回答。）

　　性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的`方向。（让同学回答。）

　　性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向。（让同学回答。）

　　现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。

　　不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。

　　生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

　　师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？

　　生：没有什么要求。

　　师：哪位同学来回答第二、三条性质？

　　生甲：如果a0，那么acb，且c>0，那么ac>bc(或

　　生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且c<0，那么ac

　　师：这两条性质中，对a、b、c有什么要求？

　　生：对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数。

　　师：很好，c可以为零吗？

　　生：c不能为零。因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。

　　师：好！应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。

　　[例1]按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

　　（1）5＜9，两边都加上-3；

　　（2）9＞4，两边都减去10；

　　（3）-5＜3，两边都乘以4；

　　（4）14＞-8，两边都除以-2。

　　解（1）根据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以

　　5+（-3）＜9+（-3），

　　2＜6

　　（2）根据不等式基本性质1，得

　　9-10＞4-10

　　-1＞-6

　　（3）根据不等式基本性质2，得

　　-5×4＜3×4

　　-20＜12

　　（4）根据不等式基本性质3，得

　　14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

　　-7＜4

　　[例2]设a＞b，用不等号连结下列各题中的两式：

　　（1）a-3与b-3;（2）2a与2b;（3）-a与-b。

　　师：哪一位同学来做这题？解题时，要讲清一步的理由。

　　生甲：因为a＞b，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得

　　a-3＞b-3．

　　师：很好，大家都是这样做的吗？

　　生乙：我是这样做的，因为a＞b，两边都加上（-3），由基本性质1，得

　　a-3＞b-3．

　　师：好！这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。

　　生丙：因为a＞b，2＞0，由基本性质2，得2a＞2b。

　　生丁：因为a＞b，-1＞0，由基本性质3，得-a＞-b。

　　师：下面我们来看一组较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析。[例3]判断以下各题的结论是否正确，并说明都理由：

　　(1)如果a>b，且c>0，那么ac>bd;

　　(2)如果a>b，那么ac2>bc2;

　　(3)如果ac2>bc2，那么a>b;

　　(4)如果a>b，那么a-b>0;

　　(5)如果ax>b，且a≠0，那么x< ;

　　(6)如果a+b>a;

　　生甲：（1）不对，当c=d≤0时，ac＞bd不成立。

　　生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2＞bc2不成立。

　　生丙：（3）对，因为ac2＞bc2成立，则c2一定大于零，根据不等式基本性质2，得a＞b出。

　　（4）对，根据不等式基本性质，由a＞b，两边减去b得a-b＞0。

　　（5）不对，当a＜0时，根据不等式基本性质3，得。

　　（6）不对，因为当b＜0时，根据不等式基本性质1，得a+b＜a；而当b=0时，则有a+b=a。

　　师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。

　　课外做以下作业：略。

　　教案说明

　　（1）不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。

　　（2）不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。

　　（3）在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。

不等式的性质教案2

　　教学目标：

　　知识目标：掌握不等式的基本性质.

　　能力目标：通过不等式基本性质的探索，培养学生观察、猜想、验证的能力.

　　情感目标：经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.

　　教学重、难点：

　　1、重点：掌握不等式的基本性质.

　　2、难点：不等式的基本性质2和3.

　　教学准备：

　　教师准备：课件.

　　教学设计过程：

　　一、创设情境，探究新知：

　　1、合作学习

　　（1）已知a＜b和b＜c，在数轴上表示如图5-9.

　　由数轴上a和c的位置关系，你能得出什么结论？你那举几个具体的例子说明吗？

　　（2）观察:用“”或“”填空,并找一找其中的规律.

　　①53,5+2____3+2,5－2____3－2;

　　②–13,-1+2____3+2,-1－3____3－3;

　　③6＞2,6×5____2×5,6×(-5)____2×(-5);

　　④–23,(-2)×6____3×6,(-2)×(-6)____3×(-6)

　　会发现:当不等式两边加或减去同一个数时,不等号的方向不变

　　当不等式的两边同乘同一个正数时,不等号的方向_不变;而乘同一个负数时,不等号的方向改变.

　　2、归纳

　　不等式的基本性质1若a＜b和b＜c，则a＜c.

　　这个性质也叫做不等式的传递性.

　　不等式的基本性质2不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。

　　即

　　如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；

　　如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.

　　不等式的.基本性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.

　　即

　　如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，＞；

　　如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，＜；

　　3、做一做P104

　　4、试一试

　　（1）若-m5，则m___-5.

　　（2）如果x/y0那么xy___0.

　　（3）如果a-1,那么a-b___-1-b.

　　5、做一做P105

　　6、讲解例题

　　已知a＜0，试比较2a与a的大小.

　　分析比较2a与a的大小，可以利用不等式的基本性质，也可以利用数轴，直接得出2a与a的大小.

　　二、巩固反思：

　　1、P106T1、T2“

　　2、探究活动

　　比较等式与不等式的基本性质.

　　例如，等式是否有与不等式的基本性质1类似的传递性？不等式是否有与等式的基本性质类似的移项法则？你可以用列表的方式进行对比.（请与你的伙伴交流）

　　三、小结：

　　通过这节课的学习，你有哪些收获？

　　四、作业：

　　1、作业题P107

　　2、预习5.3不等式与不等式组

不等式的性质教案3

　　探究活动

　　能得到什么结论

　　题目已知且，你能够推出什么结论？

　　分析与解：

　　由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

　　思路一：改变的范围，可得：

　　1．且；

　　2．且；

　　思路二：由已知变量作运算，可得：

　　3．且；

　　4．且；

　　5．且；

　　6．且；

　　7．且；

　　思路三：考虑含有的数学表达式具有的'性质，可得：

　　8．（其中为实常数）是三次方程；

　　9．（其中为常数）的图象不可能表示直线。

　　说明从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑．

　　探究关系式是否成立的问题

　　题目当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

　　解：因为，所以，所以，所以，所以或

　　所以或

　　所以不可能成立。

　　说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

　　探讨增加什么条件使命题成立

　　例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

　　（1）若，则；

　　（2）若，则；

　　（3）若，则；

　　（4）若，则

　　思路分析：

　　本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

不等式的性质教案4

　　第四课时

　　教学目标

　　1．掌握分析法证明不等式；

　　2．理解分析法实质——执果索因；

　　3．提高证明不等式证法灵活性.

　　教学重点分析法

　　教学难点分析法实质的理解

　　教学方法启发引导式

　　教学活动

　　（一）导入新课

　　（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

　　（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

　　［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

　　［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：

　　[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

　　设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索、建立新知】

　　（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．

　　（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

　　[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

　　［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

　　［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

　　［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

　　[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

　　设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

　　例1求证

　　[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法．

　　证明：（见课本）

　　[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难．此例中，我们很难想到从“”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此．

　　例2已知：，求证：（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？

　　［投影］证法一：因为，所以、去分母，化为，就是．由已知成立，所以求证的不等式成立．

　　证法二：欲证，因为

　　只需证，即证，即证

　　因为成立，所以成立．

　　（证法二正确，证法一错误．错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误．）

　　[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：

　　（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）

　　分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反．②用分析法证明时要注意书写格式．分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：

　　要证命题B为真，只需证明为真，从而有……

　　这只需证明为真，从而又有……

　　……

　　这只需证明A为真．

　　而已知A为真，故命题B必为真．

　　要理解上述格式中蕴含的逻辑关系．

　　[投影]例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

　　［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形边长为，截面积为，所以本题只需证明：

　　证明：（见课本）

　　设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位．掌

　　握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系．灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的'能力．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正．点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

　　【字幕】练习

　　1．求证

　　2．求证：

　　设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

　　1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的．

　　2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

　　本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

　　通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程．

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P174、5．

　　2．思考题：若，求证

　　3．研究性题：已知函数，若、，且证明

　　设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题．

　　（五）课后点评

　　教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

　　本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法．

　　在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

　　作业答案：

　　思考题：

　　．因为，故，所以成立．

　　研究性题：令，则：

　　，故原不等式等价于

　　由已知有．。所以上式等价于，即。所以又等价于．因为，上式成立，所以原不等式成立。

　　不等式的实际解释

　　题目：不等式：是正数，且，则。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即个单位溶液中含有个单位的溶质，其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。

　　分析与解

　　1．先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。

　　设地板面积为平方米，窗户面积为平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米，住宅的采光条件变好了，即有

　　2．是正数，不等式可以推出，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

　　3．电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为，并联电阻为，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式，即

　　说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。

不等式的性质教案5

　　教学目标

　　1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质;

　　2、初步体会不等式与等式的异同;

　　3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性.

　　教学难点：正确运用不等式的性质。

　　知识重点： 理解并掌握不等式的性质。

　　教学过程：

　　(师生活动) 设计理念提出问题教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：

　　1、天平被调整到什么状态?

　　2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化?

　　3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化?

　　4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢? 通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

　　探究新知 1、用或填空.

　　(1)-1 3 -1+2 3+2 -1-3 3-3

　　(2) 5 3 5+a 3+a 5-a 3-a

　　(3) 6 2 65 25 6(-5)2(-5)

　　(4) -2 3(-2)6 36

　　(-2)(-6) 3(一6)

　　(5)-4 -6 (-4)2(-6)2

　　(-4)十(-2) (-6)十(-2)

　　2、从以上练习中，你发现了什么?请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗?请把你的发现告诉同学们并与他们交流.

　　3、让学生充分发表发现，师生共同归纳得出：

　　不等式性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

　　不等式性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

　　不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

　　4、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同

　　之处吗? 通过动手、动口、动脑，引导学生运用类比、归纳的.数学思想去探究问题，在品尝成功的喜悦中激发出学数学的兴趣。

　　渗透类比思想。

　　探究新知 4、下列哪些是不5、等式x+3 6的解?哪些不6、是?

　　-4，-2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12

　　2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：

　　(1)x+3 6(2)2x 8(3)x-2 0

　　巩固新知 1、判断

　　(1)∵a b a-b b-b

　　(2)∵a b

　　(3)∵a b -2a -2b

　　(4)∵-2a 0 a 0

　　(5)∵-a 0 a 3

　　2、填空

　　(1)∵ 2a 3a a是数

　　(2)∵ a是数

　　(3)∵ax a且 x 1 a是数

　　3、根据下列已知条件，4、说出a与b的不5、等关系，6、并说明是根据不7、等式哪一条性质。

　　(1)a-3 b-3 (2)

　　(3)-4a -4b 设置这几个练习，既可以培养学生独立思考的能力，又可强化对概念的理解，使学生真正认识不等式的性质。

　　总结归纳

　　在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：

　　1、等式性质与不等式性质的不同之处;

　　2、在运用不等式性质3时应注意的问题. 学生通过总结，可以帮助自

　　己从整体上把握本节课所学知

　　识，培养良好的学习习惯，也为

　　下节课学好解不等式打下基础。

　　小结与作业

　　布置作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第4、5题

　　2、选做题：教科书第134页习题9. 1第7题.

　　3、备选题：

　　本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)

　　本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程.用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段.让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质.这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础.

　　教学过程中贯穿了一条创设情境，引出新知实验讨论，得出性质探究辨析，突破难点运用性质，解决问题的线索，使学生真正成为学习的主人.在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高.

　　为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用不等式性质3，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识.在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用.同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通.

不等式的性质教案6

　　一、教学目标：

　　（一）知识与技能

　　1．掌握不等式的三条基本性质。

　　2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。

　　（二）过程与方法

　　1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。

　　2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。

　　（三）情感态度与价值观

　　通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。

　　二、教学重难点

　　教学重点：探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。

　　教学难点：不等式基本性质3的探索与运用。

　　三、教学方法：自主探究——合作交流

　　四、教学过程:

　　情景引入：1．举例说明什么是不等式？

　　2．判断下列各式是否成立？并说明理由。

　　( 1 ) 若x－6=10, 则x＝16( )

　　( 2 ) 若3x=15, 则 x＝5 ( )

　　( 3 ) 若x－6＞10 则 x＞16( )

　　( 4 ) 若3x＞15 则 x＞5 ( )

　　【设计意图】（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。

　　温故知新

　　问题1．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？

　　等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

　　估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。教师引导：“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。

　　问题2．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？

　　同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。

　　问题3．你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？

　　等式性质2：等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），等式依然成立。

　　估计学生会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。

　　你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？

　　学生在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。

　　问题4．在不等式两边都乘0会出现什么情况？

　　问题5．如果a、b、c表示任意数，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？

　　【想一想】不等式的`基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？

　　学生思考，独立总结异同点。

　　【设计意图】引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。

　　综合训练：你能运用不等式的基本性质解决问题吗？

　　1、课本62页例3

　　教师引导学生观察每个问题是由a＞b经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答。

　　2、你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？

　　3．火眼金睛

　　①a＞1, 则2a___a

　　②a＞3a,则 a ___ 0

　　【设计意图】通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。

　　课堂小结：

　　这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。

　　【设计意图】回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。

　　思考题

　　咱们班的盛芳同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮盛芳同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？

　　【设计意图】利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

不等式的性质教案7

　　第四课时

　　教学目标

　　1．掌握分析法证明不等式；

　　2．理解分析法实质——执果索因；

　　3．提高证明不等式证法灵活性.

　　教学重点分析法

　　教学难点分析法实质的理解

　　教学方法启发引导式

　　教学活动

　　（一）导入新课

　　（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

　　（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

　　［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

　　［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：

　　[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

　　设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，　　激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索、建立新知】

　　（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

　　[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

　　［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

　　［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

　　［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

　　[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

　　设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

　　例1求证

　　[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法．

　　证明：（见课本）

　　例2已知：，求证：（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？

　　［投影］证法一：因为，所以、去分母，化为，就是．由已知成立，所以求证的不等式成立．

　　证法二：欲证，因为

　　只需证，即证，即证

　　因为成立，所以成立．

　　[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：

　　（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）

　　要证命题B为真，只需证明为真，从而有……

　　这只需证明为真，从而又有……

　　……

　　这只需证明A为真．

　　而已知A为真，故命题B必为真．

　　要理解上述格式中蕴含的逻辑关系．

　　[投影]例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

　　证明：（见课本）

　　设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位．掌

　　握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系．灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正．点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

　　【字幕】

　　练习1．求证

　　2．求证：

　　设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

　　2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的.性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

　　本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P174、5．

　　2．思考题：若，求证

　　3．研究性题：已知函数，若、，且证明

　　设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题．

　　（五）课后点评

　　在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

　　作业答案：

　　思考题：

　　．因为，故，所以成立．

　　研究性题：令，则：

　　，故原不等式等价于

　　由已知有．。所以上式等价于，即。所以又等价于．因为，上式成立，所以原不等式成立。

　　不等式的实际解释

　　分析与解

　　设地板面积为平方米，窗户面积为平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米，住宅的采光条件变好了，即有

　　2．是正数，不等式可以推出，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

　　3．电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为，并联电阻为，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式，即

不等式的性质教案8

　　第二课时

　　教学目标

　　1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；

　　2．了解作商比较法证明不等式；

　　3．提高学生解题时应变能力.

　　教学重点比较法的应用

　　教学难点常见解题技巧

　　教学方法启发引导式

　　教学活动

　　（一）导入新课

　　（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．

　　（学生活动）思考问题，回答．

　　［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？

　　2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？

　　3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？

　　[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）

　　设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．

　　（学生活动）尝试解决问题．

　　[问题]

　　1．化简

　　2．比较与（）的大小．

　　（学生解答问题）

　　［点评］

　　①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．

　　②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．

　　设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．

　　（学生活动）分析，研究问题．

　　［字幕］例题3已知a，b是正数，且，求证

　　［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．

　　证明：（见课本）

　　［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．

　　[字幕]例4试问：与（）的大小关系．并说明理由．

　　［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．

　　解：

　　因为，所以，若，则所以．

　　即

　　若，则所以．

　　即

　　若，则所以．

　　即

　　综上所述：时，时，时，　　［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．

　　［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点．

　　[分析]设从出发地点至指定地点的路程为，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为，要回答题目中的问题，只要比较、的大小就可以了．

　　解：（见课本）

　　［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．

　　设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

　　［字幕］练习：1．设，比较与的大小．

　　2．已知，求证

　　设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．

　　2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

　　3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．

　　4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

　　本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．

　　通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．

　　设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P177、8。

　　2，思考题：已知，求证

　　3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）

　　设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．

　　（五）课后点评

　　1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．

　　2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．

　　作业答案

　　思考题：证明：

　　因为，所以当时，故

　　又因为，所以

　　当时，故，即，所以

　　当时，.故，即，所以

　　综上所述，研究性题：设两地距离为，船在静水中的速度为，水流速度为（），则

　　所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长．

　　第三课时

　　教学目标

　　1.掌握综合法证明不等式；

　　2.熟练掌握已学的重要不等式；

　　3.增强学生的逻辑推理能力.

　　教学重点综合法

　　教学难点不等式性质的综合运用

　　教学方法启发引导式

　　教学活动

　　（－）导入新课

　　（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．

　　（学生活动）完成练习．

　　［字幕］

　　1．证明（）．

　　2．比较与的大小，并证明你的结论．

　　1．证法一：由，所以

　　方法二：由，知，即，所以

　　2．答：

　　证法一：由，所以

　　证法二：由知，所以

　　［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6．1节和6．2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）

　　设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明，并点评证法的数学原理，（学生活动）学生研究证明不等式．

　　[问题]证明

　　（证明：因为，所以，即．）

　　[点评]

　　①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

　　②综合法证题方法：由已知推出结论．这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质．

　　设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理．

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题．

　　（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

　　例1已知，求证

　　［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证．

　　证明：因为，则，所以．故

　　［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征．

　　例2已知a，b，c是不全相等的正数，求证

　　[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由出发可证．

　　证明一（见课本）

　　证明二：

　　因为a，b，c是不全相等的正数．所以，且三式不能全取“=”号．

　　所以

　　即

　　[点评]

　　①综合法的思维特点是：由已知推出结论．用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：

　　；（）；（）；（a，b同号），（）。

　　②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号．

　　③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出

　　的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．

　　我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

　　设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习．甲、乙两位同学板演．

　　［字幕］练习1已知，求证

　　2．已知，求证

　　设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式．反馈课堂效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳，小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程．小结用综合法证明不等式的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

　　1．综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明不等式的逻辑关系是：…（A为已经证明过的.不等式，B为要证的不等式）．即综合法是“由因导果”．

　　2．运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2．基本不等式．能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P175．6．

　　2．思考题：若，求证

　　3．研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于千米．

　　那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？

　　设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成．研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

　　（五）课后点评

　　1．在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难．因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构．

　　2．例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系．在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用．

　　作业答案

　　思考题：证明：因为，又因为，所以．同理；将上述三个不等式相加得

　　所以

　　研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为小时，则

　　所以最短时间为12小时．

不等式的性质教案9

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　　教学目标

　　1．理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；

　　2．掌握两个实数比较大小的一般方法；

　　3．通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；

　　4．提高本节内容的学习，培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；

　　教学建议

　　1．教材分析

　　（1）知识结构

　　本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

　　（2）重点、难点分析

　　在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。

　　不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。

　　本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。

　　①比较实数的大小

　　教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发，与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

　　指出比较两实数大小的方法是求差比较法：

　　比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。

　　比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的'符号。

　　②理清不等式的几个性质的关系

　　教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的．从这几个性质的分类来说，可以分为三类：

　　（Ⅰ）不等式的理论性质：（对称性）

　　（传递性）

　　（Ⅱ）一个不等式的性质：

　　（n∈N，n＞1）

　　（Ⅲ）两个不等式的性质：

　　2．教法建议

　　本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力．为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础．

　　授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．（即：解疑）．主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑．

　　教学过程可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理．采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题．

　　第一课时

　　教学目标

　　1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

　　2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；

　　3．强调数形结合思想。

　　教学重点

　　比较两实数大小

　　教学难点

　　理解实数运算的符号法则

　　教学方法

　　启发式

　　教学过程

　　一、复习回顾

　　我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。例如，在右图中，点A表示实数，点B表示实数，点A在点B右边，那么。我们再看右图，表示减去所得的差是一个大于0的数即正数。一般地：若，则是正数；逆命题也正确。类似地，若，则是负数；若，则。它们的逆命题都正确。这就是说：（打出幻灯片1）

　　由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容。

　　二、讲授新课

　　1．比较两实数大小的方法——求差比较法

　　比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。

　　比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。

　　接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法。

　　2．例题讲解

　　例1 比较与的大小。

　　分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

　　解：

　　∴

　　例2 已知，比较（与的大小。

　　分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略。

　　由得，从而请同学们想一想，在例2中，如果没有这个条件，那么比较的结果如何？

　　（学生回答：若没有这一条件，则，从而大于或等于）

　　为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习。

　　三、课堂练习

　　1．比较的大小。

　　2．如果，比较的大小。

　　3．已知，比较与的大小。

　　要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目。

　　课堂小结

　　通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小。

　　课后作业

　　习题6，1 1，2，3。

不等式的性质教案10

　　探究活动

　　能得到什么结论

　　题目已知且，你能够推出什么结论？

　　分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

　　思路一：改变的范围，可得：

　　1．且；

　　2．且；

　　思路二：由已知变量作运算，可得：

　　3．且；

　　4．且；

　　5．且；

　　6．且；

　　7．且；

　　思路三：考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：

　　8．（其中为实常数）是三次方程；

　　9．（其中为常数）的图象不可能表示直线。

　　探究关系式是否成立的问题

　　题目当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

　　解：因为，所以，所以，所以，所以或

　　所以或

　　所以不可能成立。

　　说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的`分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

　　探讨增加什么条件使命题成立

　　例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

　　（1）若，则；

　　（2）若，则；

　　（3）若，则；

　　（4）若，则

　　思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

　　引申发散对命题（3），能否增加条件，或，使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质教案11

　　教学过程（师生活动）：

　　提出问题：

　　某地庆典活动需燃放某种礼花弹．为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度是4m/s，导火索的长x(m)应满足怎样的关系式？

　　你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程．

　　探究新知：

　　1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法．教师规范地板书解的过程．

　　2、例题．

　　解下列不等式，并在数轴上表示解集：

　　(1)x≤50(2)-4x3

　　(3)7－3x≤10(4)2x-33x＋1

　　分组活动．先独立思考，然后请4名学生上来板演，其余同学组内相互交流，作出记录，最后各组选派代表发言，点评板演情况．教师作总结讲评并示范解题格式．

　　3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较出它与解方程有什么异同？

　　让学生展开充分讨论，体会不等式和方程的内在联系与不同之处.

　　巩固新知：

　　1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

　　（1）（2）－8x10

　　2、用不等式表示下列语句并写出解集：

　　（1）x的3倍大于或等于1；

　　（2）y的的差不大于－2.

　　解决问题：

　　测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算它的'树龄一般规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位．某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm.这棵树至少生一长多少年，其树围才能超过2.4m？

　　总结归纳：

　　围绕以下几个问题：

　　1、这节课的主要内容是什么？

　　2、通过学习，我取得了哪些收获？

　　3、还有哪些问题需要注意？

　　让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和点拨?

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